2023年湖南省长沙市中考二模数学试卷（含答案）

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1、2023年湖南省长沙市初中学业水平考试二模数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1的相反数是（ ）ABCD2. 如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是（） A B CD3. 太阳的半径为千米，是地球半径的倍，千米用科学记数法表示为（ ）A米B米C米D米4. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，下面花纹图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）ABCD5. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37减至30，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（）（参考数据：，） A6米B3米C2米D1米6. 垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害随机将一节废

2、旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别放入不同的垃圾桶，则投放正确的概率为（ ） ABCD7为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ） A7 h；7 h B8 h；7.5 h C7 h ；7.5 h D8 h；8 h8.如图，等腰的直角顶点在轴上，点在轴上，若点坐标为，则点坐标为（ ） ABCD9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦

3、长为4米，半径长为3米若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A1米B2米C米D米10.如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，点E是BC的中点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sinECF( ) ABCD二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 使根式有意义的x的取值范围是_12代数式与代数式的值相等，则x_13. 如图，是某商店售卖的花架，其中，则长为_cm.14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_15如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为_ 16. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处

4、，点落在点处，折痕为，则线段的长是_三、 解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：18.解不等式组：，并写出它的所有整数解19. 我市一4A级风景区（如图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”学完了三角函数知识后， 某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭

5、”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为求：（1）坡顶A到地面的距离；（2）求碑亭的高度（结果保留根号）20. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中A部分的圆心角是 度；（2）请补全条形统计图；（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最

6、喜欢“科学探究”的学生人数为多少？（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）21. 年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进、两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍(1)求、两种吉祥物的单价各是多少元？(2)世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于

7、是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，已知、两种吉祥物的进价不变求种吉祥物最多能购进多少个？22.如图，AB为O的直径，点C是O上一点，CD与O相切于点C，ADDC，连接AC，BC（1）求证：AC是DAB的角平分线；（2）若AD2，AB3，求AC的长 23.如图1，矩形矩形AOBC中，OB4，OA3，分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k0）的图象与边AC交于点E （1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为 （2）连接EF，求EFC的正切值；（3）如图2，将CEF沿EF折叠，点C恰好落在

8、边OB上的点G处，求BG的长度24. 如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数，并说明理由25. 若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1） (1)求二次函数的表达式；(2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左

9、侧），若BC恰好平分求直线的表达式；(3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接交于点F，连接，当时，求点P的坐标；求m的最大值2023年湖南省长沙市初中学业水平考试二模数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1的相反数是（）ABCD解：的相反数是故选B2. 如图是某体育馆内的颁奖台，其左视图是（） A B CD解：由几何体可知，该几何体的左视图是 故选D3. 太阳的半径为千米，是地球半径的倍，千米用科学记数法表示为（ ）A米B米C米D米解：千米米 ，故选B4. 瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，下面花纹图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A

10、BCD解：选项A图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；选项B图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；选项C是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；选项D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：C5. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37减至30，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（）（参考数据：，） A6米B3米C2米D1米解:由题意得：sin37=，h=5=3，调整后的楼梯长=6，调整后的楼梯会加长：6-5=1m故答案为：D6. 垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害随机将一节废旧的电池（有害垃圾）和矿泉水空瓶（可回收垃圾）分别

11、放入不同的垃圾桶，则投放正确的概率为（ ） ABCD解：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，设两袋不同垃圾为a、b，画树状图如图：共有12个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为，故选：C7为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ） A7 h；7 h B8 h；7.5 h C7 h ；7.5 h D8 h；8

12、 h解：众数，中位数分别为：7 h ；7.5 h 答案C 8.如图，等腰的直角顶点在轴上，点在轴上，若点坐标为，则点坐标为（ ） ABCD解：如图， 作BD轴于点D，BDC=90，BCD+CBD=90，点坐标为， OD=6，BD=1，ABC为等腰直角三角形， ACB=90，AC=BC， ACO+BCD=90 ACO=CBD在和中， （AAS）， CO=BD=1，AO=CD，AO=CD=OD-OC=5，点在轴上，点坐标为（0，5），故答案选：D10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径

13、长为3米若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（） A1米B2米C米D米解：连接OC交AB于点E由题意OCAB，AE=BE=AB=2（米），在RtAEO中，（米），CE=OC-OE=（米），故选：C10.如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，点E是BC的中点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sinECF() ABCD解：过E作EHCF于H由折叠的性质得：BE=EF，BEA=FEA点E是BC的中点，CE=BE，EF=CE，FEH=CEH，AEB+CEH=90在矩形ABCD中，B=90，BAE+BEA=90，BAE=CEH，B=EHC，ABEEHC，AE

14、=10，EH=，sinECF=故选D二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11. 使根式有意义的x的取值范围是_解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，解得：，故答案为：12代数式与代数式的值相等，则x_解：代数式与代数式的值相等，去分母，去括号号，解得，检验：当时，分式方程的解为故答案为：714. 如图，是某商店售卖的花架，其中，则长为_cm.解：，解得；cm，14. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_解:关于x的一元二次方程有两个实数根 故答案为：15如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为_ 解：五边形是正五边形，是

15、等边三角形，17. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是_解：将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则：，设，则：，在中，解得：，在中，在中，；三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18. 计算：解：（1）；18.解不等式组：，并写出它的所有整数解解：，解不等式得 x2；解不等式得 x1，原不等式组的解集为：2x1，其整数解为：2，1，019. 我市一4A级风景区（如

