浙江省宁波市名校2023届高三下学期4月统一测试数学试卷（含答案）

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1、2022学年第二学期普通高中高三4月统一测试数学试题一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知是互相垂直的单位向量，若，则（ ）A.-2 B.-1 C.0 D.23.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知均为锐角，且，则的最大值是（ ）A.4 B. C.2 D.5.如图是古筝鸣箱俯视图，鸣箱有多根弦，每根弦下有一只弦码，弦码又叫雁柱，用于调节音高和传振.右图是根据左图绘制的古筝弦及其弦码简易直观图.在直观图中

2、，每根弦都垂直于x轴，左边第一根弦在y轴上，相邻两根弦间的距离为1，弦码所在的曲线（又称为雁柱曲线）方程为y=1.1x，第n（nN，第0根弦表示与y轴重合的弦）根弦分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点An（xn，yn）和Bn（xn，yn），则（ ）参考数据：1.122=8.14A.814 B.900 C.914 D.10006.数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ）A.99 B.103 C.107 D.1987.已知函数，若，则的大小关系为（ ）A. B.C. D.8.已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是双曲线，则的值可以是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5二

3、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（ ）A.若复数满足，则；B.若复数满足，则；C.若复数满足，则；D.若复数，则.10.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（ ）A. B.1 C.2 D.311.在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面12.已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）A.点是函数的零点B.，使C.

4、是的极大值点D.的取值范围是三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，若，则_.14.已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则_.15.已知椭圆，若上任意一点都满足，则的离心率的取值范围为_.16.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643-1727）给出了牛顿法用“作切线”的方法求方程的近似解如图，方程的根就是函数的零点r，取初始值处的切线与x轴的交点为在处的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，它们越来越接近r.若，则用牛顿法得到的r的近似值约为_（结果保留两位小数）.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字

5、说明证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数的最小正周期为8.（1）求的值及函数的单调减区间；（2）若，且，求的值.18.（本题满分12分）已知数列是等差数列，且，成等比数列.给定，记集合的元素个数为.（1）求，的值；（2）求最小自然数n的值，使得.19.（本题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中平面EDC），四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：四点共面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（本题满分12分）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错

6、开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下.（1）若进行

7、一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.求的分布列：高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？21.（本题满分12分）已知双曲线E：与直线l：相交于AB两点，M为线段AB的中点.（1）当k变化时，求点M的轨迹方程；（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于CD两点，问：是否存在实数k，使得AB是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.22.（本题满分12分）已知，函数.（1）求

8、曲线在点处的切线方程：（2）证明存在唯一的极值点（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围.参考答案一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.12345678CAABCBBD二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9101112ADABCBDBC三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 16.-1.35四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（1）由已知可得，的最小正周期，由得，f（x）的单调递减区间为（kZ）；（2），由（1）有，即，由，知；，故18.（1）设数列的公差为，由，成等比数列，得，解得，所以，时，

9、集合中元素个数为，时，集合中元素个数为；（2）由（1）知，时，=20012022，记，显然数列是递增数列，所以所求的最小值是11.19.（1）连接，由于四边形ABCD是正方形，所以，又平面，平面，所以，平面，所以平面，由于为棱的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因此，所以四点共面，（2）由于两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，设，由（1）知，故，解得，故，设平面，的法向量分别为则即，取，则，即，取，则，设平面与平面的夹角为，则20.（1）记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右，则；（2），记第7层从左向右的空

10、隙编号为，的取值分别为1，2，3，4，5，6，7，则的取值分别为0，1，2，3，4，5，6，且，X的取值可为1，2，3，4，5，6，X的分布列为X123456P，的可能取值为0，5，10，15，.小明同学能盈利.21.（1）设，联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得.由且，得且.由韦达定理，得.所以，.由消去k，得.由且，得或.所以，点M的轨迹方程为，其中或.（2）双曲线E的渐近线方程为.设，联立得，同理可得，因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点.若A，B为线段CD的两个三等分点，则.即，.而，.所以，解得，所以，存在实数，使得AB是线段CD的两个三等分点.22.（1），则，又，则切线方程为；（2）令，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，当时，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（3）由（2）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.