2023年中考数学高频考点突破：二次函数与面积（含答案解析）

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1、2023年中考数学高频考点突破二次函数与面积1如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，点在抛物线上，且点的坐标为，连接，的面积为24(1)求抛物线的解析式；(2)为第一象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围；(3)在（2）的条件下，作轴于点，点在线段上，连接，线段和交于点，求点的坐标2已知：如图1，抛物线：与x轴交于点A，对称轴为，直线：经过抛物线上点(1)求出抛物线的函数表达式及的值；(2)如图2，过点B作轴，垂足为E，交抛物线于点M，过点M作直线交于点H，交抛物线于点N，设点N的横坐标为求M点坐标；连接

2、BN，设和的面积分别为和，当时，请直接写出的值在的条件下，当时，过点作直线轴，交于点Q，点P为平面内动点，若满足，连接，请直接写出周长的最小值；3如图，抛物线（、是常数）的顶点为，与x轴交于、两点，点为线段上的动点，过作交于点(1)求该抛物线的解析式；(2)点是直线上一动点，点是抛物线上一动点，当点坐标为且四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)求面积的最大值，并求此时点坐标4如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且(1)求抛物线解析式；(2)点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)如图2，连接，将绕平面

3、内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标5如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D(1)求抛物线的解析式(2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标(3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由6如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接，当四边形面积取最大值时，求点P的坐

4、标；(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.7如图1，抛物线与x轴相交于点，C（点C在点B右侧），y轴相交于点，连接，已知面积为(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴，交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线向左平移5个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点M的坐标8如图，直线与x轴，y轴分别交于点，经过B，C两点

5、的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P(1)求该抛物线的解析式及点P的坐标；(2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E的坐标；(3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由9如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C(1)求线段的长；(2)点D为抛物线的顶点，连接，若的面积为s，求S与a的函数关系式；(3)在（2）的条件下，作于点E，交于点F，作，连接交于点H，连接，若，求抛物线的解析式10如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴交于点，其顶点为(1)求抛物线

6、及直线的函数关系式；(2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由(3)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标11如图，二次函数的图象经过点，且与轴交于、两点，与轴交于点，其中点，为抛物线的顶点(1)求二次函数的解析式；(2)求的面积；(3)在坐标轴上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由12如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交拋物线于点P，过点P作于点M(1)求a的值及(2)求的最大值(3)设的面积为，的面积为，若，

7、求此时m的值13如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与x轴交于点C(1)求该抛物线和直线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求出P点的坐标；(3)设抛物线与直线相交于点D，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得的面积等于的面积？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由14已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）(3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上一点，且，求点的坐标15如图，已知二次

8、函数的图象经过点，点，点在该二次函数图象上(1)求该二次函数的解析式及其顶点坐标；(2)若时，的最大值为10，最小值为1，请结合图象直接写出的取值范围；(3)若点在直线的上方，且面积为S，求S关于的函数关系式，并说明取何值时，S有最大值，最大值是多少？16已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D求抛物线解析式和点B的坐标；若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标17如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，

9、交y轴于点C，其对称轴为，(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由18如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的左侧(1)求的值及点，的坐标；(2)当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；(3)当

10、点位于第一象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由参考答案：1(1)(2)(3)【分析】（1）首先根据抛物线得出点C的坐标为，然后根据的面积为24，可求出点B的坐标，将点B和点D的坐标代入抛物线可求出a和b的值，即可求出抛物线的解析式；（2）如图所示，构造矩形，根据题意表示出点P的坐标为，然后分别表示出点E，F，G的坐标，即可表示出，和的面积，进而表示出S与t之间的函数关系式；（3）延长到G，使，连接，则可证明，从而有，；再由已知可得，则，从而可得；由，易得，即四边形是平行四边形，即，而，由此可求得t的值，从而求得点P的坐标【解析

11、】（1）解：抛物线，当时，点C的坐标为，即，的面积为24，即，解得：，点B的坐标为，将和代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：如图所示，构造矩形，设点，四边形是矩形，D，E，F，G，即；（3）如图，延长到G，使，连接，则，；即,，即四边形是平行四边形，解得：，【点评】此题考查了二次函数和几何的综合，二次函数表达式的求法，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，割补法求图形面积等知识，解题的关键是设出点的坐标并表示出相关的线段长度综合性强，有一定的运算量，对学生的计算能力有较高的要求2(1)，(2)；或；【分析】（1）根据对称轴可得，再将代入即可求出抛物线解析式

