2023年广西壮族自治区北海市中考二模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年广西壮族自治区北海市中考二模数学试卷一、选择题1. 在有理数0，2，4中，其中最小的是（ ）A. 0B. 2C. D. 42. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 3. 纳米是长度单位，纳米技术已广泛应用于各个领域已知，某原子的直径大约是2nm，用科学记数法表示该原子的直径约为（ ）A. B. C. D. 4. “买一张电影票，座位号正好是偶数”这个事件是（ ）A. 不可能事件B. 必然事件C. 随机事件D. 确定事件5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）A B. C. D. 平分6. 如图，通过滑轮的

2、牵引，一个滑块沿坡角为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的竖直高度是（ ）A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 8. 小李同学在求一元二次方程的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数的图象，利用图象得到方程的近似根为，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）A. 类比思想B. 数形结合思想C. 整体思想D. 分类讨论思想9. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大C. 当温度为时，碳酸钠溶解度最大D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在10.

3、 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）A. B. C D. 11. 某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行次测量，得到个结果，（单位：）如果用作为这条路线长度的近似值，要使得的值最小，应选取这次测量结果的（ ）A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 最小值12. 如图，有一路灯杆AP，路灯P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为B

4、C，此时小明影子的长度（）A. 增长了1mB. 缩短了1mC. 增长了1.2mD. 缩短了1.2m二、填空题13. 计算：=_14. 因式分解：_15. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_16. 在中，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是_17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点在坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图象经过点和点，则的值是_18. 如图，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，四边形也是正方形，当正方形的面积最小时，的度数是_三、解答题19. 计算：20 先化简，再求值：（1

5、），其中a+121. （1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图是55的正方形网格，A，B，C，D，E均是格点，请你判断是通过怎样的变换得到的？填 ；（2）在（1）的条件下，连接，探究与的位置关系22. 某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念在外打工的王大叔返回家乡创业，承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两座山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示（1）直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数_；（2）分别计算甲、乙两座山小枣样本平均数，并

6、判断哪座山的样本的产量高；（3）用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和23. 综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大人们称这一命题为米勒定理 （1）【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进请结合你所学知识，求证：（2）【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，是轴正半轴上的一动点，当的

7、外接圆与轴相切于点时，最大当最大时，求点的坐标24. 某地区在同一直线上依次有甲、乙、丙三座城市一列快车从甲市出发匀速行驶开往丙市，一列动车从丙市出发匀速行驶往返于乙、丙两座城市，两列火车同时出发如图是两列火车距甲市的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象，请你结合图像信息解决下列问题：（1）直接写出：甲、乙两市相距 千米，图像中的值为 ，的值 ；（2）求动车从乙地返回多长时间时与快车相遇？（3）请直接写出快车出发多长时间两列火车（都在行驶时）相距30千米？25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）D是抛物线上一动点（点D

8、不与点C重合），设点D的横坐标为m，连接，当的面积等于的面积时，求m的值；（3）当时，二次函数的最小值为，求t的值26. 综合与实践探究正方形折叠中的数学问题【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动已知在正方形纸片中，是边上的点（不与点，重合），正方形的边长为（1）【操作发现】如图1，是边上一点，是边上一点以直线为对称轴把正方形折叠，的对应线段为，其中点在边上，交边于点，连接，则线段与的关系为 ；（2）【实践探究】如图1，当时，求折痕的长；（3）【实践探究】如图2，连接，交于点，连接，求证：2023年广西壮族自治区北海市中考二模数学试卷一、选择题1.

