2023年山西省长治市部分学校中考二模数学试卷（含答案解析）

《2023年山西省长治市部分学校中考二模数学试卷（含答案解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年山西省长治市部分学校中考二模数学试卷（含答案解析）（37页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、2023年山西省长治市部分学校中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 相反数的是（ ）A. B. C. D. 2. 我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 2023年1月，国家统计局发布2022年国民经济运行情况，其中货物贸易总额达到万亿元，比上年增长，扎实推进了高水平开放策略，数据“万亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 4. 在数学研究中，我们往往将两个数学对象比较，找出它们相似的地方，从而推出其他属性也有类似的地方，如：我们学习“同底数

2、幂除法”时常与“同底数幂乘法”类比；学习“相似三角形”时常与“全等三角形”类比等这种学习方法体现的数学思想是（ ）A. 转化思想B. 整体思想C. 数形结合思想D. 类比思想5. 不等式组的解集为（ ）A B. C. D. 6. 将一块含30角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数为（ ）A. 54B. 66C. 36D. 607. 化简的结果是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，内接于，半径的延长线交于点D，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 9. 如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为

3、化学反应的概率是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕弧的中点P逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点D落在上，点C落在上，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算：_12. 某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力与动力臂的几组对应值，根据学习经验，下表中a的值为_15234568643a213. 为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员_的成绩更加稳定14. 2023

4、年春节，全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预定量同比暴涨3.2倍，某景区为吸引游客推出两套家庭优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人8折优惠；方案二：所有人享受7折优惠，若晓鹏一家出游选择方案一更划算，则晓鹏家去旅游的至多_人15. 如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在，上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，则线段的长为_三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16. （1）计算：；（2）下面是小雨同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务解方程组：解：由，得第一步将代入，得第二步将代入，得第三步所以原方程组

5、的解为，第四步任务一：以上解题过程中，第一步的依据是_，解二元一次方程组的解法为_（填“代入消元法”或“加减消元法”）；任务二：小雨的解答过程从第_步开始出现错误，该方程组的正确解为_17. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为中点，连接，（1）实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）应用与求解：若，求的长18. “三晋大地，茶香满溢”，晋茶蕴藏着晋善晋美的魅力传奇，包揽着“茶通天下，德通天下”的美好夙愿，我国首届茶叶交易会将于2023年在山西举办，某茶店用8400元购进了A种茶叶若干盒，用9000元购进了B

6、种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多15盒，且A种茶叶每盒进价是B种茶叶的1.4倍，那么A，B两种茶叶每盒的进价分别为多少元？19. 2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭烟顺利升空，基本完成了空间站“T”字基本构型的组装建造，中国空间站建成后，将转入为期10年以上的应用与发展阶段，为人类探索太空提供重要的合作平台，为了解学生对我国航天科技及空间站的知晓情况，某校团委在七、八两个年级开展了“航天梦”科普知识竞赛活动，并各随机抽取了50名同学的成绩（成绩分段标准一致）进行整理，得到以下信息：信息一：七年级学生成绩的频数直方图和八年级学生成绩的扇形统计图如下：信

7、息二：成绩在D组的学生中，八年级比七年级少2人请根据以上信息，解答下列问题：（1）八年级成绩在C组的有_人；（2）该校七年级学生有550人，八年级学生有600人，若成绩在80分及以上为优秀，请估计七八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数；（3）根据调查的结果，请为该校航天科技知识的普及提出一条合理化建议20. 阅读与思考巧用方程思想解决函数交点问题我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图

8、像的交点情况的部分探究过程：联立得整理，得，方程是关于x的一元二次方程当时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点任务：（1）请参照阅读材料中分析过程，分别写出和时的分析结果；（2）若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值；（3）实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_（写出一个即可）21. 随着科技的不断进步，人们已进入自动机械时代，“铰链结构”是一种可用于机械轧机，使其能够开启和关闭的连杆式装置（如图为平面示意图），凹