12、，将代入即可求出k值；（2）根据轴可得M点的纵坐标为5，代入，求出x值即可得出M点坐标；作轴交于点G，通过，可得，设，用含n的代数式表示出，代入求解即可；先求出点N，Q，A的坐标，进而求出和，周长，可知当点P在线段上时，取最小值，周长取最小值，由此可解【解析】（1）解：抛物线：对称轴为，将代入，得，解得，抛物线的函数表达式为；将代入，得解得；（2）解：轴，M点的纵坐标为5，令，解得，M点的坐标为；如图，作轴交于点G，轴，轴，点N在抛物线上，设，轴，点G的纵坐标为，又点G在直线上， ，解得，即n的值为或；，当时，轴，点Q的横坐标为，又点Q在直线上，对于抛物线，当时，解得或，周长，周长，当取最小值

13、时，周长最小，当点P在线段上时，取最小值，最小值为，即，周长的最小值为【点评】本题属于二次函数综合题，考查求二次函数解析式，求正比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，求抛物线与x轴的交点，求两点间距离，线段的最值等，难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用上述知识3(1)(2)或(3)面积的最大值为2，此时P点坐标为【分析】（1）先根据，求出B点坐标，再将A，B点坐标代入求解；（2）先求出点C的坐标，进而求出，求出直线的解析式为，由平行四边形的性质得到，设点D的坐标为，则点P的坐标为，即可得到，解方程即可得到答案；（3）如图，过Q作轴于E，过C作轴于F，设，则，求出，证明，推出， 求得

14、，再由，得到，利用二次函数的性质即可得到答案【解析】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，将，代入，得，抛物线的解析式为；（2）解：抛物线解析式为，点C的坐标为，设直线的解析式为，直线的解析式为，四边形是平行四边形，设点D的坐标为，则点P的坐标为，或（舍去），解得，点D的坐标为或；（3）解：如图，过Q作轴于E，过C作轴于F，设，则，即，当时有最大值2，面积的最大值为2，此时P点坐标为【点评】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键4(1)(2)，S的最大值为(3)【分析】（1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解

15、即可；（2）过M作y轴的平行线，与直线交于点N先求出直线的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段的长度，进而求出S的最大值；（3）根据中心对称的性质，明确与平行且相等，待定点的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可【解析】（1）解：由，且可得，设抛物线解析式为，将代入解析式得，解得，抛物线解析式为（2）如图1，设直线解析式为，解得，直线解析式为，设，则，则，时，此时S最大，四边形的最大面积（3）如图2中，旋转后，对应线段互相平行且相等，则与互相平行且相等，设，则，在抛物线上，则，解得，则的坐标为，P是点和点的对称中心，【点评】此题主要考查二次函数综合问题

16、，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键5(1)(2)(3)【分析】（1）根据顶点列对称轴等式及代入解析式求解即可得到答案；（2）根据恰好平分的面积，即可得到一定经过的中点，计算的中点，设解析式为，将中点代入求出解析式，联立抛物线解出交点即可得到答案；（3）设出点Q坐标，根据相似三角形判定，分与两类列式求解即可得到答案；【解析】（1）解：是抛物线的顶点，解得：，；（2）解：，轴于点D，中点坐标为，恰好平分的面积，一定经过的中点，设解析式为，解得：，联立，得，解得： ，（不符合题意舍去），点P的坐标为：；（3）解

17、：设，轴，当时，与相似，即，解得：，（不符合题意舍去 ），；当时，与相似，即，解得：（不符合题意舍去 ），（不符合题意舍去 ），综上所述存在点Q使得与相似，点Q的横坐标的值为【点评】本题考查二次函数综合题，主要考了待定系数法求解析式，抛物线上特殊面积问题，抛物线上相似三角形问题，解题的关键是分类讨论相似情况列方程求解6(1)(2)(3)或或【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；（2）过点作轴于点，交于点，先求出直线的函数表达式，再设点的横坐标为，将线段及四边形的面积用含的代数式表示，再根据二次函的性质求出四边形面积取最大值时点的坐标；（3）存在符合条件的点，设，先求出抛物线的对称轴和