9、在有理数0，2，4中，其中最小的是（ ）A. 0B. 2C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据正数大于0，0大于一切负数，即可作出判断【详解】解：，最小；故选：C【点睛】本题考查了有理数大小的比较，掌握有理数大小比较法则是关键2. 下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可【详解】解：A不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；B不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；C是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意；D是中心对称图形，不是轴对称图形，故D符合题意故选：D【

10、点睛】本题考查了中心对称和轴对称图形的定义解题的关键是掌握中心对称和轴对称图形的定义3. 纳米是长度单位，纳米技术已广泛应用于各个领域已知，某原子的直径大约是2nm，用科学记数法表示该原子的直径约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：故选：B【点睛】此题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4. “买

11、一张电影票，座位号正好是偶数”这个事件是（ ）A. 不可能事件B. 必然事件C. 随机事件D. 确定事件【答案】C【解析】【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件，根据定义对“买一张电影票，座位号正好是偶数”事件进行判断即可【详解】解：由题意知“买一张电影票，座位号正好是偶数”是随机事件故选C【点睛】本题考查了随机事件解题的关键在于理解随机事件的定义5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）A. B. C. D. 平分【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件【详解】解：要使

12、菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等即或故选：A【点睛】本题比较容易，考查特殊四边形的判定，解题的关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答6. 如图，通过滑轮的牵引，一个滑块沿坡角为的斜坡向上移动了，此时滑块上升的竖直高度是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦角的定义进行解答即可.【详解】，滑块上升的竖直高度=，故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决此题的关键是熟练掌握正弦角的定义.7. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】A项幂的乘方和积的乘方，本选项正确

13、，B项为合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变，故本选项错误，C项为同底数幂的除法，底数不变指数相减，故本选型错误，D项为同底数幂的乘法，底数不变指数相加，故本选项错误故选择A8. 小李同学在求一元二次方程的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数的图象，利用图象得到方程的近似根为，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）A. 类比思想B. 数形结合思想C. 整体思想D. 分类讨论思想【答案】B【解析】【分析】根据图象解答题目，属于数形结合的数学思想的利用【详解】解：根据函数解析式得到函数图象，利用图象得到方程的近似根为，属于数形结合的数学思想故选：B【点睛】本题考查了抛物线与轴的

14、交点，利用图象法进行求解，求二次函数，是常数，与轴的交点坐标，也可以令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标9. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在【答案】C【解析】【分析】直接观察图象，逐项判断即可求解【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意；B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意；C、观察图象得：当温度为时，

15、碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意；D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键10. 一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩

16、形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，由题意得，故选D【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键11. 某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行次测量，得到个结果，（单位：）如果用作为这条路线长度的近似值，要使得的值最小，应选取这次测量结果的（ ）A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 最小值【答案】C【解析】【分析】先设出y（xx1）2+（xx2）2+（xx3）2+（xxn）2，然后进行整理得出ynx22（x1+x2+x3+xn）x+（x12+x22+x32+

17、xn2），再求出二次函数的最小值，再根据x的取值即可得出答案【详解】解：设y（xx1）2+（xx2）2+（xx3）2+（xxn）2yx22xx1+x12+x22xx2+x22+x22xx3+x32+x22xxn+xn2ynx22（x1+x2+x3+xn）x+（x12+x22+x32+xn2），则当x时，二次函数ynx22（x1+x2+x3+xn）x+（x12+x22+x32+xn2）最小，x所取平均数时，结果最小，故选：C【点睛】此题考查了方差和二次函数，关键是设y（xx1）2+（xx2）2+（xx3）2+（xxn）2，得到一个二次函数，求二次函数的最小值12. 如图，有一路灯杆AP，路灯P距

18、地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A点4.8m的点D处，小明的影子为DE，他沿射线DA走2.4m到达点B处，小明的影子为BC，此时小明影子的长度（）A. 增长了1mB. 缩短了1mC. 增长了1.2mD. 缩短了1.2m【答案】D【解析】【分析】由题意过B作BGAE交PC于G，过D作DHAE交PE于H，证BCGACP，DEHAEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解决问题【详解】解：过B作BGAE交PC于G，过D作DHAE交PE于H，则AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BGAPDH，BCGACP，DEHAEP，即，解得：BC=1.2，

