2023年四川省成都市双流区中考二模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年四川省成都市双流区中考二模数学试题A卷（共100分）第卷（选择题，共32分）一、选择题：（每小题4分，共32分）1. 2的倒数是（ ）A. 2B. C. D. -22. 我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 今年春节档电影中流浪地球2凭借优质的口碑一路逆袭，被很多人评为“国产科幻电影之光”，吸引众多影迷纷纷走入影院为这部国产科幻电影打，据了解流浪地球2上映首日的票房约为亿，亿可用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（

2、 ）A. B. C. D. 5. 如图，在与中，若，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）A. B. C. D. 6. 某同学对七个数据42，35，46，3，46，37，52进行统计分析，发现第四个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差7. 如图，在中，弦，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（ ）A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位第卷（非选择题，共68分）二、填空题：（每小

3、题4分，共20分）9. 在数轴上，与最接近的整数是_10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数，当时，随增大而减小，则函数的图象不经过第_象限11. 如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，连接，若，则的长_12. 九章算术是中国古代重要数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”设能买醇酒斗，行酒斗，可列二元一次方程组为_13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点若，则的长度为_三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）14. （1）计算：

4、；（2）解方程：15. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会某校数学兴趣小组以“爱成都，迎大运”为主题，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，了解学生参加A（羽毛球）、B（乒乓球）、C（篮球）、D（排球）四类球运动的情况（参加调查学生必选且只能选择其中一项），根据统计结果绘制了如下统计图表请根据统计图表信息，解答下列问题：经常参加的球类运动ABCD人数（单位：人）9186所占百分比（1）求参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数；（2）若从参与调查2名男生和2名女生中随机抽取2名学生

5、进行访谈，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率16. 为测量校园某一块路线指示牌的高度，小明绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，四边形为矩形底座，且请帮助小明求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到，参考数据：，）17. 如图，在中，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接（1）求证：是切线；（2）若的半径为3，当时，求线段的长18. 如图，已知直线与轴交于A点，与轴交于点，为双曲线上一动点，过点分别作轴，轴垂线，垂足分别为，射线交直线于点，射线交直线于点（1）当时，求的值；（2）连接，求证：的度数为45；（3）在双曲线上有一点（不与

6、点重合），连接，有，将线段沿直线翻折得到线段若线段与坐标轴没有交点，求此时的取值范围B卷（共50分）一、填空题：（每小题4分，共20分）19. 计算的结果是_20. 已知一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为_21. “易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是_22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点若轴，且，则面积的最小值为_23. 如图，在四边形中，为对角线，为边上一点，连接交于点若，则的值为

7、_二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）24. 晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米（1）设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为100时，求垂直于墙的一边的长25. 已知，在中，点关于直线的对称点为，直线经过点且可任意旋转（1）如图1，当直线时，求点到直线的距离；（2）如图2，设直线在旋转过程中与线段相交于点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到射线，旋转角，过点作交于点若线段的长为，求线段的长（用含的代数式表示

8、）；（3）在（2）的条件下，直线在旋转过程中，是否存在？若存在，求出的值，并判断此时线段与的数量关系；若不存在，请说明理由26. 如图，对称轴为的抛物线与轴交于点是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象（1）求抛物线的表达式；（2）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为9？（3）如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形已知为直线上的动点，过点作轴于点，连接，若四边形是以为和谐线的和谐四边形，求此时点的坐标2023年四川省成都市双流区中考二模

9、数学试题A卷（共100分）第卷（选择题，共32分）一、选择题：（每小题4分，共32分）1. 2的倒数是（ ）A. 2B. C. D. -2【答案】B【解析】【详解】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.【详解】2=1，2的倒数是，故选B .【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.2. 我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形

10、能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意故选：B【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键3. 今年春节档电影中流浪地球2凭借优质的口碑一路逆袭，被很多人评为“国产科幻电影之光”，吸引众多影迷纷纷走入影院为这部国产科幻电影打，据了解流浪

11、地球2上映首日的票房约为亿，亿可用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案【详解】解：亿，故选B【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式与单项式相乘法则、单项式与单项式相除法则、积的乘方法则逐一判断即可【

12、详解】解：A和不是同类项，不可以合并，故错误，不符合题意；B，故错误，不符合题意；C，故错误，不符合题意；D，故正确，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了合并同类项法则、单项式与单项式相乘法则、单项式与单项式相除法则、积的乘方法则等知识，掌握以上法则，并能正确计算是解题的关键5. 如图，在与中，若，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据所给条件可知，应加已知边的夹角才可证明这两个三角形全等【详解】解：A、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；B、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意；C、加上可得，即，根据能