18、点的坐标，确定是等腰三角形，则以，为顶点的三角形也是等腰三角形，再按，和，以及，分别求出点的坐标【解析】（1）解：抛物线经过点和点，解得，该抛物线的函数表达式为（2）如图1，过点作轴于点，交于点，抛物线，当时，设直线的函数表达式为，则，解得，直线的函数表达式为，设，则，当时，四边形面积取最大值，此时，（3）存在，设，是等腰直角三角形，以，为顶点的三角形与相似，以，为顶点的三角形是等腰直角三角形，点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线，直线，当时，设直线交轴于点，如图2，则，解得，（不符合题意，舍去），；如图3，则，解得，（不符合题意，舍去），；如图4，作于点，则，由图3可知，综上所述

19、，的坐标为或或【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题7(1)(2)周长的最大值为，此时(3)存在；M点坐标为或或【分析】（1）根据面积为，求出点，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先证明，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，设，则，得出，求出周长的最大值及此时点P的坐标即可；（3）先求出新抛物线的对称轴为直线，设，求出，然后分为菱形的对角线，为菱形的对角线，为菱形的对角线，列出关于m的方

20、程，解方程即可【解析】（1）解：点，面积为，过，过，即（2）解：轴，又，设直线的解析式为，解得：，设，则，当时，周长的最大值为，此时（3）解：抛物线的对称轴为直线，向左平移5个单位长度得到新抛物线的对称轴为直线，设，由勾股定理得，由勾股定理得，当为菱形的对角线时，解得，；当为菱形的对角线时，解得：，或；当AM为菱形的对角线时，此方程无解，不存在以AM为对角线的菱形；综上所述：M点坐标为或或【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，注意分类讨论8(1)，点P的坐标为；(2)点E的坐标为；(3)存在，点N的坐

21、标为，或【分析】（1）将点，代入，求出b，c，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点；（2）在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案；（3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类边对应成比例列式解方程即可得到答案；【解析】（1）解：将点，代入得，解得：，顶点P的坐标为：；（2）解：在抛物线上取点E，连接，过E作x轴的垂线，交于点F，设点，则点，当时，的面积有最大值，此时，点E的坐标为；（3）解：存在理由如下，连接，设，当时，解得， ，当时，解得，所以点N的坐标为，当时，解得，所以点N的

22、坐标为，综上所述，点N的坐标为，或【点评】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程9(1)(2)(3)【分析】（1）令，求抛物线与x轴的交点坐标，即可求出的长；（2）过点D作轴于点E，求出抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，即可得出，最后根据即可得出结论；（3）根据同弧或等弧所对的圆心角相等可得，再证明，从而得到，设，则，根据平行线分线段成比例得到，进而得到则，最后根据双勾股求出m的值，得到点F的坐标，求出直线的表达式，得到点C的坐标，即可进行解答【解析】（1）解：令，解得：，点，；（2）解：如图，过点D作轴于点

23、E，顶点，当时，点，由（1）得：，即；（3）解：延长相交于点M，延长至点R，使，连接，过点G作轴于点N，设，点D为抛物线顶点，垂直平分，则，在四边形中，点F、H、G、M四点共圆，则，在和中，设，即，解得：，则，在中：，在中：，即，解得：，设直线的表达式为，把点，代入得：，解得：，直线的表达式为，当时，把点代入得：，解得：，该抛物线的表达式为：【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例，以及用待定系数法求解函数表达式的方法10(1)，(2)在对称轴上存在一点，周长的最小值为(3)最大值为，此时点P的坐标为【分析】

24、（1）利用待定系数法求出二次函数和一次函数关系式即可；（2）首先确定点的坐标为，再结合题意可知点，关于抛物线的对称轴对称；令直线与抛物线的对称轴的交点为点，由“最短路径”的性质即可求出的坐标，并确定周长取最小值；（3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点设点的坐标为，则点，点，易得，根据，并结合二次函数的性质即可求得的面积取最大值以及此时点的坐标【解析】（1）解：将、代入，可得，解得，抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将、代入，可得，解得，直线的函数关系式为；（2）当时，点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为

