2023年河南省南阳市卧龙区中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年河南省南阳市卧龙区中考一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 的绝对值是（ ）A. 3B. C. D. 2. 如图，从正面看该组合体得到的图形是（ ）A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 4. 在一次数学测试中，王蕊的成绩是78分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 今年春节前后的一段时间，甲型流感在全国多地高发，已知甲型流感病毒的直径约纳米，1纳米米，则纳米可用科学记数法表示为（）A. 米B. 米C. 米D. 米解集在数轴上表示正确的是6. 不等式组的解集在数轴

2、上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）A. 0或2B. 2C. 0或2D. 28. 方程解为（）A. B. C. D. 无解9. 如图所示，的一边为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处，则的度数是（）A B. C. D. 10. 如图，在四边形中，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ）A. 2B. C. 1D. 二、填空题（每小题3份，共15分）11. 写出一个具体y随x的增大而减小的一次函数解析式_12. 经过某十字路口

3、的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是_13. 如图，以A为圆心为半径作扇形，线段交以为直径的半圆弧的中点D，若，则阴影部分的面积是_（结果保留）14. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将绕O点逆时针旋转到如图的位置，A的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为_15. 如图，在中， ，P是线段边上的动点（不与点A，B重合），将沿所B在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为_三、解答题（共75分）16 按要求解答下列问题：（1）计算：（2）化简：17. 随着智能手机和互联网的普及

4、，手机 (手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了分迅速发展某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示：乙款手机具体评分情况（单位：分）如下：6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 9甲、乙两款手机评分统计情况如表所示：手机统计量平均数中位数众数受益人数甲7.257.58c乙7.25ab15根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， ；（2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分

5、别估计这两款手机的受益人数；（3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由18. 已知双曲线经过点（1）求这个双曲线的函数表达式；（2）在所给平面直角坐标系中画出该双曲线的简图；（3）若直线也经过点，问该直线与双曲线还有其它交点吗？若有，请直接写出其它交点的坐标；若没有，请说明理由19. “王府山”位于中国历史文化名城南阳市的王府街，是一座人造假山，建于明洪武二十四年（公元1391年），永乐二年（1404年）以南阳卫治改建，后有山石，名曰王府山，王府山是我国古建筑艺术的精品之一民间人士有句顺口溜：“南阳有个王府山，巴巴差差挨住天；社旗有个春秋楼，半截还在天里头”小明在学习了

6、锐角三角函数后，想用所学知识测量“王府山”的高度，小明在一栋高5米的建筑物底部D处测得山顶端A的仰角为，在建筑物顶端C处测得山顶端A的仰角为已知，请你根据题中提供的相关信息，求出“王府山”的高的长度（结果精确到米）（参考数据：，）20. 今年3月5日是毛主席等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年纪念日，某中学计划开展“向雷锋同志学习”演讲比赛，并发放奖品作为对比赛获胜者表彰和奖励在购买奖品时了解到，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需52元；购买3件甲种奖品与2件乙种奖品共需48元（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）学校准备购买甲、乙两种奖品共80件，且甲种奖品不多于乙种奖品数量的一半怎样购买最省

7、钱？最少费用是多少？21. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线（1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式；（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由22. 如图，已知四边形内接于圆，为圆的直径，（1）试说明的形状；（2）若，求的长度；将沿所在的直线折叠，点A的对应点是，连接、，直接写出的度数23. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务数学的发现是2

8、006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治波利亚本书通过对各种类型生动而有趣的典型问题（有些是非数学的）进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形共高定理：如图，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有下面是该结论的证明过程：证明：如图，过点P作于点Q，按要求完成下列任务：（1）请你按照以上证明思路，结合图完成剩余的证明；（2）如图，画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；若的平分线交于D，求证：（3）如图，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ；2023年河南省南阳

9、市卧龙区中考一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 的绝对值是（ ）A. 3B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，依据定义即可求解【详解】在数轴上，点到原点的距离是，所以，的绝对值是，故选：C【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键2. 如图，从正面看该组合体得到的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据立体图形的特征可知，从正面看，上面是一个三角形，下面是一个长方形，三角形的底边长度小于长方形的宽【详解】解：根据图形可得，从正面看到的图形形状为： 故选：C【点睛】本题考查了组合图形的三视图