13、证明这两个三角形全等，故此选项符合题意； D、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6. 某同学对七个数据42，35，46，3，46，37，52进行统计分析，发现第四个两位数个位数字被墨水涂污看不到了，则下列统计量中不受影响的是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】B【解析】【分析】根据中位数的定义求解即可【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数

14、据的中位数为42与46的平均数，与被涂污数字无关故选：B【点睛】此题主要考查了方差、平均数、众数、中位数，关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数7. 如图，在中，弦，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用圆周角定理求出的度数，再利用平行线的性质即可求出的度数【详解】解，故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，利用圆周角定理求出的度数是解题的关键8. 在平面直角坐标系中，如果抛物线经过平移可以与抛物线互

15、相重合，那么这个平移是（ ）A. 向上平移1个单位B. 向下平移1个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位【答案】C【解析】【分析】将改为顶点式，从而可利用“上加下减，左加右减”确定平移方式【详解】解：，又该抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，这个平移是向左平移1个单位故选C【点睛】本题考查二次函数图象的平移掌握其平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键第卷（非选择题，共68分）二、填空题：（每小题4分，共20分）9. 在数轴上，与最接近的整数是_【答案】3【解析】【分析】根据无理数的意义和三次根式的性质得出，即可求出答案【详解】解：，与最接近的整数是3故答案为：3【点睛】本题考查了

16、三次根式的性质和估计无理数的大小，计算出在3和3.5之间是解题关键10. 在平面直角坐标系中，若反比例函数，当时，随增大而减小，则函数的图象不经过第_象限【答案】二【解析】【分析】根据反比例函数的性质求出m的取值范围，然后根据一次函数的性质求解即可【详解】解反比例函数，当时，随增大而减小，函数的图象经过一、三、四象限，函数的图象不经过第二象限故答案为：二【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键11. 如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，连接，若，则的长_【答案】2【解析】【分析】根据重心为三角形中线的交点即得出点E为的中点，点F为的中点，再根据

17、三角形中位线定理即得出【详解】解：点为的重心，点E为的中点，点F为的中点，故答案为：2【点睛】本题考查三角形重心的概念，三角形中位线定理掌握重心为三角形中线的交点和三角形中位线等于该三角形第三边的一半是解题关键12. 九章算术是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”设能买醇酒斗，行酒斗，可列二元一次方程组为_【答案】【解析】【分析】根据题意直接列出方程组即可【详解】设能买醇酒斗，行酒斗，根据得酒二斗，得出，根据醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，且共花费钱三十，得出，可列二元一次方程组为故答案为：【

18、点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组理解题意，找准等量关系是解题关键13. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点若，则的长度为_【答案】【解析】【分析】连接，利用等腰三角形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可【详解】解：连接， ，由作图可知，是的角平分线， 故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据角平分线的作图和等腰三角形的性质解答三、解答题：（本大题共5个小题，共48分）14. （1）计算：；（2）解方程：【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先根据零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三

19、角函数值、负整数指数幂的意义化简，再算加减即可；（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可【详解】解：（1）原式；（2），两边都乘以，得，解得，检验：当时，原方程的解【点睛】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义、分式方程的解法是解答本题的关键15. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，成都将以年轻的笑脸、奔放的热情、周到的服务、完善的设施迎接大运会某校数学兴趣小组以“爱成都，迎大运”为主题，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，了解学生参加A（羽毛球）、B（乒乓球）、C（篮球）、D（排球）四类球运动的

20、情况（参加调查学生必选且只能选择其中一项），根据统计结果绘制了如下统计图表请根据统计图表信息，解答下列问题：经常参加的球类运动ABCD人数（单位：人）9186所占百分比（1）求参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数；（2）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率【答案】（1）参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数为27人； （2）【解析】【分析】（1）利用D类球运动的人数除以其所占百分比，得出参与调查的学生总人数，再乘以B类球运动的人数所占百分比即可；（2）根据题意列出表格表示出所有等可能得情况，

21、再找出符合两名学生恰好是相同性别的情况，最后根据概率公式计算即可【小问1详解】解：参与调查的学生总人数为人，参与调查的学生中，经常参加乒乓球运动的学生人数为人；【小问2详解】解：根据题意，可列表格如下，男1男2女1女2男1男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1根据表格可知共有12种等可能得情况，其中抽取到的两名学生恰好是相同性别的情况有4种，抽取到的两名学生恰好是相同性别的概率为【点睛】本题考查扇形统计图，列表法或树状图法求概率读懂题意，根据表格和扇形统计图得出必要的信息和数据以及正确的列出表格或画出