25、点，如图所示，点，关于抛物线的对称轴对称，此时周长取最小值，当时，此时点的坐标为，在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为；（3）过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示，设点的坐标为，则点，点， 点，点， ，当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数的图像与性质、最短路径、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度11(1)；(2)15(3)存在，点的坐标为或或【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由的面积，即可求解；（3

26、）当为直角时，证明为等腰直角三角形，即可求解；当为直角时，同理可得，为等腰直角三角形，即可求解；当为直角时，则点与点重合，即可求解【解析】（1）由题意得：，解得：，故抛物线的表达式为：；（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，当时，即点，过点作轴交于点，设直线的表达式为：，则，解得：，故直线的表达式为：，当时，即点，则，则的面积；（3）存在，理由：如上图，由点、的坐标知，则，当为直角时，则为等腰直角三角形，则，则，即点；当为直角时，同理可得，为等腰直角三角形，则，即点；当为直角时，则点与点重合，即点；综上，点的坐标为或或【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质

27、，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键12(1)，(2)3(3)【分析】（1）利用抛物线与x轴、y轴的交点，分别求出a的值，点B的坐标，再利用锐角三角形的概念求出（2）利用点A，B的坐标求出直线的表达式，用点E的坐标表示出点P，N的坐标，再利用两点间的距离公式表示出的长，最后利用求二次函数的最值的方法求出的最大值（3）利用已知条件判定，再利用相似三角形的面积比的性质得出这两个相似三角形的相似比，通过利用锐角三角函数即可求出m的值【解析】（1）解：抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，故，（2）解：由点，可得，直线的表达式为由（1）知，则抛物线的表达式为，且，当时，有最大值，为3（3）

28、解：，又，的面积为，的面积为，由（2）可知，解得，（不符合题意，舍去）故此时m的值为2【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、抛物线上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键注意相似三角形面积的比等于相似比的平方13(1)；(2)点P的坐标为时，的周长最小(3)存在，或【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线的解析式即可；（2）求出点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，连接，交直线于一点，当点P正好位于该点时，的周长最小，求出直线的解析式，把代入解析式即可求出点P的坐标；（3）过

29、点Q作轴交于点E，求出点D坐标为，得出，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，根据两个三角形面积相等，列出关于t的方程，解方程即可【解析】（1）解：将、代入抛物线解析式，得：，解得：抛物线的解析式为：，其对称轴为：，故点C的坐标为，设直线的解析式为，将点B、点C的坐标代入可得：，解得：，故直线的解析式为；（2）解：抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，连接，交直线于一点，当点P正好位于该点时，的周长最小，设直线的解析式为：，把和代入得：，解得：，即直线的解析式为，把代入直线的解析式求得点P的坐标为即点P的坐标为时，的周长最小（3）解：存在；过点Q作轴交于点E，如图所示：联立

30、，解得：，点D坐标为，设直线的解析式为，把、代入得：，解得：，直线的解析式为，设点的坐标为，则，解得：或，点Q的坐标为：或【点评】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，将军饮马问题，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法14(1)(2)(3)【分析】（1）先求出一次函数解析式，再将E点坐标代入一次函数解析式中求出m即可；（2）利用梯形的面积减去两个直角三角形的面积即可；（3）先求出直线AQ的解析式，再设出M、N的坐标，构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立方程求解即可【解析】（1）解：当时，将代入中得，将代入得，解得：，抛物线的解析式为：（2），如图，过Q点作

31、于B，即（3）当时，（正值舍去）当时，设直线AQ的解析式为：，如图，分别过Q点、N点作x轴的垂线，分别与过A点、M点作的x轴的平行线分别交于点K、点H，过M点作x轴的垂线，垂足为G，,，设，（负值舍去），【点评】本题考查了抛物线与一次函数、三角形面积问题等知识，设计到了全等三角形的判定与性质、待定系数法、等腰直角三角形的判定与性质、二元一次方程组等知识，解题关键是理解图形、能构造全等三角形15(1)，顶点坐标为(2)(3)当时，S有最大值，最大为【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的顶点坐标为，得出当时，函数取最大值为10，根据当时，的最大值为10，得出的最大值为

