2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模试卷（含答案解析）

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1、2023年湖南省衡阳市南岳区中考数学一模试卷一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）12023的相反数是（）A2023BC2023D2神舟十五号载人飞船，搭载3名航天员于2022年11月29日成功发射，它的飞行速度大约是474000米/分，这个数字用科学记数法表示为（）A4.74105B4.74106C47.4104D0.4741063习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）ABCD4下列运算正确的是（）A（a4）3a7B（a2）3a6C（2ab）36a3b3Da5a5a105不

2、等式2x+13的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD6用配方法解一元二次方程x24x60，下列变形正确的是（）A（x2）26+4B（x2）26+2C（x2）26+2D（x2）26+47“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现某校随机抽查了50名八年级学生的视力情况，得到的数据如表：视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数8791412则本次调查中视力的众数和中位数分别是（）A4.9和4.8B4.9和4.9C4.8和4.8D4.8和4.98如图所示，小红要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12cm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则她所需纸板的面积是（）A60cm2B96cm2C120

3、cm2D48cm29若关于x的一元二次方程x22xk0没有实数根，则k的值可以是（）A2B1C0D110如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若AOC160，则ABC的度数是（）A80B100C140D16011如图，有一块直角边AB4cm，BC3cm的RtABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）ABCD12如图，二次函数yax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）Aabc0B2a+b0Cab+c0D4acb20二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13若分式有意义，则x的取值范围是 14

4、分解因式：x212x+36 15如果关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，那么m的取值范围是 16若圆锥的底面半径为2cm，母线长是3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm217如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（4，0），点D的坐标为（1，4），反比例函数y（x0）的图象恰好经过点C，则k的值为 18如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BEDF，连接EF交边AD于点G过点A作ANEF，垂足为点M，交边CD于点N若BE5，CN8，则线段AN的长为 三解答题（共8小题，满分66分）19（6分）先化简，

5、再求值：，其中x120（6分）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC1，D是BC边上的一点，以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90到AE，连接CE（1）求证：ABDACE；（2）若BAD22.5时，求BD的长21（8分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约

6、是 ；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率22（8分）如图，已知AB是O的直径，BC与O相切于点B，O的弦ADCO，连接DB交CO于点F，延长CO与O交于点E，连接EB（1）求证：CD是O的切线；（2）求证：BDBFADCF；（3）若，OC5，求tanABE的值23（8分）甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次

7、每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克（1）求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？24（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yax+b的图象与反比例函数的图象都经过A（2，4）、B（4，m）两点（1）直接写出不等式的解集： （2）求反比例函数和一次函数的表达式；（3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求ABC的面积25（10分）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的解

8、析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得SDCASABC，直接写出点D的坐标26（12分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容例2如图，在RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上的中线求证：CDAB证明：延长CD至点E，使DECD，连结AE、BE（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程（2）【应用】如图，直角三角形ABC纸片中，ACB90，点D是A

9、B边上的中点，连结CD，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CEAB若BC3，那么CE （3）【拓展】如图，在等腰直角三角形ABC中，ACBC4，C90，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DEDF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？参考答案解析一选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1 解：2023的相反数是2023故选：C2 解：4740004.74105故选：A3 解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转18

10、0后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D4 解：A、（a4）3a12，故A错误，不符合题意；B、（a2）3a6，故B错误，不符合题意；C、（2ab）38a3b3，故C错误，不符合题意；D、a5a5a10，故D正确，符合题意故选：D5 解：不等式2x+13的解集为：x1，故选：B6 解：x24x60，移项，得x24x6，配方，得x24x+46+4，（x2）26+4，故选：D7 解：由统计表可知众数为4.9；共有：8+7+9+14+1250人，中位数应为第25与第26个的平均数，而第25个数和第26个数都是4.9，则中位数是4.9故选：B8 解：圆锥形小漏斗的侧面积12848cm2故选：

11、D9 解：一元二次方程x22xk0没有实数根，（2）241（k）4+4k0，k1，故选：A10 解：AOC160，ADCAOC80，四边形ABCD是O的内接四边形，ABC180ADC18080100，故选：B11 解：如图，过点B作BPAC，垂足为P，BP交DE于QSABCABBCACBP，BPDEAC，BDEA，BEDC，BDEBAC，设DEx，则有：，解得x，故选：D12 解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a0抛物线的对称轴x10，则b0抛物线与y轴交于负半轴，则c0，所以abc0故A选项错误；B、x1，b2a，2a+b0故B选项错误；C、对称轴为直线x1，图象经过（3，0），该抛

12、物线与x轴的另一交点的坐标是（1，0），当x1时，y0，即ab+c0故C选项错误；D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则b24ac0，则4acb20故D选项正确；故选：D二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13 解：根据题意得，2x0，解得x2故答案为：x214 解：x212x+36（x6）2故答案为：（x6）215 解：根据题意得（2）24（m）0，解得m1，即m的取值范围是m1故答案为：m116 解：圆锥的侧面积2236（cm2）故答案为617 解：过点C、D作CEx轴，DFx轴，垂足为E、F，ABCD是菱形，ABBCCDDA，易证ADFBCE，点A（4，0），D（1，

