天津市南开区2023届高三二模数学试卷（含答案）

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1、天津市南开区2023届高三二模数学试卷参考公式：柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.球的体积公式，其中示球的半径.如果事件，相互独立，那么.对于稁件，那么.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集，集合，则（ ）.（A）（B）（C）（D）（2）设，则“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）已知函数，则的图象大致为（ ）.（A）（B）（C）（D）（4）某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层

2、抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ）.（A）30个（B）40个（C）60个（D）70个（5）已知，则，的大小关系是（ ）.（A）（B）（C）（D）（6）如图，某种中药胶囊外形是由两个半球和一个圆柱组成的，半球的直径是，圆柱高，则该中药胶囊的体积为（ ）.（A）（B）（C）（D）（7）已知拋物线的准线过双曲线的左焦点，点为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）（8）在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）.（A）4（B）8（C）12（D）16（9）已知函数，给

3、出下列结论：；将的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；若，则；对，有成立.其中正确结论的个数为（ ）.（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上。（10）是虚数单位，复数的虚部为_.（11）在的展开式中，常数项为_.（12）若直线与圆相切，则_.（13）计算的值为_.（14）一个盒子中装有5个电子产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中每次抽取1个产品.若抽取后不再放回，则抽取三次，第三次才取得一等品的概率为_；若抽取后再放回，共抽取10次，则平均取得一等品_次.（15）已知函数则函数的各个零点之和为_.若方程恰

4、有四个实根，则实数的取值范围为_.三、解答题：（本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在中，角，所对的边分别为，且，.（I）求的值；（II）求的值；（III）求的值.（17）（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，为的中点，垂足为.（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III）求平面与平面的夹角.（18）（本小题满分15分）设为等比数列，为公差不为零的等差数列，且，.（I）求和的通项公式；（II）记的前项和为，的前项和为，证明：；（III）记求（19）（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，上顶点为，

5、坐标原点到直线的距离为.（I）求椭圆的方程；（II）过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值。（20）（本小题满分16分）已知函数，.（I）求的最小值；（II）若，且，求证：；（III）若有两个极值点，证明：.参考答案一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）答案BADCBBDAC二、填空题：（本题共6小题，每题5分，共30分）（10）；（11）；（12）；（13）8；（14）0.1，6（第一个空2分，第二个空3分）；（15，5，（第一个空2分，第二个空3分）.三、解答题：（其他正确解法请比照给分）（16）解：（

6、I）由及正弦定理，得，所以，且.又，可得.（II）因为，由余弦定理，得，即，解得.（III）由（I）及，得，从而.由（I）得.，所以（17）解：如图，以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，（I），设平面的一个法向量为，则解得，令，得.因为，所以.又平面，所以平面.（II）设，则.因为，所以.即，解得，所以.所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（III）设平面的一个法向量为，则解得令，得.因为，所以.所以平面与平面夹角为.（18）解：（I）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，依题意，即，解得.所以.因为，所以，从而.（II）由（I）知，所以.因为，所以.（III）因为，所以（19）解：（I）由已知可得，解得，所以椭圆的方程为.（II）设的直线方程为，联立方程整理得，所以，因为，所以，即.所以.整理得，解得或（舍去），所以所以，令，则，此时最大值为.（20）解：（I）函数的定义域为，当时，所以在上单调递增，当时，所以在上单调递减，所以在时取得最小值0.（II）由（I）知，所以.由得，所以，即，从而.所以.（III）依题意，有两个不等正根，不妨设，由，得.设，由，知在上单调递增，在上单调递减.并且，当时，；当时，.可得，.，令，则，当时，当时，所以在上单调递减.因为，所以，.由（II），可得，从而.令，所以在上单调递减.所以，即.所以.所以，.所以.