10、，平时要注意观察，培养空间想象能力3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同类项的定义、积的乘方运算、完全平方公式、二次根式的性质，即可一一判定【详解】解：A.与不是同类项，不能进行加法运算，故该选项错误；B.，故该选项错误；C.，故该选项错误；D.，故该选项正确；故选：D【点睛】本题考查了同类项的定义、积的乘方运算、完全平方公式、二次根式的性质，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键4. 在一次数学测试中，王蕊的成绩是78分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B【解析】【分

11、析】根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判定即可【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，王蕊的成绩是78分，超过班级半数同学的成绩，故选用的统计量是中位数，故选：B【点睛】本题主要考查统计量的选择，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的定义是解答此题的关键5. 今年春节前后的一段时间，甲型流感在全国多地高发，已知甲型流感病毒的直径约纳米，1纳米米，则纳米可用科学记数法表示为（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不

12、同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：=则纳米可用科学记数法表示为米故选：C【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的较小数，解答关键是确定n的值，即原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数的解集在数轴上表示正确的是6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求解两个一元一次不等式，然后把解在数轴上表示出来，公共部分就是不等式组的解集【详解】解不等式组得： ，不等式组的解集为：在数轴上表示解集为：故答案选C【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的

13、解集7. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）A. 0或2B. 2C. 0或2D. 2【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可知判别式=0且二次项系数不为0，列出方程式求解即可【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，整理得：，解得：，又，故选：B【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列出一元二次方程并求解，注意一元二次方程二次项系数不为08. 方程解为（）A. B. C. D. 无解【答案】D【解析】【分析】将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验后，即可得出结论【详解】解：方程两边同乘，得：，解得：，检验：当时，是原方程的增根，原方程无解；故

14、选D【点睛】本题考查解分式方程熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键9. 如图所示，的一边为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在上的点E处，则的度数是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质，得到，根据反射，得到，利用外角的性质，即可得出结果【详解】解：，反射，；故选B【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质熟练掌握入射光线与镜面的夹角，等于反射光线与镜面的夹角，是解题的关键10. 如图，在四边形中，点，分别是边，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别是线段，的中点，则线段长度的最大值为（ ）A. 2B. C. 1

15、D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为1【详解】解：点，分别是线段，的中点，最大时，最大，与重合时最大，此时，的最大值为1，故选：C【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键二、填空题（每小题3份，共15分）11. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可【详解】一次函数y随x的增大而减小k0y=-x+2（答案不唯一）故答案是：y=-x+2（答案不唯一）12. 经过某十

16、字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是_【答案】【解析】【分析】画树状图，共有9种等可能结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中一辆车向右转，一辆车向左转的结果有2种，一辆向右转，一辆向左转的概率是，故答案为：【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比13. 如图，以A

17、为圆心为半径作扇形，线段交以为直径的半圆弧的中点D，若，则阴影部分的面积是_（结果保留）【答案】【解析】【分析】连接，根据题意，可知，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形的面积减去空白部分的面积再加扇形的面积减的面积，然后代入数据计算即可【详解】解：连接， 线段交以为直径的半圆弧的中点D， ， 阴影部分的面积是： ， 故答案为：【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答14. 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将绕O点逆时针旋转到如图的位置，A的对应点恰好落在直线上，连接，则的长度为_【答案】【解析】【分析】先求出的坐标，

18、进而得到的长，利用锐角三角函数，得到，根据旋转的性质，易得：均为等边三角形，即可得出结果【详解】解：，当时，；当，将绕O点逆时针旋转到如图的位置，是等边三角形，是等边三角形，故答案为：【点睛】本题考查坐标轴下的旋转熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，求一次函数与坐标轴的交点坐标，是解题的关键15. 如图，在中， ，P是线段边上的动点（不与点A，B重合），将沿所B在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为_【答案】#【解析】【分析】根据，得到当三点共线时，取得最小值，利用折叠性质和正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识求解即可.【详解】解：，将沿所B在直线翻折，得到，当三点共

