2023年山西省太原市中考一模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年山西省太原市中考一模数学试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 实数4的相反数是（ ）A. B. -4C. D. 42. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 经过几年高质量农田建设，全国农业基础设施建设实现重大突破，粮食产量稳步提高，2022年我省粮食总产量达到292.9亿斤数据292.9亿斤用科学记数法表示为（ ）A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤4. 法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究这种解决问题的方法是（ ）A. 数形结合B. 类比C. 一般到特殊D. 分类讨论5.

2、 将一副三角板如图摆放，斜边，与相交于点，则的度数等于（ ）A. B. C. D. 6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A B. C. D. 7. 为了培养学生班级管理能力，小明所在的班里每月都从综合表现优秀的10名同学中选出1名当月班长小明班里有50名学生，若他恰好在本月候选的10名学生中，则他被选为月班长的概率为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为6，点是边上一点，连接交对角线于点若，则的长为（ ）A. 2B. C. D. 39. 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：砝码的质量（x克）05010015020025030

3、0400500指针位置（厘米）2345677.57.57.5y关于x的函数图象是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，在扇形纸片中，、点是半径上的点、沿直线折叠得到，点的对应点落在上，图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算的结果是_12. 太原市某中学组织466名九年级师生去综合实践基地进行社会实践时，从出租车公司租用了49座和37座两种车型的客车共10辆，刚好坐满，学校租用49座的客车_辆13. 有外形相同的两把锁和两把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，每把锁只能被其中的一把钥匙打开现将锁和钥匙随机配对，每把

4、锁和钥匙各一把，则至少有一把锁能被打开的概率为_14. 小明参加了今年社区组织的义务植树活动，活动结束后，他发现对面斜坡的平台上有一棵与地面垂直的树，他想运用课上学到的相关知识测量这棵树的高度测量过程如下：如示意图，在点处测得树顶端的仰角为，先沿着斜坡行走13米至坡顶处，再沿水平方向行走3米到达树底点处（点，在同一平面内）已知斜坡的坡比为，则他测得树的高度为_米15. 如图，在中，点是边的中点，点和分别在边和上，若，则边的长为_三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）16 （1）计算：；（2）化简：17. 如图，在中，（1）实践与操作：作的平分线交

5、于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）猜想与证明：线段与之间存在怎样的数量关系，并证明18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，点的横坐标为8（1）求一次函数的表达式；（2）直接写出当时的取值范围19. 为促进学生对日常生活与健康知识的了解，某校组织了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制且为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下图是这20名学生第一活动和第二次活动成绩的统计图（1）学生甲两次成绩相同，他的成绩是_分；学生乙第一次成绩低于85分，第二次成绩高于90分，请在图中用“”圈出代表学生乙成绩的点；（2）为了解每位学生两次

6、活动平均成绩的情况，三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图数据（成绩）分成6组：，若他们3人中只有一人所作的频数直方图正确，则作图正确的是_；（3）学校有1500名学生参加了此次活动，估计两次活动平均成绩不低于85分的学生人数20. 下面是小明同学一天课外学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务构造辅助圆圆是平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形，而弧、弦、圆心角、圆周角是探索发现同圆或等圆中弧、角、线段之间关系的主要依据如果要解决的问题中出现了有公共端点的几条线段相等时，可以采用构造辅助圆的方法解决如图1，在四边形中，求证：在这个问题中，由于，所以点，在以为圆心，为半径的圆上如

7、图2或图3画出经过，三点的方法1：如图2.， （依据1），；方法2：如图3，延长交于点，连接为的直径，（依据2），任务：（1）写出方法1，方法2中两个推理的依据：依据1_，依据2_；（2）参照笔记中的方法，解决下面的问题：如图4，在中，与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点，求证：21. 随着我国交通和互联网络的快速发展，更多的人喜欢在网上购物某快递物流公司准备投入一笔资金购买甲、乙两种型号的货运车，以满足未来的业务需求市场调研发现，1辆甲种型号货运车售价比1辆乙种型号货运车售价多2万元；用80万元分别单独购买这两种型号的货运车，能买到甲种型号货运车的数量是乙种型号货运车数量的（1）求这两

8、种型号货运车的销售单价；（2）若该物流公司计划购进这两种型号的货运车共20辆，且购买的总费用不超过170万元，求最多购买甲种型号货运车多少辆22. 问题情境：如图，与都是等边三角形，点，点分别在，边上，将绕点顺时针旋转，连接，请解答下列问题：（1）操作发现：图中，在旋转过程中，这个结论是否仍然成立请结合图说明理由；（2）操作计算：当旋转角为90时，在图中画出相应图形，并求的长；（3）操作探究：如图，当点，三点共线时，连接猜想并证明四边形的形状23. 如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点（1）求点，和坐标；（2）如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点