9、槽MN安装在机床上，支点B，C，D始终在一条直线上，已知托臂，托臂，当CA垂直于凹槽时（如图1），“铰链结构”达到最大张角，此时将滑块A向左侧移动（在移动过程中，托臂长度不变），当时，“铰链结构”达到最小张角，A到达最左端（如图2），求凹槽MN上的滑轨距离（即点A滑动距离）（参考数据：）22. 综合与实践问题情境：在矩形中，E是边上的一点，过点E作对角线的垂线，垂足为点F，点G是的中点，连接小试牛刀：（1）如图1，若，直接写出线段与的数量关系以及的度数变式探究：（2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点F落在边的延长线上，其余条件不变，请探究（1）中的结论是否仍然成立，若

10、成立，请证明；若不成立，请说明理由拓展延伸：（3）将绕点B逆时针旋转（旋转角小于360），请探究下列问题：若将“矩形”变为“正方形”，其余条件不变，请在图3中画出旋转到某一位置的图形，并直接写出线段与的数量关系以及的度数；连接，若要保证绕点B逆时针旋转过程中，始终为等边三角形，写出矩形应满足的条件23. 综合与探究如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点A，连接（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；（2）若点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作交直线于点Q，求线段的最大值；（3）若点M在直线上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M

11、，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由2023年山西省长治市部分学校中考二模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 相反数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答.【详解】解：和为零的两个数称作互为相反数的相反数是.故选D.【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握和为零的两个数称作互为相反数是解题的关键.2. 我国将在2060年实现碳中和，新能源、绿色能源将成为产业发展的新趋势，下列新能源环保图标中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图

12、形的概念求解在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：D【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合3. 2023年1月，国家统计局发布2022年国民经济运行情况，其中货物贸易总额达到万亿元，比上年增长，扎实推进了高水平开放策略，数据“

13、万亿”用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：数据“万亿”用科学记数法表示为故选：A【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4. 在数学研究中，我们往往将两个数学对象比较，找出它们相似的地方，从而推出其他属性也有类似的地方，如：我们学习“同底数幂除法”时常与“同底数幂乘法”类比；学习“相似三角形”时常与“全等三角形”类比等这种学习方法体现的数学

14、思想是（ ）A. 转化思想B. 整体思想C. 数形结合思想D. 类比思想【答案】D【解析】【分析】根据题目描述，结合类比思想的含义可得答案【详解】解：由题意知，这种学习方法体现的数学思想是类比思想故选D【点睛】本题主要考查数学思想的识别，解题的关键是读懂题意，掌握类比思想的含义5. 不等式组的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集【详解】解：，解不等式，得：，解不等式，得：，故不等式组的解集为：故选：B【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集

15、是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键6. 将一块含30角的直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数为（ ）A. 54B. 66C. 36D. 60【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等和三角形内角和等于即可求解【详解】解：如图所示，由题意可知，对顶角相等，三角形内角和等于，；故选：B【点睛】本题主要考查利用含有角的直角三角板求解角度的问题，解题的关键是熟练运用对顶角相等和三角形内角和等于7. 化简的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】按照分式加减运算法则计算即可【详解】解：原式故选：A【点睛】本题考查分式的加减运

16、算，解题关键是对各项分式进行通分，找到所有分母的最简公分母，通分后即可进行运算8. 如图，内接于，半径的延长线交于点D，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】延长与交于点E，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等，可得，即可求解【详解】解：如图，延长与交于点E，连接，则是的直径，故选C【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角相等9. 如图为四张背面完全相同正面画有常见生活现象的卡片，现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为化学反应的概率是（ ）A. B. C.

17、D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【详解】解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用a、b、c、d表示，画树状图如下：共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“食物发霉”和“火柴燃烧”的结果有2种，则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是故选：C【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比10. 如图，将半径为4，圆心角为的扇形绕

18、弧的中点P逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点D落在上，点C落在上，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设与的交点为Q，连接、，过点P作于点G，由可得，再证，是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出，代入计算即可【详解】解：如图，设与的交点为Q，连接、，过点P作于点G，扇形绕点P逆时针旋转得到扇形，扇形中空白部分的面积，是等腰三角形，P为的中点，是等腰直角三角形，为等腰直角三角形，故选A【点睛】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是通过推导得出第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，

19、每小题3分，共15分）11 计算：_【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简，再合并二次根式即可【详解】解：，故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握根据二次根式的性质化简的方法是解题的关键12. 某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力与动力臂的几组对应值，根据学习经验，下表中a的值为_15234568643a2【答案】【解析】【分析】先观察表中的数据，推导出力与动力臂的函数关系为反比例函数，再根据待定系数法求解即可【详解】解：观察表中的数据，满足，则动力与动力臂的函数关系为反比例函数，设这个函数的解析式为，则，个函数的解析式为，

