山东省泰安市2023届高三二模数学试卷(含答案)
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1、山东省泰安市2023届高三二模数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知全集,集合,则集合可能是()A. B. C. D. 2. 若(为虚数单位),则( )A. B. C. D. 3. 为了研究某班学生的脚长(单位厘米)和身高(单位厘米)的关系,从该班随机抽取名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为已知,该班某学生的脚长为,据此估计其身高为A. B. C. D. 4. 已知非零向量 满足,且向量在向量方向的投影向量是,则向量与的夹角是( )A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中,已知圆:,若直线:上有且只有一个点满足:过点作
2、圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,且使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为( )A. 1B. C. 3D. 76. 已知奇函数在上是减函数,若,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D. 7. 我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童,其中上下底面为正方形,边长分别为6和2,侧面是全等的等腰梯形,梯形的高为.已知盆中有积水,将一半径为1的实心铁球放入盆中之后,盆中积水深变为池盆高度的一半,则该盆中积水的体积为( )A. B. C. D. 8. 已知双曲线,其一条渐近线方程为,右顶点为A,左,右焦点分别为,点P在其右支上,
3、点,三角形的面积为,则当取得最大值时点P的坐标为( )A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 随机变量且,随机变量,若,则( )A. B. C. D. 10. 已知函数零点依次构成一个公差为的等差数列,把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数( )A. 是奇函数B. 图象关于直线对称C. 在上是减函数D. 在上值域为11. 如图,在直三棱柱中,点M在线段上,且,N为线段上的动点,则下列结论正确的是( )A. 当N为的中点时,直线与平面所成角的正切值为
4、B. 当时,平面C. 的周长的最小值为D. 存在点N,使得三棱锥的体积为12. 已知函数,.( )A. 若曲线在点处的切线方程为,且过点,则,B. 当且时,函数在上单调递增C. 当时,若函数有三个零点,则D. 当时,若存在唯一的整数,使得,则三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 用数字1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个.(用数字作答)14. 已知,则_.15. 若m,n是函数的两个不同零点,且m,n,这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则_.16. 已知椭圆的左,右焦点分别为,椭圆C在第一象
5、限存在点M,使得,直线与y轴交于点A,且是的角平分线,则椭圆C的离心率为_.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(1)求;(2)若点D在的外接圆上,且,求的长.18. 如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,D,E分别为,的中点,.(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点F,使得平面与平面的夹角为,若存在,求出的长;若不存在,请说明理由19. 已知数列的前n项和为,.(1)求;(2)设,数列的前n项和为,若,都有成立,求实数的范围.20. 2022年11月,2021年全国未成年人互联网使用情况研究
6、报告发布.报告显示,2021年我国未成年网民规模达1.91亿,未成年人互联网普及率达96.8%.互联网已成为未成年人学习,娱乐,社交重要工具.但与此同时,约两成的未成年网民认为自己对互联网存在不同程度的依赖.某中学为了解学生对互联网的依赖情况,决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查:一个袋子中装有5个大小相同的小球,其中2个黑球,3个红球.所有学生从袋子中有放回地随机摸两次,每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同,则按方式回答问卷,否则按方式回答问卷”.方式:若第一次摸到是红球,则在问卷中画“”,否则画“”;方式:若你对互联网有依赖,则在问卷中画“”,否则画“”.当所有
7、学生完成问卷调查后,统计画“”,画“”的比例.用频率估计概率,由所学概率知识即可求得高一年级学生对互联网依赖情况的估计值.()(1)若高一(五)班有50名学生,用X表示其中按方式回答问卷的人数,求X的数学期望;(2)若所有调查问卷中,画“”与画“”的比例为1:2,试估计该中学高一年级学生对互联网的依赖率.(结果保留两位有效数字)21. 已知点和点之间的距离为2,抛物线经过点N,过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,点E,F分别在直线,上,且,(O为坐标原点).(1)求直线l的倾斜角的取值范围;(2)求的值.22. 已知函数,.(1)当时,讨论方程解个数;(2)当时,有两个极值点,且,