9、交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标；（3）作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标2023年山西省太原市中考一模数学试题一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1. 实数4的相反数是（ ）A. B. -4C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义即可解答【详解】符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，4的相反数是4；故选B【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据整式的运算性质逐项判断即可【详

10、解】A、，故此选项错误；B、和不是同类项不能合并，故此选项错误；C、，故此选项正确；D、，故此选项错误；故选C【点睛】本题主要考查了整式的运算性质，涉及合并同类项，积的乘方，完全平方公式等知识，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键3. 经过几年高质量农田建设，全国农业基础设施建设实现重大突破，粮食产量稳步提高，2022年我省粮食总产量达到292.9亿斤数据292.9亿斤用科学记数法表示为（ ）A. 斤B. 斤C. 斤D. 斤【答案】C【解析】【详解】292.9亿，故选C【点睛】本题主要考查了科学记数法，绝对值较大的数可以表示为的形式，其中，为所有整数位数减1，表示时关键是要正确确定和的值4. 法

11、国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究这种解决问题的方法是（ ）A. 数形结合B. 类比C. 一般到特殊D. 分类讨论【答案】A【解析】【分析】根据题意，平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究，即可求解【详解】解：法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究这种解决问题的方法是数形结合，故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系，数学思想，理解题意是解题的关键5. 将一副三角板如图摆放，斜边，与相交于点，则的度数等于（ ）A. B

12、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】如图所示：过点作根据平行线的性质可得即可得出结果【详解】解：如图所示：过点作，故选：【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键6. 把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示即可【详解】解：解不等式得：，解不等式，得：，所以不等式组的解集为：，不等式组的解集在数轴上表示为：故选： B 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的

13、关键，也考查了不等式组解集在数轴上的表示方法7. 为了培养学生班级管理能力，小明所在的班里每月都从综合表现优秀的10名同学中选出1名当月班长小明班里有50名学生，若他恰好在本月候选的10名学生中，则他被选为月班长的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】让1除以表现优秀的学生总数即可求得小明被抽到的概率【详解】解：小明被选为月班长的概率为是 故选：D【点睛】此题考查概率公式的应用：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率8. 如图，正方形的边长为6，点是边上一点，连接交对角线于点若，则的长为（ ）A. 2B. C. D.

14、3【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质证明，得出，再由勾股定理求出 即可得出结论【详解】解：四边形是正方形，故选B【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质判定出是解题的关键9. 某班同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：砝码的质量（x克）050100150200250300400500指针位置（厘米）2345677.57.57.5y关于x的函数图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据表格得出函数解析式，根据函数解析式得出函数图像即可【详解】方法一：根据图表可以知道，在没有砝码时指针

15、的位置是2cm,以后砝码每增加50g,指针位置增加lcm,则当是275g时,弹簧指针位置应是7.5cm,以后，指针位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5cm.故选: D.方法二：设y关于x的函数解析式为：，根据题意将点代入得：，解得：，当时，解得，当时，指针位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5cm故选：D【点睛】此题主要考查了求一次函数解析式以及函数图象，本题易出现的错误是选第二个10. 如图，在扇形纸片中，、点是半径上的点、沿直线折叠得到，点的对应点落在上，图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，根据折叠的性质得出，则是等边三角形，根据得出是等腰直角三

16、角形，进而根据即可求解【详解】解：如图所示，连接，折叠，是等边三角形，则， ，故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，求扇形面积，证明是等边三角形，是解题的关键第卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. 计算的结果是_【答案】12【解析】【分析】根据平方差公式计算即可得出答案【详解】解：故答案是12【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记平方差公式解题的关键12. 太原市某中学组织466名九年级师生去综合实践基地进行社会实践时，从出租车公司租用了49座和37座两种车型的客车共10辆，刚好坐满，学校租用49座的客车_辆【答案】8【解析】【分析】设租用49座客

17、车辆，37座客车辆，根据租用了49座和37座两种车型的客车共10辆，刚好坐满，可列方程组，解方程组即可得出答案【详解】解：设租用49座客车辆，37座客车辆，根据题意，得：，解得：，故答案是8【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键13. 有外形相同的两把锁和两把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，每把锁只能被其中的一把钥匙打开现将锁和钥匙随机配对，每把锁和钥匙各一把，则至少有一把锁能被打开的概率为_【答案】#【解析】【分析】先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可【详解】解：设两把锁分别为锁甲和锁乙

18、，对应的钥匙为钥匙甲，钥匙乙，画树状图如下： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中至少有一把锁能被打开的结果数有2种，至少有一把锁能被打开的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键14. 小明参加了今年社区组织的义务植树活动，活动结束后，他发现对面斜坡的平台上有一棵与地面垂直的树，他想运用课上学到的相关知识测量这棵树的高度测量过程如下：如示意图，在点处测得树顶端的仰角为，先沿着斜坡行走13米至坡顶处，再沿水平方向行走3米到达树底点处（点，在同一平面内）已知斜坡的坡比为，则他测得树的高度为_米【答案】10【解析】【分析】延长与