20、当时，解得，故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意判断出动力与动力臂的函数关系为反比例函数是解决问题的关键13. 为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员_的成绩更加稳定【答案】乙【解析】【分析】比较两人成绩的方差即可，方差越小，成绩越稳定【详解】解：甲的平均成绩为：，乙的平均成绩为：，甲成绩的方差为：，乙成绩的方差为：，由可知乙的成绩更加稳定故答案为：乙【点睛】本题考查利用方差判断稳定性，解题的关键是掌握方差的意义方差越小，数据的波动性越小14. 2023年春节，全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预定

21、量同比暴涨3.2倍，某景区为吸引游客推出两套家庭优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人8折优惠；方案二：所有人享受7折优惠，若晓鹏一家出游选择方案一更划算，则晓鹏家去旅游的至多_人【答案】7【解析】【分析】设晓鹏家有x人去旅游，根据两种方案分别列出代数式，选择方案一更划算则方案一的费用小于方案二的费用，列不等式并求解即可【详解】解：设晓鹏家有x人去旅游，门票原价为a元，且方案一门票费用：，方案二门票费用：，由题意得：，解得：，晓鹏家去旅游的至多有7人；故答案为：7【点睛】本题考查方案选择问题，解题的关键是运用等量关系：门票总费用折扣票价人数，根据选择的方案列不等式并求解，解题易错点是选择费用较

22、低的方案15. 如图，在正方形中，E是的中点，F，G分别在，上，连接，交于点M，N为的中点，连接，若正方形的边长为6，则线段的长为_【答案】【解析】【分析】过点D作交于点H，先证四边形是平行四边形，求出，再证，推导出，再用勾股定理求出，根据直角三角形斜边中线的性质可得【详解】解：如图，过点D作交于点H，四边形是正方形，四边形是平行四边形， E是的中点，在和中， N为的中点，故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是证明，掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答应写出文字说

23、明、证明过程或演算步骤）16. （1）计算：；（2）下面是小雨同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务解方程组：解：由，得第一步将代入，得第二步将代入，得第三步所以原方程组的解为，第四步任务一：以上解题过程中，第一步的依据是_，解二元一次方程组的解法为_（填“代入消元法”或“加减消元法”）；任务二：小雨的解答过程从第_步开始出现错误，该方程组的正确解为_【答案】（1）；（2）任务一：等式的基本性质，代入消元法；任务二：二，【解析】【分析】（1）根据绝对值、负整数指数幂、零次幂化简合并即可求解；（2）根据解二元一次方程组方法即可求解【详解】解：（1）；（2）任务一：以上解题过程中，

24、第一步的依据是等式的基本性质，解二元一次方程组的解法为代入消元法故答案为：等式的基本性质，代入消元法；任务二：第二步开始出现错误，正确的解：解方程组：解：由，得将代入，得，解得 将代入，得所以原方程组的解为，故答案为：二，【点睛】此题主要实数的混合运算以及解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用17. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为中点，连接，（1）实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）（2）应用与求解：若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用圆规在上作

25、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形；（2）先根据平行四边形的性质和已知条件证明，再证是等边三角形，求出，再证四边形是菱形，推出，最后根据勾股定理求出即可【小问1详解】解：如图所示：以点O为圆心，长为半径作弧，与线段的交点即为点F，连接，【小问2详解】解：由（1）知，中，E为的中点，是等边三角形，中，四边形是菱形，即，【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握菱形、平行四边形、等腰三角形的性质18. “三晋大地，茶香满溢”，晋茶蕴藏着晋善晋美的魅力传奇，包揽着“茶通天下，德通天下”的美好夙愿

26、，我国首届茶叶交易会将于2023年在山西举办，某茶店用8400元购进了A种茶叶若干盒，用9000元购进了B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多15盒，且A种茶叶每盒进价是B种茶叶的1.4倍，那么A，B两种茶叶每盒的进价分别为多少元？【答案】B种茶叶每盒进价为200元，A种茶叶每盒进价为280元【解析】【分析】设B种茶叶每盒进价为x元，A种茶叶每盒进价为元，根据所购B种茶叶比A种茶叶多15盒列出方程，解方程即可【详解】解：设B种茶叶每盒进价为x元，A种茶叶每盒进价为元，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，（元），答：B种茶叶每盒进价为200元，A种茶叶每盒进价为280元【点睛