16、图1）为了缅怀在宿北大战中献身的革命先烈，在山顶建有一座“宿北大战纪念碑亭”学完了三角函数知识后， 某校“数学社团”的小明和小华同学决定用自己学到的知识测量“宿北大战纪念碑亭”的高度如图2，已知，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，在坡顶A处的同一水平面上矗立着“宿北大战纪念碑亭”，在斜坡底P处测得该碑亭的亭顶B的仰角为，在坡顶A处测得该碑亭的亭顶B的仰角为求：（1）坡顶A到地面的距离；（2）求碑亭的高度（结果保留根号）解：（1）如图，过点A作于点D，斜坡的坡度为，斜坡的水平长度为24米，米， 即坡顶A到地面的距离10米；（2）解：过点C作于点E，则米，设米，在中，即，解得：，在中，是等腰直

17、角三角形，即，解得：，即碑亭的高度为米21. 为深化课程改革，提高学生的综合素质，某校开设了形式多样的校本课程为了解校本课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取了部分学生进行调查，从A：天文地理；B：科学探究；C：文史天地；D：趣味数学；四门课程中选你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为 人，扇形统计图中A部分的圆心角是 度；（2）请补全条形统计图；（3）根据本次调查，该校400名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？（4）为激发学生的学习热情，学校决定举办学生综合素质大赛，采取“双人同行

18、，合作共进”小组赛形式，比赛题目从上面四个类型的校本课程中产生，并且规定：同一小组的两名同学的题目类型不能相同，且每人只能抽取一次，小琳和小金组成了一组，求他们抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法求）解：（1）本次调查的总人数为2440%60（人），扇形统计图中A部分的圆心角是36036，故答案为：60、36；（2）B课程的人数为60（6+18+24）12（人），补全图形如下：（3）估计最喜欢“科学探究”的学生人数为40080（人）；（4）画树状图如图所示，共有12种等可能的结果数，其中抽到“天文地理”和“趣味数学”类题目的结果数为2，他们抽到“天文地理

19、”和“趣味数学”类题目的概率是21. 年第届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某商场在世界杯开始之前，用元购进、两种世界杯吉祥物共个，且用于购买种吉祥物与购买吉祥物的费用相同，且种吉祥物的单价是种吉祥物的倍(1)求、两种吉祥物的单价各是多少元？(2)世界杯开始后，商场的吉祥物很快就卖完了，于是计划用不超过元的资金再次购进、两种吉祥物共个，已知、两种吉祥物的进价不变求种吉祥物最多能购进多少个？解：（1）设种吉祥物的单价是元，则种吉祥物的单价是元，根据题意，有：，解得：，经检验，是原方程的根，（元），答：种吉祥物的单价是元，种吉祥物的单价是元；（2） 设种吉祥物最多能购进个，则此时种吉祥物能购进个，且为整

20、数，根据题意，有：，解得：，即：种吉祥物最多能购进个22.如图，AB为O的直径，点C是O上一点，CD与O相切于点C，ADDC，连接AC，BC（1）求证：AC是DAB的角平分线；（2）若AD2，AB3，求AC的长 解：（1）证明：连接OC，如图，CD与O相切于点C，OCD90，ACD+ACO90，ADDC，ADC90，ACD+DAC90，ACODAC，OAOC，OACOCA，DACOAC，AC是DAB的角平分线；（2） AB是O的直径，ACB90，DACB90，DACBAC，RtADCRtACB， ，AC2ADAB236，AC23.矩形AOBC中，OB4，OA3，分别以OB，OA所在直线为x轴，

21、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y（k0）的图象与边AC交于点E（1）当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为 （2）连接EF，求EFC的正切值；（3）如图2，将CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度解：（1）OB4，OA3，点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），点F运动到边BC的中点时，点F（4，），将点F的坐标代入y并解得：k6，故反比例函数的表达式为：y，当y3时，x2，故E（2，3），故答案为：（2，3）；（2）F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，F（4，），CFBCBF3，E

22、的纵坐标为3，E（，3），CEACAE4，在RtCEF中，tanEFC；（3）如图，由（2）知，CF，CE，过点E作EHOB于H，EHOA3，EHGGBF90，EGH+HEG90，由折叠知，EGCE，FGCF，EGFC90，EGH+BGF90，HEGBGF，EHGGBF90，EHGGBF，BG25. 如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE（1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；（2）延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_；如图3，当点F

23、为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数，并说明理由（1）解：证明：是等边三角形，线段绕点A按逆时针方向旋转得到，即在和中，；（2）解：理由：线段绕点A按逆时针方向旋转得到，是等边三角形，由（1）得，；过点A作于点G，连接AF，如下图是等边三角形，是等边三角形，点F为线段BC中点，即，即是等腰直角三角形，25. 若一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为，二次函数的图象过A，B，C三点，如图（1） (1)求二次函数的表达式；(2)如图（1），过点C作轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分求直线的表达式；(3)如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴

24、右侧），连接交于点F，连接，当时，求点P的坐标；求m的最大值解:（1）一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，当时，当时，解得，点，将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：；（2） 设直线交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，轴交抛物线于点D，点D的横坐标是2，当时，由点B、C的坐标知，直线与的夹角为，即，恰好平分，故，而，故，故，故点，设直线的表达式为： ，则，解得，故直线BE的表达式为：；（3） 过点P作轴交于点N，则，则，而，则，解得：，当时，则，设点，设直线的表达式为，则则，解得，直线的表达式为：，当时，故点，故，解得：或2，或，故点或；，故m的最大值为