32、2，求出当函数值时，自变量x的值，即可得出的取值范围；（3）先用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，用m表示出点C、D的坐标，得出，根据三角形面积公式表示出，求出二次函数的最大值即可【解析】（1）解：二次函数的图象经过点，点，解得：，该二次函数的解析式，顶点坐标为；（2）解： 二次函数的顶点坐标为，当时，函数取最大值为10，点在该二次函数图象上，且当时，的最大值为10，的最大值为2，令，则，解得：，当时，n的最小值为1，的取值范围为：；（3）解：设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，点在抛物线上，过点作轴的平行线交直线于点，如图所示：则点的坐标为，的面积为：，当时

33、，S有最大值，最大为【点评】本题主要考查了二次函数综合应用，求二次函数解析式，一次函数解析式，三角形面积公式，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握二次函数的图象和性质16(1)见解析(2)抛物线的解析式为，B点坐标为有最大值此时点P的坐标为【分析】（1）说明方程的判别式即可；（2）利用待定系数法将点A坐标代入解析式求得a值即可求出二次函数的解析式；令，解一元二次方程即可得出结论；设点，则线段的长度可得，利用，得到与x的函数关系式，利用配方法即可求得的面积的最大值，利用此时的x的值即可求得点P坐标【解析】（1）证明：关于x的一元二次方程，无论a为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线与

34、x轴交于点，解得：，令，则，解得：，抛物线与x轴的交点为和，抛物线的解析式为，B点坐标为；由知，抛物线解析式为，对称轴为，令，则，设直线的解析式为,，则，解得：，直线的解析式为，设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图，设点，=，当时，有最大值此时点P的坐标为【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，配方法确定抛物线的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，梯形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键17(1)(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为(3)存在，点F的坐标为，【分析】（1）把点A的坐标代入得到

35、，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可求解；（2）连接，过P点作平行于y轴的直线交于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可【解析】（1）将，代入得：，抛物线对称轴为对称轴为，即，把代入得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，即求面积的最大值即可，把代入得，C坐标为，设直线BC的解析式为：，将，代入得：，解得：，直线BC的

36、解析式为：，设，则，根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，将代入，得到此时P的坐标为，面积的最大值为4，此时P的坐标为；（3）存在，理由如下：由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，则，原抛物线解析式为：，设向右平移后的解析式为：，将代入求得：（舍负值），平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，设，则结合A、P的坐标可得：，当时，如图所示，此时根据勾股定理得：，即：，解得：，即：，此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：，解得：，；当时，如图所示，此时根据勾股定理得：，即：，解得：，即：，此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：，解得：，；当AEPE时，根据勾股定

37、理得：，即：，整理得：，上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，综上所述，所有可能的点F的坐标为，【点评】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键18(1)，(2)或(3)【分析】（1）把点代入抛物线解析式即可求出，令，列方程即可求出点、坐标；（2）先求出四边形面积，根据，分两种情形：当直线与边相交于点时，求出点坐标即可解决问题当直线与边相交于点时，同理可得点坐标，待定系数法求解析式即可求解；（3）设且过点的直线的解析式为，得到，利用方程组求出点坐标，求出直线解析式，再利用方程组求出点坐标，列出方程求出，即可解决问题【解析】

38、（1）解：把点代入，得，解得，当时，有，解得，；（2）解：抛物线的顶点为，则如图，连接，设直线与交于点，直线与交于点，直线将四边形分为面积比为的两部分时，则，、纵坐标为，设直线的解析式为，直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，直线的解析式为，令，解得：，,令，解得：，,设直线的解析式为，直线的解析式为，解得：，直线的解析式为，直线的解析式为（3）存在理由如下：如图，设、且过点的直线的解析式为，由，点是线段的中点，点，假设存在这样的点，直线，设直线的解析式为，由，解得：， 当四边形是菱形时，解得，直线的解析式为，解得：，；， ，四边形是平行四边形，四边形是菱形，以为对角线的四边形为菱形时，此时点的坐标为【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会利用参数解决问题，用方程的思想思考问题