2021年广东省汕头市龙湖区中考二模数学试卷（含答案解析）

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1、2021年广东省汕头市龙湖区中考二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1. 下列数是无理数的是（ ）A. B. C. D. 02. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 4. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 教育部规定，初中生每天的睡眠时间不少于9个小时小欣同学记录了她一周的睡眠时间，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则小欣这一周的睡眠不少于9个小时的有（ ）A. 4天B. 3天C. 2天D. 1天6. 已知正比例函数与一次函数的图象交于点，则k的

2、值为（ ）A. B. C. 2D. 17. 如图，O中，半径OC弦AB于点D，点E在O上，E22.5，AB8，则半径OB等于（ ）A. B. C. 4D. 58. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）A. B. C. 或D. 或9. 如图，反比例函数和中，作直线，分别交x轴，和于点P，点A，点B，若，则（ ）A. B. 3C. D. 10. 如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括、两点），以下结论中：；的最小值是其中正确结论是（ ）A. B. C

3、. D. 二、填空题（本大题共7题，每题4分，共28分）11. 新型冠状病毒也叫2019-nCOV，该病毒比细胞小得多，大小约为（纳米），即为0.00000015米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据0.00000015米用科学记数法表示为_米12. 点关于y轴的对称点Q的坐标为_13. 如图，直线，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若，则的度数为_14. 实数a，b满足，则_15. 如图，某堤坝的坝高为16米如果迎水坡的坡度为，那么该大坝迎水坡的长度为_米16. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫作莱洛三角形，

4、若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_17. 如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tanAGE，BF8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_三、解答题（一）（本大题共3题，每题6分，共18分）18 先化简，再求值： ，其中x=+119. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000米，施工队在绿化了11000米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程该项绿化工程原计划每天完成多少米？20 如图，AD、BC相交于点O，ADBC，CD90（1）求证：ACBBDA；（2）若ABC32，求CAO的度数四、解答题（二）

5、（本大题共3题，每题8分，共24分）21. 如图，已知钝角ABC（1）过钝角顶点B作BDAC，交AC于点D（使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC8，C30，求AB的长22. 每年的6月8日是“世界海洋日”，某校决定在这一天开展系列海洋知识的宣传活动，活动有A唱歌、B舞蹈、C绘画，D演讲四项宣传方式学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，给制了如下两种不完整的统计图表：选项方式百分比A唱歌35%B舞蹈aC绘画25%D演讲10%请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次抽查的学生共_人，_，并将条形统计图补充

6、完整；（2）如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有_人（直接在横线上填答案）（3学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，请用树状图或列表法求某班所抽到两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率23. 在直角坐标系内位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2（1）求m与n的数量关系；（2）当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式五解答题（三）（本大题共2题，每题10分，共20分）24. 如图，AB是O的弦，OPOA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CPCB（1）求证：BC是O的切线；

7、（2）若OA5，OP3，求CB的长；（3）设AOP的面积是S1，BCP的面积是S2，且若O的半径为4，BP，求tanCBP25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2k顶点A在直线：yx3上，将抛物线沿直线向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点（1）请直接写出k的值；（2）若抛物线yx2k与直线：yx3的另一个交点为C当点B与点C重合时求平移后抛物线的解析式；（3）连接AB，BP，当ABP为直角三角形时，求出P点的坐标2021年广东省汕头市龙湖区中考二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1. 下列数是无理数是（ ）A. B

8、. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】根据无理数的定义求解即可【详解】解：，则，0是有理数，是无理数，故选：C【点睛】此题主要考查了无理数的定义，平方根与立方根的意义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方和积的乘方法则，对各选项分析判断后求解【详解】解：A、不能合并，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项错误；D、，故选项正确；故选D【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂相除，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键3. 如图所示的

9、几何体的左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】据简单几何体的三视图的画法可得答案【详解】解：根据简单几何体的三视图的画法可知，其左视图是中间有一道横虚线的长方形，因此选项的图形比较符合题意故选：【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提，掌握三视图的画法是解决问题的关键4. 函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：由函数，得到3x+60，解得：x2，表示在数轴上，如图所示：故选A考点：在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围5. 教育部规定，初中生每天的睡眠时间不少于9