19、线时，取得最小值，如图，翻折，是的角平分线，过点作，则：，四边形为正方形，即：，四边形为正方形，故答案：【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识熟练掌握折叠的性质，确定点的位置，是解题的关键三、解答题（共75分）16. 按要求解答下列问题：（1）计算：（2）化简：【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）首先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂的运算，进行运算，再进行二次根据式的混合运算，即可求得结果；（2）根据分式混合运算的运算顺序进行运算，即可求解【小问1详解】解：【小问2详解】解：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、

20、二次根式的性质、零指数幂的运算、二次根据式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键17. 随着智能手机和互联网的普及，手机 (手机应用软件）因其对生活的便捷性而得到了分迅速发展某研发小组设计了甲、乙两款手机，为测试两款的实用性能，随机抽取了20名用户进行体验并分别对两款进行评分，规定7分及以上为手机的受益人群相关数据统计、整理如下：甲款手机用户评分情况扇形统计图如图所示：乙款手机具体评分情况（单位：分）如下：6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 9甲、乙两款手机评分统计情况如表所示：手机统计量平均数中位数众数受益人数甲7.257

21、.58c乙7.25ab15根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， ；（2）若有4000人下载了甲款手机，5000人下载了乙款手机，请分别估计这两款手机的受益人数；（3）通过以上数据分析用户对哪款手机实用性的满意度更高，并说明理由【答案】（1） （2）甲款手机的受益人数为人，乙款手机的受益人数为人 （3）见解析【解析】【分析】（1）将数据排序后，求出第10个和第11个数据的平均数即为中位数，得到的值，找到出现次数最多的数据，得到的值，利用总数乘以7分以上的百分比求出的值；（2）利用总人数乘以样本中受益人数所占的比例，进行计算即可得出结果；（3）结合表格数据进行分析即可【小问1详解】解：

22、；乙款手机具体评分中的数据出现次数最多的是，；故答案为：；【小问2详解】解：甲款手机的受益人数为（人）；乙款手机的受益人数为（人）；答：甲款手机的受益人数为人，乙款手机的受益人数为人；【小问3详解】乙款手机实用性的满意度更高，理由如下：甲款手机的受益人数的百分比为：，乙款手机的受益人数的百分比为：，乙款手机实用性的满意度更高【点睛】本题考查统计图表，中位数，众数以及利用样本估计总量从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键18. 已知双曲线经过点（1）求这个双曲线的函数表达式；（2）在所给平面直角坐标系中画出该双曲线的简图；（3）若直线也经过点，问该直线与双曲线还有其它交点吗？若有，请直接写出其

23、它交点的坐标；若没有，请说明理由【答案】（1） （2）图见解析 （3）有其它交点，【解析】【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）通过列表，描点，连线画出函数图象即可；（3）求出直线的解析式，联立求出交点坐标即可【小问1详解】解：由题意，得：；【小问2详解】列表如下：124124画图如下：【小问3详解】解：直线也经过点，联立，解得：或，直线与双曲线还有其它交点，坐标为【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用熟练掌握待定系数法求函数解析式，以及函数图象的作图方法，是解题的关键19. “王府山”位于中国历史文化名城南阳市的王府街，是一座人造假山，建于明洪武二十四年（公元1391年）

24、，永乐二年（1404年）以南阳卫治改建，后有山石，名曰王府山，王府山是我国古建筑艺术的精品之一民间人士有句顺口溜：“南阳有个王府山，巴巴差差挨住天；社旗有个春秋楼，半截还在天里头”小明在学习了锐角三角函数后，想用所学知识测量“王府山”的高度，小明在一栋高5米的建筑物底部D处测得山顶端A的仰角为，在建筑物顶端C处测得山顶端A的仰角为已知，请你根据题中提供的相关信息，求出“王府山”的高的长度（结果精确到米）（参考数据：，）【答案】“王府山”的高的长度为米【解析】【分析】过点C作于点E，证明四边形为矩形，得出，米，证明，设米，米，根据，求出，即可得出答案【详解】解：过点C作于点E，如图所示：，四边形