19、DE=2.4，DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），即此时小明影子的长度缩短了1.2m.故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及中心投影等知识；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键第卷二、填空题13. 计算：=_【答案】4【解析】【分析】根据算术平方根的概念求解即可算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果【详解】解：原式=4故答案为4【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误14. 因式分解：_【答案】【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解【详解】解：【点睛】本题考查因式分解，掌握因

20、式分解方法是关键15. 一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是_【答案】 【解析】【详解】分析：根据概率的计算公式颜色搭配总共有4种可能，分别列出搭配正确和搭配错误的可能，进而求出各自的概率即可详解：用A和a分别表示第一个有盖茶杯的杯盖和茶杯；用B和b分别表示第二个有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下：Aa、Ab、Ba、Bb所以颜色搭配正确的概率是故答案为点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=16. 在中，以

21、为圆心，为半径作，则和的位置关系是_【答案】相切【解析】【分析】过C作CDAB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和C的半径比较即可【详解】过C作CDAB于D，在RtACB中，由勾股定理得： 由三角形面积公式得： CD=24，即C到AB的距离等于C的半径长，C和AB的位置关系是相切，故答案为相切.【点睛】本题考查了直线和园的位置关系,解决的根据是直线和圆相离圆心到直线的距离大于圆的半径.17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的一个顶点在坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图象经过点和点，则的值是_【答案】【解析】【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，根据四边形是矩形，相似三角形

22、的判定，得，得；根据点在反比例函数图象上，把点代入函数的解析式，即可求出【详解】过点作轴于点，过点作轴于点， ，四边形是矩形，设点，可通过平移得到，点平移到点，点平移到点，点在反比例函数图象上，解得：，点，故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形和性质，解题的关键是掌握矩形的性质，反比例函数的图象上点的坐标特征18. 如图，点E，F，G，H分别位于正方形四条边上，四边形也是正方形，当正方形的面积最小时，的度数是_【答案】【解析】【分析】首先证明，则；设正方形的边长为a，则，则有，由二次函数的性质即可求得结果【详解】解：四边形正方形，四边形也是正方形，在与中，；设正方形的边长为a，

23、则，当时，正方形的面积有最小值，此时，；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，证明三角形全等是解题的关键三、解答题19. 计算：【答案】【解析】【分析】根据含有乘方的有理数的混合运算即可求解【详解】解：【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键20. 先化简，再求值：（1），其中a+1【答案】；【解析】【分析】先把括号里的分式通分，然后把除法转化成乘法进行化简，然后再把a的值代入求值即可【详解】解：原式=；当a=+1时，原式=【点睛】分式的化简求值是本题的考点，正确化简分式是解题的关键21.

24、 （1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图是55的正方形网格，A，B，C，D，E均是格点，请你判断是通过怎样的变换得到的？填 ；（2）在（1）的条件下，连接，探究与的位置关系【答案】（1）绕点C按顺时针方向旋转；（2），见解析【解析】【分析】（1）由题意知，通过旋转可使两个三角形全等；（2）延长交于点F，由全等的性质可得，则，从而判断与的位置关系【详解】解：（1）绕点C按顺时针方向旋转故答案为：；（2）如图，延长交于点F，在中，在中，【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键22. 某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践

25、行“绿水青山就是金山银山”理念在外打工的王大叔返回家乡创业，承包了甲、乙两座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两座山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示（1）直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数_；（2）分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；（3）用样本平均数估计甲乙两座山小枣的产量总和【答案】（1）38 （2）40；39；甲山 （3）7663千克【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两山样本的产量，据此可得；（3）用平均数乘以枣树的

26、棵树，求得两山的产量和，再乘以成活率即可得【小问1详解】解：甲山4棵枣树产量为34、36、40、50，甲山4棵小枣树产量的中位数为 =38（千克）【小问2详解】解：（千克） （千克） 且两山抽取的样本容量一样可以判断甲山样本的产量高【小问3详解】解：（千克）答：用样本平均数估计甲乙两座山小枣产量总和为7663千克【点睛】本题主要考查折线统计图及中位数、平均数，解题的关键是了解中位数和平均数的定义，根据折线统计图得出解题所需的数据23. 综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点