10、个小时小欣同学记录了她一周的睡眠时间，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则小欣这一周的睡眠不少于9个小时的有（ ）A. 4天B. 3天C. 2天D. 1天【答案】C【解析】【分析】根据折线统计图和“不少于”的意义即可解答【详解】解：由于不少于9个小时，指的是大于等于9小时由折线统计图可知，周五和周六的睡眠时间够9个小时，分别为9个小时和10个小时，即小欣这一周的睡眠够9个小时的有2天故选C【点睛】本题考查了折线统计图，掌握“不少于”指的是大于等于是解答本题的关键6. 已知正比例函数与一次函数的图象交于点，则k的值为（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】把A点的纵坐标

11、代入正比例函数解析式中求出点A的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答【详解】解：点A的纵坐标为2，2（2a）a-1，点A的坐标为（1，2），2k+3，解得k1故选：D【点睛】本题考查了两直线相交的问题，主要利用了待定系数法求函数解析式，先求出点A的坐标是解题的关键7. 如图，O中，半径OC弦AB于点D，点E在O上，E22.5，AB8，则半径OB等于（ ）A. B. C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据垂径定理好圆周角定理计算即可；【详解】半径OC弦AB，又E22.5，又半径OC弦AB，AB8，BOD是等腰直角三角形，；故答案选B【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理，结合勾

12、股定理计算是解题的关键8. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案【详解】解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形，若与在原点同侧，则将点的横纵坐标均乘以，得到点的坐标是：，即，若与在原点异侧，则将点的横纵坐标均乘以，得到点的坐标是：，即，综上所述：点的对应点的坐标是或故选：C【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题

13、关键9. 如图，反比例函数和中，作直线，分别交x轴，和于点P，点A，点B，若，则（ ）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知条件得到，代入于是得到结论【详解】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，故选：C【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、正确的理解题意是解题的关键10. 如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括、两点），以下结论中：；的最小值是其中正确结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】错误；正确

14、想办法证明即可；正确只要证明，可得，推出，根据对称性可知：，可得；错误利用矩形的性质可知，当时，的值最小，最小值为【详解】解：错误因为当点与中点重合时，显然；正确连接交于根据对称性可知，四边形是矩形，；正确，根据对称性可知：，；错误四边形是矩形，当时，的值最小，此时、共线，的最小值为1，的最小值为1；故选：B【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共7题，每题4分，共28分）11. 新型冠状病毒也叫2019-nCOV，该病毒比细胞小得多，大小约为（纳米），即为0.0000001

15、5米，约为一根头发丝直径的千分之一，数据0.00000015米用科学记数法表示为_米【答案】1.510-7【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解：0.00000015=1.510-7，故答案为：1.510-7【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a10-n，其中1|a|10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定12. 点关于y轴的对称点Q的坐标为_【答案】（5，9）【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一

16、点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，据此即可解答【详解】解：点P（-5，9）关于y轴的对称点Q的坐标为（5，9）故答案为：（5，9）【点睛】本题考查了关于x轴、y轴的对称点的坐标解题的关键是掌握关于x轴、y轴的对称点的坐标的特征，关于y轴对称的两个点纵坐标不变，横坐标变成相反数13. 如图，直线，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若，则的度数为_【答案】32【解析】【分析】根据平行线的性质得出ACB=2，根据三角形内角和定理求出即可【详解】解：直线ab，ACB=2，ACBA，BAC=

17、90，2=ACB=180-1-BAC=180-90-58=32，故答案为：32【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补14. 实数a，b满足，则_【答案】64【解析】【分析】利用完全平方公式变形计算即可【详解】解：，故答案为：64【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，掌握完全平方公式是正确求值的前提，利用完全平方公式进行恒等变形是正确计算的关键15. 如图，某堤坝的坝高为16米如果迎水坡的坡度为，那么该大坝迎水坡的长度为_米【答案】20【解析】【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，再根

18、据勾股定理即可求出该大坝迎水坡AB的长度【详解】解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，可知BC=16米，BC：AC=1：0.75，16：AC=1：0.75，AC=12（米），AB=20（米），答：该大坝迎水坡AB的长度为20米故答案为：20【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义16. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形叫作莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_【答案】【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积为三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出

19、即可【详解】解：过A作ADBC于D，ABC是等边三角形，AB=AC=BC=5，BAC=ABC=ACB=60，ADBC，BD=CD=，AD=BD=，ABC的面积为BCAD=，S扇形BAC=，莱洛三角形的面积S=，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键17. 如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tanAGE，BF8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_【答案】10【解析】【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG

20、首先证明EGDFGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PCEC，想办法求出EC即可解决问题【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG由题意，EF垂直平分线段BD，EB=ED，BG=GD，四边形ABCD是矩形，ADBC，EDG=FBG，EGD=FGB，EGDFGB（ASA），BF=DE=8，EG=FG，DBEF，PE=PF，PF+PC=PE+PCEC，BAE=BGE=90，OB=OE，OA=OB=OE=OG，A，B，G，E四点共圆，ABE=AGE，tanABE=tanAGE=，设AE=k，AB=3k，AB2+AE2=B

21、E2，BE=DE=8，（k）2+（3k）2=82，k=2，AB=CD=6，EDC=90，EC=10，PF+PC10，PF+PC的最小值为10故答案为：10【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强三、解答题（一）（本大题共3题，每题6分，共18分）18. 先化简，再求值： ，其中x=+1【答案】，【解析】【详解】试题分析：根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可试题解析：原式=，当x=+1时，原式=19. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000米，施工队在

22、绿化了11000米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程该项绿化工程原计划每天完成多少米？【答案】2000平方米【解析】【分析】直接利用每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，进而得出等式求出答案【详解】解：设该项绿化工程原计划每天完成平方米，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程解，x=-2000不合题意舍去答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键20. 如图，AD、BC相交于点O，ADBC，CD90（1）求证：ACBBDA；（2）若ABC32，求CAO的度数【答案】（

23、1）见解析 （2）CAO26【解析】【分析】（1）根据HL证明RtABCRtBAD；（2）利用全等三角形的性质证明即可【小问1详解】证明：D=C=90，ABC和BAD都是Rt，在RtABC和RtBAD中，RtABCRtBAD（HL）；【小问2详解】RtABCRtBAD，ABC=BAD=32，C=90，BAC=58，CAO=CAB-BAD=58-32=26【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等四、解答题（二）（本大题共3题，每题8分，共24分）21. 如图，已知钝角ABC（1）过钝角顶点B作

24、BDAC，交AC于点D（使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若BC8，C30，求AB的长【答案】（1）图形见解析； （2）AB10【解析】【分析】(1)以B为圆心，任意长度为半径作弧，交A，C于M，N两点；然后分别以M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AC于D，由作图可知，；(2)利用锐角三角函数即可求出，再利用锐角三角函数可求出AB【小问1详解】如图，线段BD即为所求【小问2详解】在中，BC8，C30，BDBCsin304，在中，故答案为：10【点睛】本题考查的是利用尺规作图作垂线和解直角三角形，掌握垂直平分线的作法以及利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键2

25、2. 每年的6月8日是“世界海洋日”，某校决定在这一天开展系列海洋知识的宣传活动，活动有A唱歌、B舞蹈、C绘画，D演讲四项宣传方式学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么？”在全校学生中进行随机抽样调查（四个选项中必选且只选一项），根据调查统计结果，给制了如下两种不完整的统计图表：选项方式百分比A唱歌35%B舞蹈aC绘画25%D演讲10%请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次抽查学生共_人，_，并将条形统计图补充完整；（2）如果该校学生有2000人，请你估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有_人（直接在横线上填答案）（3学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四项宣传方式中随机抽取两项进行展示，

26、请用树状图或列表法求某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率【答案】（1）300，30%；（2）700人；（3）【解析】【分析】（1）用类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去、类的百分比即可得到的值，然后用乘以总人数得到类人数，再补全条形统计图；（2）估计样本估计总体，用2000乘以类的百分比即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出含和的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：（1）本次抽查学生数（人，；，即类学生人数为90人，如图，故答案为：300，；（2）（人），所以可估计该校喜欢“唱歌”这项宣传方式的学生约有700人；（3）画树状图为：共有1

27、2种等可能的结果数，其中含和的结果数为2，所以某班所抽到的两项方式恰好是“唱歌”和“舞蹈”的概率【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率也考查了样本估计总体和条形统计图23. 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数在第一象限内的图象与边交于点，与边交于点，的面积为2（1）求m与n的数量关系；（2）当时，求反比例函数的解析式和直线的解析式【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）将、代入反比例函数解析式，进而得出，的关系；（2）利用的面积为2，得出的值，进而得出，的坐标，利用待定系数法