27、】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确解方程，注意对方程的解进行检验19. 2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F遥十五运载火箭烟顺利升空，基本完成了空间站“T”字基本构型的组装建造，中国空间站建成后，将转入为期10年以上的应用与发展阶段，为人类探索太空提供重要的合作平台，为了解学生对我国航天科技及空间站的知晓情况，某校团委在七、八两个年级开展了“航天梦”科普知识竞赛活动，并各随机抽取了50名同学的成绩（成绩分段标准一致）进行整理，得到以下信息：信息一：七年级学生成绩的频数直方图和八年级学生成绩的扇形统计图如下：信息二：成绩在D组的学生中，八

28、年级比七年级少2人请根据以上信息，解答下列问题：（1）八年级成绩在C组有_人；（2）该校七年级学生有550人，八年级学生有600人，若成绩在80分及以上为优秀，请估计七八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数；（3）根据调查的结果，请为该校航天科技知识的普及提出一条合理化建议【答案】（1）19 （2）估计七八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约有160人； （3）见解析【解析】【分析】（1）先求得七年级学生成绩在D组的学生人数，再求得八年级学生成绩在D组、A组、B组的学生人数，据此计算即可求解；（2）用样本估计总体计算可得；（3）根据成绩的分布情况结合普及航天科技知识提出建议【小问1详解】解：七年级学生成

29、绩在D组的学生有(人)，则八年级学生成绩在D组的学生有(人)，八年级学生成绩在A组的学生有(人)，八年级学生成绩在B组的学生有 (人)，八年级学生成绩在C组的有(人)，故答案为：19；【小问2详解】解：，(人)，答：估计七八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约有160人；【小问3详解】解：成绩高于80分的只占调查人数的和，还需要进一步加强航天科技知识推广力度，增长学生对我国航天科技及空间站的相关知识，提高学生航天科技知识的普及率【点睛】此题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题

30、20. 阅读与思考巧用方程思想解决函数交点问题我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得整理，得，方程是关于x的一元二次方程当时，方程有两个不相等的实数根，二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点任务：（1）请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果；（2）若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值；（3）实际上，除了上述两种函数图

31、像交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_（写出一个即可）【答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根，二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；当时，方程没有实数根，二次函数的图像与一次函数的图像没有交点； （2）； （3），答案不唯一，合理即可【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式即可【小问1详解】解：根据一元二次方程根的判别式可得

32、：当时，方程有两个相等的实数根，二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；当时，方程没有实数根，二次函数的图像与一次函数的图像没有交点；【小问2详解】联立函数表达式：，可得：，化简得： ，函数图像有一个交点，解得：；故答案为：；【小问3详解】反比例函数图像与一次函数图像有两个交点联立反比例函数与一次函数解析式，满足，如：，答案不唯一，合理即可【点睛】本题考查联立函数解析式求交点坐标和个数，解题的关键是掌握二次函数与一次函数、反比例函数与一次函数联立时，可得一元二次方程，需判断根的根的判别式：若时，方程有两个不相等的实数根，即有两个交点；若时，方程有两个相等的实数根，即有一个交点；若时，方程无实

33、数根，即没有交点21. 随着科技的不断进步，人们已进入自动机械时代，“铰链结构”是一种可用于机械轧机，使其能够开启和关闭的连杆式装置（如图为平面示意图），凹槽MN安装在机床上，支点B，C，D始终在一条直线上，已知托臂，托臂，当CA垂直于凹槽时（如图1），“铰链结构”达到最大张角，此时将滑块A向左侧移动（在移动过程中，托臂长度不变），当时，“铰链结构”达到最小张角，A到达最左端（如图2），求凹槽MN上的滑轨距离（即点A滑动距离）（参考数据：）【答案】18.9cm【解析】【分析】由图1，根据勾股定理求得的长度，由图2，过C点作交于点H，利用锐角三角函数求线段和的长度，利用勾股定理求的长度，根据图2