19、地面交于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得米，再根据坡比、勾股定理可得米，米，从而可得米，米，然后根据等腰三角形的判定可得米，最后根据即可得【详解】解：如图，延长与地面交于点，过点作于点，由题意得：米，米，四边形是矩形，米，斜坡的坡比为，设米，则米，解得，米，米，米，米，又，是等腰直角三角形，米，（米），故答案为：10【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键15. 如图，在中，点是边的中点，点和分别在边和上，若，则边的长为_【答案】【解析】【分析】先根据倍长中线法作辅助线，延长至，使，连接，过点作于点，得，再证明、为等腰直角三角形

20、，然后在中根据勾股定理，即可得出结果【详解】解：延长至，使，连接，过点作于点，在中，点是边的中点，为等腰直角三角形，在等腰和等腰中，为等腰直角三角形，在中，故答案为：【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形，中线的辅助线方法等相关知识，倍长中线法作辅助线是本题的关键三、解答题（本大题共8个小题，共75分解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）16. （1）计算：；（2）化简：【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先根据零指数幂的意义，绝对值的性质，负整数指数幂的性质化简，再计算即可；（2）先根据异分母分式的加法法则计算括号里的减法，再将分式的除法转化为

21、乘法进行约分即可得出答案【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】本题主要考查了实数的运算和分式的混合运算，熟练掌握零指数幂的意义，绝对值的性质，负整数指数幂的性质以及分式的混合运算法则是解题的关键17. 如图，在中，（1）实践与操作：作的平分线交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）猜想与证明：线段与之间存在怎样的数量关系，并证明【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析【解析】【分析】（1）利用尺规作图角平分线的作法，进行作图即可；（2）根据等腰三角形的性质和判定，证明，即可【小问1详解】解：如图.【小问2详解】（或相等）证明：，是的平分线，是的外角，【点睛】本题考查了基本作

22、图：角平分线的作法，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握角平分线的作法是解决问题的关键18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，点的横坐标为8（1）求一次函数表达式；（2）直接写出当时的取值范围【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）将点，代入求得，进而求得点的坐标，待定系数法即可求解；（2）根据交点的横坐标，结合图象即可求解【小问1详解】解：反比例函数的图象经过点，.解，得.把代入中，得.点一次函数的图象经过和点，解，得一次函数的表达式为【小问2详解】解：一次函数与反比例函数交于点和点，结合函数图象可知，当时，的取值范围是或，【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练

23、掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键19. 为促进学生对日常生活与健康知识的了解，某校组织了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制且为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下图是这20名学生第一活动和第二次活动成绩的统计图（1）学生甲的两次成绩相同，他的成绩是_分；学生乙第一次成绩低于85分，第二次成绩高于90分，请在图中用“”圈出代表学生乙成绩点；（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图数据（成绩）分成6组：，若他们3人中只有一人所作的频数直方图正确，则作图正确的是_；（3）学校有1500名学生参

24、加了此次活动，估计两次活动平均成绩不低于85分的学生人数【答案】（1）90；见解析 （2）B （3）825名【解析】【分析】（1）根据统计图可以看出横坐标和纵坐标相等只有这一个点，即可出答案；符合题目要求的范围在直线的左边，直线的上边，在图中圈出即可；（2）根据统计图数得出各组频数，即可得出结论；（3）用总人数乘以抽取的样本中两次活动平均成绩不低于85分的学生的占比即可【小问1详解】由统计图可以看出横坐标和纵坐标相等的只有这一个点，故答案是90；如图所示，符合题目要求的范围在直线的左边，直线的上边，在图中圈出的就是所求：【小问2详解】由统计图可以看出两次活动平均成绩的点有6个，的点有2个，的点

25、有1个，的点有2个，的点有5个，的点有4个 ，所以B作图正确，故答案为B；【小问3详解】（名），答：估计两次活动平均成绩不低于85分的学生人数约为825名学生【点睛】本题主要考查了统计图以及用样本频率估计总体的频率，正确读懂统计图中的信息，掌握频数分布直方图的知识是解题的关键20. 下面是小明同学一天的课外学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务构造辅助圆圆是平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形，而弧、弦、圆心角、圆周角是探索发现同圆或等圆中弧、角、线段之间关系的主要依据如果要解决的问题中出现了有公共端点的几条线段相等时，可以采用构造辅助圆的方法解决如图1，在四边形中，求证：在这个问题中，由于