22、树状图是解题关键16. 为测量校园某一块路线指示牌的高度，小明绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，四边形为矩形底座，且请帮助小明求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到，参考数据：，）【答案】最高点到地面的距离为【解析】【分析】过点G作的垂线，交于点M，交于点N过点F作于点P，过点E作于点Q，易得出，从而可求出在中，利用正弦的定义可求出，在中，利用正弦的定义可求出结合所作辅助线得，最后由求解即可【详解】解：如图，过点G作的垂线，交于点M，交于点N过点F作于点P，过点E作于点Q，四边形为矩形底座，在中，在中，由所作辅助线得，答：最高点到地面的距离为【点睛】本题主要考查解直角三角形的实

23、际应用正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键17. 如图，在中，的平分线交于点，点在边上，以为圆心的圆经过，两点，交于点，连接（1）求证：是的切线；（2）若的半径为3，当时，求线段的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，证明，可得，可得，结合，从而可得答案；（2）设，则，由，可得，解得：，由，再建立方程求解即可【小问1详解】证明：连接，的平分线交于点，是的切线【小问2详解】，设，则，而，为的直径，而，解得：（负根舍去），解得：经检验符合题意.【点睛】本题考查的是圆的切线的判定，角平分线的定义，平行线的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用三角函数建立方

24、程是求解的关键18. 如图，已知直线与轴交于A点，与轴交于点，为双曲线上一动点，过点分别作轴，轴垂线，垂足分别为，射线交直线于点，射线交直线于点（1）当时，求的值；（2）连接，求证：的度数为45；（3）在双曲线上有一点（不与点重合），连接，有，将线段沿直线翻折得到线段若线段与坐标轴没有交点，求此时的取值范围【答案】（1）2 （2）见详解 （3）【解析】【分析】（1）由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，进而问题可求解；（2）由题意可得，然后可得，进而可得，则有，最后问题可求证；（3）假设线段沿直线翻折得到线段，线段恰好与坐标轴有交点，然后根据轴对称的性质及等腰直角三角形的性质可进行求解【小问

25、1详解】解：令时，则有，即，即，令时，则有，即，由题意知：轴，轴，四边形是矩形，是等腰直角三角形，点，；【小问2详解】证明：由题意得：，由（1）可知四边形是矩形，是等腰直角三角形，即，；【小问3详解】解：假设线段沿直线翻折得到线段，线段恰好与坐标轴有交点，如图所示：连接，由轴对称的性质可知，点P的横坐标为2，点Q的纵坐标为，把点P的横坐标代入反比例函数解析式得，若线段与坐标轴没有交点，则的取值范围为【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，相似三角形的性质与判定、矩形的判定、等腰直角三角形的性质与判定及轴对称的性质，熟练掌握各个性质及判定是解题的关键B卷（共50分）一、填空题：（每小题4分，

26、共20分）19. 计算的结果是_【答案】#【解析】【分析】根据异分母分式减法运算法则计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查异分母分式的减法运算熟练掌握其运算法则是解题关键20. 已知一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为_【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，将其代入中可求出结论【详解】解：一元二次方程的两个实数根为和，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种常见的题型一元二次方程的根与系数的关系为：，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键21. “易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极

27、图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是_【答案】【解析】【分析】根据图形的对称性求出黑色图形的面积，利用几何概型的概率公式计算可得【详解】解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，所以黑色部分的面积为，则所求的概率故答案为：【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解题的关键22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点若轴，且，则面积的最小值为_【答案】4【解析】【分析】过点

28、B作于点H，设一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，先求出，然后利用正切的定义求出的度数，再利用平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出，的度数，设，联立方程组，利用根与系数的关系求出，从而求出，利用正弦的定义求出，利用三角形的面积公式以及完全平方公式的变形求出，最后利用二次函数的性质即可求解【详解】解：过点B作于点H，设一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，对于一次函数，当时，当时，解得，设，联立方程组，整理得，开口向上，当时，有最小值，最小值为4故答案为：4【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数，解直角三角形，等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系、二次

29、函数的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键23. 如图，在四边形中，为对角线，为边上一点，连接交于点若，则的值为_【答案】#【解析】【分析】过点B作于点H，设，在中，利用正弦和余弦的定义求出，然后在在中，利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，再证明，利用相似三角形的性质求出，从而求出，最后代入计算即可【详解】解：过点B作于点H，设，即，即，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键二、解答题：（本大题共3个小题，共30分）24. 晨光中学课外活动小