34、中的长度减去图1 中的长度，即为点A滑动的距离【详解】解：如图1，在直角三角形中，由勾股定理得：，即，解得：；如图2，过C点作交于点H，由，可得：；在直角三角形中，由勾股定理得：，即，解得：，图2中综上所述，点A滑动的距离：；答：凹槽上的滑轨距离约为【点睛】本题考查利用勾股定理和锐角三角函数求对应线段长度，解题的关键是利用移动过程中托臂长度不变及给定角度进行求解22. 综合与实践问题情境：在矩形中，E是边上的一点，过点E作对角线的垂线，垂足为点F，点G是的中点，连接小试牛刀：（1）如图1，若，直接写出线段与的数量关系以及的度数变式探究：（2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕点B逆时针旋转

35、，使点F落在边的延长线上，其余条件不变，请探究（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由拓展延伸：（3）将绕点B逆时针旋转（旋转角小于360），请探究下列问题：若将“矩形”变为“正方形”，其余条件不变，请在图3中画出旋转到某一位置的图形，并直接写出线段与的数量关系以及的度数；连接，若要保证绕点B逆时针旋转过程中，始终为等边三角形，写出矩形应满足的条件【答案】（1）， （2）（1）中结论仍然成立，证明见解析 （3），；要保证绕点B逆时针旋转过程中，始终为等边三角形，则矩形应满足的条件为【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可证明；再解直角三角

36、形求出，进而得到，根据等边对等角和四边形内角和定理求出；（2）如图所示，延长交延长线于H，证明，得到，即点G是的中点，由直角三角形斜边上的中线的性质即可证明，由（1）可得，则，证明，解直角三角形得到，则，即可推出，即，；（3）如图3-1所示，先证明，如图3-2所示，过E作的平行线交延长线于M点，连接，过E作于N证明，得到证明四边形是矩形，得到进一步证明，得到，推出，即可证明是等腰直角三角形，由此即可证明，即图3-3所示， 证明，得到；如图3-4所示，过E作的平行线交延长线于M点，连接，过E作于N同理可证，得到证明四边形是矩形，得到进一步证明，得到，推出，再由是等边三角形，得到，解直角三角形得到

37、【小问1详解】解：四边形是矩形，G是的中点，；，即，在中，【小问2详解】解：（1）中结论仍然成立，证明如下：如图所示，延长交延长线于H，G是的中点，即点G是的中点，由（1）可得，；【小问3详解】解：如图3-1所示，四边形是正方形，如图3-2所示，过E作的平行线交延长线于M点，连接，过E作于N，G为中点，在和中，四边形是矩形，在和中，即，是等腰直角三角形，G为中点，即图3-3所示，四边形是矩形，又，；如图3-4所示，过E作的平行线交延长线于M点，连接，过E作于N同理可证，四边形是矩形，即，是等边三角形，在中，要保证绕点B逆时针旋转过程中，始终为等边三角形，则矩形应满足的条件为【点睛】本题主要考查

38、了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，直角三角形的性质等等；正确作出辅助线构造全等三角形，相似三角形是解题的关键.23. 综合与探究如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点A，连接（1）求抛物线的解析式以及点A的坐标；（2）若点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作交直线于点Q，求线段的最大值；（3）若点M在直线上运动，在坐标平面内是否存在另一个点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为，；

39、（2）的最大值为； （3）点N的坐标为或或或【解析】【分析】（1）先求得，再利用待定系数法即可求解；（2）过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D，证明，得到，当取得最大值时，也取得最大值；设，得到，利用二次函数的性质即可求解；（3）分四种情况讨论求解即可【小问1详解】解：在中，令，则，令，则，解得，把代入，得，解得，抛物线的解析式为，令，则，解得或，；【小问2详解】解：过A作交y轴于点F，过点P作轴于点E，交于点D，设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为，令，则， ， ，当取得最大值时，也取得最大值；设，则，则，当时，有最大值为2，的最大值为；【小问3详解】解：当点N在第二象限时，作轴于点G，四边形是菱形，；同理，当点N在第四象限时，；当点N在第一象限时，作轴于点，同理可得，当是对角线时，设，由菱形的性质知，则，解得，则， 同理，综上，点N的坐标为或或或【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质，两直线平行时k值相等是解题的关键