8、若,证明:(i);(ii).山东省泰安市2023届高三二模数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知全集,集合,则集合可能是()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】,又故选:C.2. 若(为虚数单位),则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算求出复数,然后利用复数求模的公式即可计算.【详解】由可得,所以,故选:.3. 为了研究某班学生脚长(单位厘米)和身高(单位厘米)的关系,从该班随机抽取名学生,根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系,设其回归直线方程为已知,该班某学
9、生的脚长为,据此估计其身高为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由已知,, 故选C.4. 已知非零向量 满足,且向量在向量方向的投影向量是,则向量与的夹角是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由垂直关系得出,由向量在向量方向的投影向量得出,由两式得出,进而得出夹角.【详解】因为,所以,即.因为向量在向量方向的投影向量是,所以.所以,将代入得,又,所以.故选:B5. 在平面直角坐标系中,已知圆:,若直线:上有且只有一个点满足:过点作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,且使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为( )A. 1B. C. 3D. 7【答案
10、】C【解析】分析】根据四边形PMCN为正方形可得,转化为圆心到直线的距离为可求得结果.【详解】由可知圆心,半径为,因为四边形PMCN为正方形,且边长为圆的半径,所以,所以直线:上有且只有一个点,使得,即,所以圆心到直线的距离为,所以,解得或(舍).故选:C【点睛】关键点点睛:将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.6. 已知奇函数在上是减函数,若,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知为偶函数,且在上单调递减,利用函数的单调性可比较出.【详解】因为奇函数且在上是减函数,所以,且,时.因,所以,故为偶函数.当时,因,所以.即在上单调递减.,因,
11、所以,即.故选:D.7. 我国古代九章算术将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图所示的池盆几何体是一个刍童,其中上下底面为正方形,边长分别为6和2,侧面是全等的等腰梯形,梯形的高为.已知盆中有积水,将一半径为1的实心铁球放入盆中之后,盆中积水深变为池盆高度的一半,则该盆中积水的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知,这个刍童为棱台,求出棱台的高,从而求出放入球后水面的高度和边长,再将棱台的体积减去水中球的体积即可得解.【详解】根据题意可知,这个刍童为棱台,如图,为垂直底面的截面,则棱台的高为,因为盆中积水深变为池盆高度的一半,所以水面边长为,高为,则
12、实心球只有一半在水中,所以该盆中积水的体积为.故选:D.8. 已知双曲线,其一条渐近线方程为,右顶点为A,左,右焦点分别为,点P在其右支上,点,三角形的面积为,则当取得最大值时点P的坐标为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角形的面积结合渐近线方程可得的值,再根据双曲线的定义转换可得当且仅当共线且在中间时取得最大值,进而联立直线与双曲线的方程求解即可.【详解】设,则由三角形的面积为可得,即,又双曲线一条渐近线方程为,故,即,故,故,解得,故,双曲线.又由双曲线的定义可得,当且仅当共线且在中间时取得等号.此时直线的方程为,即,联立可得,解得,由题意可得在中间可得,代入可
13、得,故.故选:B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 随机变量且,随机变量,若,则( )A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】对AB,根据正态分布的期望方差性质可判断;对C,根据及二项分布期望公式可求出;对D,根据二项分布方差的计算公式可求出,进而求得.【详解】对AB,因为且,所以,故,选项A正确,选项B错误;对C,因为,所以,所以,解得,选项C正确;对D,选项D错误.故选:AC.10. 已知函数的零点依次构成一个公差为的等差数列,把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数
14、的图象,则函数( )A. 是奇函数B. 图象关于直线对称C. 在上是减函数D. 在上的值域为【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式得出,由已知条件求得值,再利用函数图象变换求得函数的解析式,利用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.【详解】,由于函数的零点构成一个公差为的等差数列,则该函数的最小正周期为,则,所以,将函数的图象沿轴向右平移个单位,得到函数的图象.对于A选项,函数的定义域为,函数为奇函数,A选项正确;对于B选项,所以函数的图象不关于直线对称,B选项错误;对于C选项,当时,则函数在上是减函数,C选项正确;对于D选项,当时,则,.所以,函数在区间上的值域为,D选项正确.故选:
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