26、，所以点，在以为圆心，为半径的圆上如图2或图3画出经过，三点的方法1：如图2.， （依据1），；方法2：如图3，延长交于点，连接为的直径，（依据2），任务：（1）写出方法1，方法2中两个推理的依据：依据1_，依据2_；（2）参照笔记中的方法，解决下面的问题：如图4，在中，与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点，求证：【答案】（1）一条弧所对的圆周角是它所对圆心角度数的一半；直角三角形两锐角互余 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角形的性质解答即可；（2）先构造以点为圆心，为半径的，证明点和点在上，根据圆周角定理得出，再由等边对等角和三角形外角的性质得出，即可得出结论【

27、小问1详解】依据1：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角度数的一半；依据2：直角三角形两锐角互余；【小问2详解】如答图，以点为圆心，为半径作，与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点，点和点在上，是的外角，；【点睛】本题主要考查了圆周角定理，轴对称的性质，等边对等角以及三角形外角的性质，解题的关键是读懂题意，正确构造出辅助圆21. 随着我国交通和互联网络的快速发展，更多的人喜欢在网上购物某快递物流公司准备投入一笔资金购买甲、乙两种型号的货运车，以满足未来的业务需求市场调研发现，1辆甲种型号货运车售价比1辆乙种型号货运车售价多2万元；用80万元分别单独购买这两种型号的货运车，能买到甲种型号货运车的

28、数量是乙种型号货运车数量的（1）求这两种型号货运车的销售单价；（2）若该物流公司计划购进这两种型号的货运车共20辆，且购买的总费用不超过170万元，求最多购买甲种型号货运车多少辆【答案】（1）甲种型号货运车的售价是10万元，乙种型号货运车的售价是8万元 （2）5辆【解析】【分析】（1）设甲种型号货运车的售价为万元，根据用80万元分别单独购买这两种型号的货运车，能买到甲种型号货运车的数量是乙种型号货运车数量的列出方程，求解方程并检验即可；（2）设购买甲种型号的货运车辆，根据该物流公司计划购进这两种型号的货运车共20辆，且购买的总费用不超过170万元列出不等式，求解不等式的最大整数解即可【小问1详

29、解】解：设甲种型号货运车的售价为万元，根据题意，得，解得：，经检验，是原方程的解且符合题意，此时，答：甲种型号货运车的售价是10万元，乙种型号货运车的售价是8万元；【小问2详解】设购买甲种型号的货运车辆，根据题意，得，解得：，取最大的正整数，答：最多购买甲种型号货运车5辆【点睛】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键22. 问题情境：如图，与都是等边三角形，点，点分别在，边上，将绕点顺时针旋转，连接，请解答下列问题：（1）操作发现：图中，在旋转过程中，这个结论是否仍然成立请结合图说明理由；（2）操作计算：当旋转角为90时，在图中画出相应图形，

30、并求长；（3）操作探究：如图，当点，三点共线时，连接猜想并证明四边形的形状【答案】（1）成立，理由见解析 （2） （3）菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）证明即可得出结论；（2）先根据题意画出图形，过点作交的延长线于点，在中求出，然后在中，由勾股定理即可求出的长；（3）过点作交于点，证明即可得出结论【小问1详解】仍然成立，理由如下：与都是等边三角形，在和中，；【小问2详解】如下图为所求作的图形：，如答图1，过点作交的延长线于点，则，绕点顺时针旋转了，是等边三角形，在中，在中，由勾股定理，得，的长为；【小问3详解】猜想：四边形是菱形；理由：如答图2，过点作交于点，则，是等边三角形，在中， ，

31、在中，是等边三角形，是的平分线，直线是边的中垂线，是等边三角形，四边形是菱形【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，菱形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质，以及旋转的性质解决问题23. 如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点（1）求点，和的坐标；（2）如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标；（3）作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 （

32、2）点的坐标是 （3），【解析】【分析】（1）分别令，即可求解；（2）可求直线的解析式为，设点的坐标为，由于当的周长最大时，斜边最大，从而可求；（3）进行分类讨论：当直线与轴重合时，此时与重合；当直线与轴不重合时，设直线的解析式为：，从而可求出用表示的的坐标，将对称点的坐标代入抛物线，可求具体的值，从而可求解【小问1详解】解：把代入中，得，解得：，点的坐标是，点的坐标是，把代入中，得，点坐标是【小问2详解】解：设直线的函数表达式为，点，点，解得，直线的解析式为，点，点，设点的坐标为，轴于点交直线于点，轴，点的坐标为，是等腰直角三角形，当的周长最大时，斜边最大，当时，取得最大值，当时，点的坐标是【小问3详解】解：如图：当直线与轴重合时，此时与重合，当直线与轴不重合时，设直线的解析式为：，解得：，关于轴的对称点坐标为，解得：，直线的解析式为：，解得：， ，的坐标为：或，综合得：的坐标为， 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点求法，动点产生的最值问题，关于点的对称问题，掌握具体求法是解题的关键