30、组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米（1）设这个苗圃园的面积为S，求S与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为100时，求垂直于墙的一边的长【答案】（1），自变量x的取值范围为 （2）垂直于墙的一边长为10m【解析】【分析】（1）由长方形的面积公式建立二次函数即可；（2）根据（1）中的函数关系式可进行求解【小问1详解】解：设平行于墙的一边长为米，则有，即，；【小问2详解】解：由（1）可得：，解得：，答：垂直于墙的一边长为10m【点睛】此题考查了二次函数的实际

31、应用问题解题的关键是根据题意构建二次函数模型25. 已知，在中，点关于直线的对称点为，直线经过点且可任意旋转（1）如图1，当直线时，求点到直线的距离；（2）如图2，设直线在旋转过程中与线段相交于点，连接，将射线绕点逆时针旋转得到射线，旋转角，过点作交于点若线段的长为，求线段的长（用含的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，直线在旋转过程中，是否存在？若存在，求出的值，并判断此时线段与的数量关系；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2） （3）在旋转过程中，当时，此时【解析】【分析】（1）如图所示，延长交直线于T，连接交于H，根据对称性得到，由三线合一定理和勾股定理求出，则，再证明，利用相似三

32、角形的性质求出，即可求出点到直线的距离为；（2）分如图2-1和如图2-2两种情况，证明，得到，然后代入线段的值计算即可；（3）由对称性得到，则，进而由平行线的性质推出，再由旋转的性质推出，即为的角平分线，过点M作于K，则，利用等面积法求出，则，即可证明【小问1详解】解：如图所示，延长交直线于T，连接交于H，点关于直线的对称点为，在中，由勾股定理得，直线，又，即，点到直线的距离为；【小问2详解】解：如图2-1所示，当点M在点H左上方时，由（1）可得，将射线绕点逆时针旋转得到射线，旋转角，；如图2-2所示，当点M在点H的右下方时，同理可证，；综上所述， ；【小问3详解】解：点关于直线的对称点为，又

33、，即为的角平分线，过点M作于K，则，在旋转过程中，当时，此时【点睛】本题主要考查了旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键26. 如图，对称轴为的抛物线与轴交于点是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象（1）求抛物线的表达式；（2）当符合什么条件时，图象的最大值与最小值的差为9？（3）如果一个四边形的一条对角线把四边形分割成两个三角形，且这两个三角形相似，我们就把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形已知为直线上的动点，过点作轴于点，连

34、接，若四边形是以为和谐线的和谐四边形，求此时点的坐标【答案】（1） （2）或 （3）或或或或或或或【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）分，四种情况讨论即可；（3）在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合，求出直线解析式，利用韦达定理确定直线与抛物线没有交点，从而得出不可能等于，当M在第三象限时，是钝角，显然该情况不符合题意，则M只能在第一象限，由于与是不平行的，故四边形中，不可能等于，只可能等于，则是y轴负半轴与或y轴正半轴与的平分线，然后分别求出直线解析式，与抛物线解析式联立方程组，求出点P的坐标，再根据把四边形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质和两点间距离公式求

35、解即可【小问1详解】解：对称轴为的抛物线与轴交于点，解得，抛物线的表达式为；【小问2详解】解：对称轴为的抛物线与轴交于点，A关于对称轴的对称点为，抛物线的顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，当时，当时，解得，（不符合题意，舍去）当时，；当时，当时，当时，当时，当时，当时，解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）综上，当或时，图象的最大值与最小值的差为9【小问3详解】解：在直线取点，把点E绕O顺时针旋转，使E和F重合，过E作轴于G，过F作轴于H，则，设直线解析为，则，解得，联立方程组，整理得，直线与抛物线没有交点，不可能等于，当M在第三象限时，当点P在直线上方时，四边形不存在，当点P在直

36、线下方时，四边形不存在，故此种情况不符合题意；当M在第一象限时，设，由于和不平行，则四边形中不可能等于，则，当P在直线下方时，直线取点，在y轴上取点，的中点，即，直线解析式为，平分，联立方程组解得，当时，或，则，解得（负值舍去），即，解得（负值舍去），；当时，或，则，解得（负值舍去），即，解得（负值舍去），；当P在直线上方时，在直线取点，在y轴上取点，的中点，即，直线的解析式为，平分，联立方程组解得，当时，或， ，则，解得（负值舍去）， ，即，解得（负值舍去），；当时，或， ， ，则，解得（负值舍去）， ，即，解得（负值舍去），；综上：M的坐标为或或或或或或或【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形，涉及到的知识有：待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的性质，中点坐标公式，分类讨论等，明确题意，合理分类讨论是解题的关键