28、求出一次函数与反比例函数关系式即可；【详解】解：（1）、在反比例函数的图象上，整理得：；（2）如图1，过点作，垂足为在中，已知的面积为2，解得，点在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式为：设直线的解析式为，代入、，得，解得：，直线的函数解析式为：【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式等知识五解答题（三）（本大题共2题，每题10分，共20分）24. 如图，AB是O的弦，OPOA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CPCB（1）求证：BC是O的切线；（2）若OA5，OP3，求CB的长；（3）设AOP的面积是S1，BCP的面积是S

29、2，且若O的半径为4，BP，求tanCBP【答案】（1）见解析；（2）；（3）2；【解析】【分析】（1）连接OB，由OPOA，得A+APO90；由CPCB，得CBPCPB；再由OAOB，得AOBA，而CPBAPO，整理变形可得OBC90，即BC是O的切线；（2）设BCx，则PCx，在RtOBC中，由勾股定理可得关于x的方程52+x2（x+3）2，解方程即可求出CB的长；（3）作CDBP于D，由PCPB，得PDBDPB，易证AOPPCD，则由，可得，即，由此可求CD的长，再在RtBCD中，按照正切定义求出tanCBP即可.【详解】（1）证明：连接OB，如图，OPOA，AOP90，A+APO90，

30、CPCB，CBPCPB，而CPBAPO，APOCBP，OAOB，AOBA，OBCCBP+OBAAPO+A90，OBBC，BC是O的切线；（2）解：设BCx，则PCx，在RtOBC中，OBOA5，OCCP+OPx+3，OB2+BC2OC2，52+x2（x+3）2，解得x，即BC的长为；（3）解：如图，作CDBP于D，PCPB，PDBDPB，PDCAOP90，APOCPD，AOPPCD，OA4，CD，tanCBP2【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、锐角三角函数和圆中的计算问题，对于（1），连接OB，证明OBBC是判定圆的切线的常用方法；对于（2），关键是根据勾股定理列出方程；而对于（3）

31、，解题的关键是作CDBP于D，综合利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的有关知识去分析求解.25. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2k的顶点A在直线：yx3上，将抛物线沿直线向右上方平移，使其顶点P始终保持在直线上，设平移后的抛物线与原抛物线交于B点（1）请直接写出k的值；（2）若抛物线yx2k与直线：yx3的另一个交点为C当点B与点C重合时求平移后抛物线的解析式；（3）连接AB，BP，当ABP为直角三角形时，求出P点的坐标【答案】（1）k3（2）yx22x1（3）（3，0）或（，3）【解析】【分析】（1）先根据直线：yx3，可得直线与y轴的交点A的坐标，从

32、而代入抛物线的解析式yx2k，可得k的值；（2）将两函数的解析式列方程后可得交点C的坐标，因为点B与点C重合，所以平移后的抛物线的顶点P与C重合，由此可得平移后的抛物线的解析式；（3）分两种情况：当APB90，如图2，利用勾股定理和两点的距离公式，列方程可得结论；当ABP90，利用勾股定理和两点的距离公式计算量太大，所以作辅助线，构建两个直角三角形，利用等角的正切列比例式可得结论【详解】解：（1）直线：yx3，当x0时，y3，顶点（0，3），抛物线的解析式为：yx23，即k3；（2）由题意得：x23x3，解得：x10，x21，C（1，2），当点B与点C重合时，如图1，顶点P（1，2），平移后抛

33、物线解析式为：y（x1）22x22x1；（3）抛物线顶点P始终保持在直线上，设P（m，m3），则平移后的抛物线的解析式为：y（xm）2m3，解得：，B（，），抛物线x23沿直线向右上方平移，当ABP为直角三角形时，PAB不可能为直角，所以分两种情况：当APB90时，如图2，AP2BP2AB2，m（m1）（m3）0，m10（舍），m21（舍），m33，P（3，0）；当ABP90时，如图3，过B作EFy轴于F，过P作PEEF于E，ABFEBPEBPEPB90，ABFEPB，tanABFtanEPB，即，解得：m1（舍），m2，P（，3），综上，P点的坐标是（3，0）或（，3）【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角函数，两点距离公式，勾股定理，平移等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键