2023年全国初中数学素养与创新能力竞赛（初二组）决赛试题（含答案）

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1、2023年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初二组）决赛试题一、 选择题（本题满分42分，每小题7分）1. 已知x2-x-1=0,则的值为（ ） A.0 B.1 C.-1 D.-32小明使用图形计算器探究函数y=的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（）A a0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b03.已知线段(1x3)，线段y=+a（1x3），当a的值由1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（）2题图A6B8C9D109题图5题图4已知实数a、b、c满足abc，并且k，则直线ykx+k一定经过（）A第一、三、四

2、象限B第一、二、四象限C第一、二、三象限D第二、三、四象限5如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACOADB90，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为（ ）A3B12C6D366. 某校准备在运动会时购买A、B、C三种奖品，已知三种奖品的单价之和为22元，计划购买三种奖品的总数量不超过200个，其中C奖品的单价为10元，计划购买50个；计划购买A奖品 的数量不多于B奖品数量的一半，但至少购买20个.在做预算时，运动会的组委会将A和B的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元.若A、B、C的单价均为整数，则实际购买A、B、C三种奖

3、品的总费用最多需要（ ） A.940元 B.1300元 C.1480元 D.1530元二、 填空题（本题满分28分，每小题7分）7. 已知A=,则A的值为 .8. 直线与x轴和y轴的交点分别为A和B，则线段AB上（包括端点A和B）横坐标和纵坐标都是整数的点有 个. 9.如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C、D两点在反比例函数y=的图象上，ACx轴于点E，BDx轴于点F，AC2，BD3，EF=，则k2k110.已知实数a，b满足，则的最大值为 .三、 （本大题满分20分）11. 已知ax=by=cz=1，求的值.四、（本大题满分25分）12.）已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）

4、是反比例函数y=图象上的两个点，且a0，b0，m0（1）求证：a+b=；（2）若OA2+OB22a2+2b2，求m的值；（3）若SOAB3SOCD，求km的值五、本大题满分25分13.如图，一次函数ykx+6的图象分别交y轴正半轴于点A，x轴正半轴于点B，且AOB的面积是24（1）求k的值；（2）作BAO的平分线交x轴于点P，将PA绕点P顺时针旋转45得到直线PC，线段PB沿着射线PC方向平移，得到线段PB，连结AB，PB，求直线PC的函数关系式；当APB是以AP为直角边的直角三角形时，求点B的坐标2023年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初二组）决赛试题四、 选择题（本题满分42分，每小题

5、7分）2. 已知x2-x-1=0,则的值为（ B ） A.0 B.1 C.-1 D.-32小明使用图形计算器探究函数y=的图象，他输入了一组a，b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a，b的值满足（A）B a0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b03.已知线段(1x3)，线段y=+a（1x3），当a的值由1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（A）2题图A6B8C9D109题图5题图4已知实数a、b、c满足abc，并且k，则直线ykx+k一定经过（A）A第一、三、四象限B第一、二、四象限C第一、二、三象限D第二、三、四象限5如图，OAC和BAD都是等

6、腰直角三角形，ACOADB90，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为（A ）A3B12C6D369. 某校准备在运动会时购买A、B、C三种奖品，已知三种奖品的单价之和为22元，计划购买三种奖品的总数量不超过200个，其中C奖品的单价为10元，计划购买50个；计划购买A奖品 的数量不多于B奖品数量的一半，但至少购买20个.在做预算时，运动会的组委会将A和B的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元.若A、B、C的单价均为整数，则实际购买A、B、C三种奖品的总费用最多需要（ C ） A.940元 B.1300元 C.1480元 D.15

7、30元五、 填空题（本题满分28分，每小题7分）10. 已知A=,则A的值为 .11. 直线与x轴和y轴的交点分别为A和B，则线段AB上（包括端点A和B）横坐标和纵坐标都是整数的点有 5 个. 9.如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C、D两点在反比例函数y=的图象上，ACx轴于点E，BDx轴于点F，AC2，BD3，EF=，则k2k1410.已知实数a，b满足，则的最大值为 72 .六、 （本大题满分20分）12. 已知ax=by=cz=1，求的值.解：axbycz1，a4x4b4y4c4z41，原式，1+1+1，3四、（本大题满分25分）12.）已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+

8、2）是反比例函数y=图象上的两个点，且a0，b0，m0（1）求证：a+b=；（2）若OA2+OB22a2+2b2，求m的值；（3）若SOAB3SOCD，求km的值（1）证明：点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）是反比例函数y=图象上的两个点；ka（ma+2）b（mb+2），整理得，m（ab）（a+b）2（ab），a0，b0，m0ab，a+b=（2）解：A（a，ma+2）、B（b，mb+2），OA2a2+（ma+2）2，OB2b2+（mb+2）2，OA2+OB2a2+（ma+2）2+b2+（mb+2）22a2+2b2，（ma+2）2+（mb+2）2a2+b2，由（1）知a+b=m，代入中得（

9、a+b）24，（）24，m1，m0，m1（3）解：A（a，ma+2）、B（b，mb+2），直线AB的解析式为：ymx+2，C（0，2），D（，0），SOCDOCOD2，a+b=SOAB（ab）23，ab，a=，b=A（，4），B（，2）k=（2），km8五、本大题满分25分13.如图，一次函数ykx+6的图象分别交y轴正半轴于点A，x轴正半轴于点B，且AOB的面积是24（1）求k的值；（2）作BAO的平分线交x轴于点P，将PA绕点P顺时针旋转45得到直线PC，线段PB沿着射线PC方向平移，得到线段PB，连结AB，PB，求直线PC的函数关系式；当APB是以AP为直角边的直角三角形时，求点B的坐标

10、解：（1）在ykx+6中，令x0得y6，A（0，6），OA6，AOB的面积是24，6OB24，OB8，B（8，0），把B（8，0）代入ykx+6得：8k+60，解得：k，k的值为；（2）过P作PDAB于D，过A作AEPC于E，过E作EGx轴于G，过A作AFEG于F，如图：AP平分OAB，OAPDAP，AOPADP90，APAP，AOPADP（AAS），OAAD6，OPPD，AB10，BDABAD1064，设P（t，0），则OPPDt，PBOBOP8t，在RtBPD中，t2+42（8t）2，解得t3，P（3，0），APC45，APE是等腰直角三角形，AEPE，AEF90PEGEPG，AFEEGP

11、90，AEFEPG（AAS），AFEG，EFPG，设BFEGm，EFPGn，FGOA，m+n6（），OGPGOP3，mn3（），由（）（）得m4.5，n1.5，E（4.5，4.5），由P（3，0），E（4.5，4.5）可得直线PE解析式为y3x9，直线PC的函数关系式为y3x9；设P（p，3p9），P（3，0），B（8，0），PB5，线段PB沿着射线PC方向平移，得到线段PB，PBPB5，B（p+5，3p9），A（0，6），AP245，PB2（p+53）2+（3p9）2（p+2）2+（3p9）2，AB2（p+5）2+（3p96）2（p+5）2+（3p15）2，当PB为直角边时，AP2+PB2AB2，45+（p+2）2+（3p9）2（p+5）2+（3p15）2，解得p4，B（9，3）；以AB为直角边时，AP2+AB2PB2，45+（p+5）2+（3p15）2（p+2）2+（3p9）2，解得p7，B（12，12）；B的坐标为（9，3）或（12，12）