25、为矩形，米，建筑物底部D处测得山顶端A的仰角为，设米，米，解得：，答：“王府山”的高的长度为米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，准确计算20. 今年3月5日是毛主席等老一辈革命家为雷锋同志题词60周年纪念日，某中学计划开展“向雷锋同志学习”演讲比赛，并发放奖品作为对比赛获胜者的表彰和奖励在购买奖品时了解到，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需52元；购买3件甲种奖品与2件乙种奖品共需48元（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）学校准备购买甲、乙两种奖品共80件，且甲种奖品不多于乙种奖品数量的一半怎样购买最省钱？最少费用是多少？【答案】（1）甲

26、、乙两种奖品的单价分别为元和元 （2）当购买甲奖品件时最省钱，最小费用是元【解析】【分析】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别为元，元，根据购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需52元；购买3件甲种奖品与2件乙种奖品共需48元，列出方程组进行求解即可；（2）设购买甲种奖品件，需要花费的费用为，列出一次函数，根据一次函数的性质，进行求解即可【小问1详解】解：设甲、乙两种奖品的单价分别为元，元，由题意，得：，解得：；答：甲、乙两种奖品的单价分别为元，元；【小问2详解】解：设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，由题意，得：，解得：，设需要花费的费用为，则：，随着的增大而减小，且为整数，当时，取得最小值为元；答

27、：当购买甲奖品件时最省钱，最小费用是元【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用找准等量关系，列出方程和函数解析式，是解题的关键21. 如图，掷实心球是大连市中考体育加试中的一个项目一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线（1）求实心球行进的高度（米）与行进的水平距离（米）之间的函数关系式；（2）如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由【答案】（1） （2）这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀【解析】【分析

28、】（1）设抛物线顶点式表达式，代入坐标求解（2）当时，解一元二次方程即可【小问1详解】由抛物线顶点是，设抛物线解析式为：， 把点代入得，抛物线解析式为：；【小问2详解】当时， 解得，（舍去）， 即这名男生在这次考试中成绩是10米，能达到优秀【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是结合图像利用抛物线顶点式求表达式22. 如图，已知四边形内接于圆，为圆的直径，（1）试说明的形状；（2）若，求的长度；将沿所在的直线折叠，点A的对应点是，连接、，直接写出的度数【答案】（1）等腰直角三角形 （2）3；【解析】【分析】（1）根据圆周角定理及，即可判定；（2）根据圆周角定理及勾股定理，即可求解；根据圆周角定

29、理即可求得，可得将沿所在的直线折叠，点A的对应点落在上，再根据解直角三角形，即可求得的度数，据此即可求解【小问1详解】解：为圆的直径，是直角三角形，是等腰直角三角形；【小问2详解】解：是等腰直角三角形，在中，为圆的直径，在中，；中，是等腰直角三角形，将沿所在的直线折叠，点A的对应点恰好落在上，如图：连接，【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，利用余弦求角的度数，得到将沿所在的直线折叠，点A的对应点恰好落在上是解决本题的关键23. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务数学的发现是2006年科学出版社出版的图书，作者是（美）乔治波利亚本书通过对各种类型生动

30、而有趣的典型问题（有些是非数学的）进行细致剖析，提出它们的本质特征，从而总结出各种数学模型共高三角形：有一条公共高的三角形称为共高三角形共高定理：如图，设点M在直线上，点P为直线外一点，则有下面是该结论的证明过程：证明：如图，过点P作于点Q，按要求完成下列任务：（1）请你按照以上证明思路，结合图完成剩余的证明；（2）如图，画出的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；若的平分线交于D，求证：（3）如图，E是平行四边形边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若的面积为2，则的面积为 ；【答案】（1）见解析 （2）图见解析证明见解析 （3）2【解析】【分析】（1）利用面积公式，补全证明即可；（2）根据角平分线的作图方法，画出的平分线即可；过点作于点，于点，利用角平分线的性质，三角形的面积公式，以及共高定理，即可得证；（3）证明，得到，根据共高定理，得到：，进而得到即可得出结果【小问1详解】解：补全剩余证明如下： ；【小问2详解】如图所示：即为所求；证明：如图，过点作于点，于点，是平分线， 由共高定理，得：， ；【小问3详解】四边形是平行四边形， 又，由共高定理，可得：，【点睛】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质理解并掌握共高定理，是解题的关键