13、4），DFCE4，OF1，AFOAOF3，在RtADF中，AD，OEEFOF514，C（4，4）k4416故答案为：1618 解：如图，连接AE，AF，EN，四边形ABCD为正方形，ABAD，BCCD，ABEBCDADF90，BEDF，ABEADF（SAS），BAEDAF，AEAF，EAF90，EAF为等腰直角三角形，ANEF，EMFM，EAMFAM45，AEMAFM（SAS），EMNFMN（SAS），ENFN，设DNx，BEDF5，CN8，CDCN+DNx+8，ENFNDN+DFx+5，CEBCBECDBEx+85x+3，在RtECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2EN2，即82+（x+3

14、）2（x+5）2，解得：x12，DN12，ADBCBE+CE5+x+320，AN4，解法二：可以用相似去做，ADN与FCE相似，设正方形边长为x，即，x20在ADN中，利用勾股定理可求得AN4故答案为：4三解答题（共8小题，满分66分）19 解：原式，当x1时，原式20 （1）证明：以A为旋转中心，把AD逆时针旋转90到AE，AEAD，BACDAE90，BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）解：如图，过点D作DHBD交AB于H，BAC90，ABAC1，ABDACB45，DHBC，ABCBHD45，BDDH，BHBD，BHDBAD+ADH，BAD22.5，BADADH2

15、2.5，AHHD，ABBD+BD1，BD121 解：（1）本次调查的学生总人数为410%40（名），C组人数为40（4+16+12）8（名），补全图形如下：故答案为：40；（2）C组所对应的扇形圆心角为36072，故答案为：72；（3）估计该校喜欢跳绳的学生人数约是1400560（人），故答案为：560人；（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为22 （1）证明：连接DO，BC与O相切，OBC90，DOAO，DABADO，ADCO，DABCOB，DOCADO，DOCCOB，DOBO，COC

16、O，DOCBOC（SAS），ODCOBC90，OD是O的半径，CD是O的切线；（2）证明：AB是O的直径，ADB90，ADCO，ADBOFB90，CFB180OFB90，ADBCFB90，A+ABD90，OBC90，ABD+CBD90，ACBD，ADBBFC，BFBDADCF；（3）解：OAOB，BFDF，OF是ABD的中位线，OFAD，OC5，CFOCOF5，2BF2ADCF；2BF2，BF，在RtOBF中，OB3，OEOB3，EFOE+OF3+，在RtBFE中，tanFEB，OEOB，ABEFEB，tanABEtanFEB，tanABE的值为23 解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价

17、是每千克x元，根据题意可知：25，x4，经检验，x4是原方程的解，答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；（2）设每千克的售价为y元，第一次销售了150千克，第二次销售了125千克，根据题意可知：150（y4）+125（y4.8）1000，解得：y8，答：每千克的售价至少为8元24 解：（1）由图象可知，不等式的解集为x4或0x2；故答案为：x4或0x2；（2）将A（2，4），B（4，m）两点代入中，得k2（4）4m，解得k8，m2，反比例函数的表达式为y；将A（2，4）和B（4，2）代入yax+b中得，解得，一次函数的表达式为：yx2；（3）设AB与x轴交于点D，连接CD，由题意可知

18、，点A与点C关于原点对称，C（2，4）在yx2中，当x2时，y0，D（2，0），CD垂直x轴于点D，SABCSADC+SBCD4（2+2）+4（42）8+41225 解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c，将A（4，0），B（1，0），C（0，2）代入yax2+bx+c，解得，yx2+x2；（2）存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似，理由如下：设P（t，t2+t2），则M（t，0），1t4，PMt2+t2，A（4，0），AM4t，tanMAP，C（0，2），OC2，OA4，tanOAC，当PAMOAC时，解得t2或t4（舍），P（2，1）；当PAMOCA时，2，解得t4

19、（舍）或t5（舍），此时P不存在；综上所述：P点坐标为（2，1）；（3）设直线AC的解析式为ykx+b，直线AC的解析式为yx2，过点B作直线AC的平行线yx+m，+m0，m，yx，联立方程组，解得（舍）或，D（3，1）26 （1）证明：延长CD到E，使DECD，连接AE，BE，则CDCE，CD是斜边AB上的中线，ADBD，四边形ACBE是平行四边形，ACB90，平行四边形ACBE是矩形，CEAB，CDAB；（2）解：如图2中，设CE交AB于点OACB90，ADDB，CDADDB，AACD，由翻折的性质可知ACDDCE，CEAB，BCE+B90，A+B90，BCEA，BCEACDDCE30，COCBcos30，DADE，DADC，DCDE，DOCE，COOE，CE3故答案为：3；（3）过点D作DGAC，DHBC，如图，DGAC，ACBC，DGBCD是边AB中点，DGBC，同理：DHAC，ACBC，DGDH四边形DGCH为正方形，GDH90GDF+FDH90，EDF90，GDF+EDG90EDGFDH在EDG和FDH中，EDGFDH（SAS）DEDFEDF为等腰直角三角形，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，即M所经过的路径为AB，ACBC4，C90，ABAC4EF的中点M所经过的路径长为2