27、时，最大人们称这一命题为米勒定理 （1）【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进请结合你所学知识，求证：（2）【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大当最大时，求点的坐标【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据三角形的外角和，同弧或者等弧所对的圆周角相等，即可；（2）当的外接圆与轴相切于点时，最大，连接，过点作于点，根据垂径定理，勾股定理，即可求出

28、【小问1详解】证明：由图可知：，是所对的圆周角，【小问2详解】当的外接圆与轴相切于点时，最大，连接，过点作于点，四边形是矩形，在中，点，的坐标分别是，点 【点睛】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角和圆心角的关系，垂径定理，圆的切线定理24. 某地区在同一直线上依次有甲、乙、丙三座城市一列快车从甲市出发匀速行驶开往丙市，一列动车从丙市出发匀速行驶往返于乙、丙两座城市，两列火车同时出发如图是两列火车距甲市的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象，请你结合图像信息解决下列问题：（1）直接写出：甲、乙两市相距 千米，图像中的值为 ，的值 ；（2）求动车从乙地返回多长时

29、间时与快车相遇？（3）请直接写出快车出发多长时间两列火车（都在行驶时）相距30千米？【答案】（1）200，4.5，500；（2）1小时；（3）快车出发1.88小时或2.9小时或4.1小时两列火车(都在行驶时)相距30千米【解析】【分析】（1）由图可知：当x=2时，y=200，此时动车停在乙市，所以甲、乙两市相距200千米，根据动车从丙市出发匀速行驶到乙市所用的时间与动车从乙市出发匀速行驶到丙市所用的时间相同，都为2小时，可求得a的值，求得快车速度，即可求得b的值；（2）由待定系数法分别求得快车距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式，动车从乙地返回时，距甲市的路程y(千米)与

30、行驶时间x(小时)之间的函数关系式；（3）由待定系数法求得动车从丙市出发时，距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式，再分三种情况：当0x2时，当2.5x3.5时，当3.5x4.5时，分别列方程求得两列火车（都在行驶时）相距30千米的时间即可【详解】解：（1）由图可知：当x=2时，y=200，此时动车停在乙市甲、乙两市相距200千米，动车从丙市出发匀速行驶往返于乙、丙两座城市，动车从丙市出发匀速行驶到乙市所用时间与动车从乙市出发匀速行驶到丙市所用的时间相同，都为2小时，a=2.5+2=4.5由图可知：快车2小时行驶了200千米快车的速度为：2002=100(千米/时)1005

31、=500(千米)b=500故答案为：200，4.5，500（2）设快车距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=kx，把点(2,200)的坐标代入到y=kx中，得：200=2k，解得k=100，快车距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=100x(0x5)，设动车从乙地返回时，距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=k1x+b1，把点(2.5,200)、(4.5,500)的坐标分别代入到y=k1x+b1中，得：，解得，动车从乙地返回时，距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=150x-175(2.5x

32、4.5)，方程组的解为3.5-2.5=1(小时)动车从乙地返回1小时时与快车相遇；（3）设动车丙市出发时，距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=k2x+b2，把点(2，200)、(0，500)的坐标分别代入到y=k2x+b2中，得解得动车丙市出发时，距甲市的路程(千米)与行驶时间(小时)之间的函数关系式为y=-150x+500，由（2）可知：快车距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=100x(0x5)动车从乙地返回时，距甲市的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系式为y=150x-175(2.5x4.5)，当0x2时，-150x+5

33、00-100x=30，解得x=1.88；当2.5x3.5时，100x-(150x-175)=30，解得x=2.9；当3.5x4.5时，150x-175-100x=30，解得x=4.1综上所述，快车出发1.88小时或2.9小时或4.1小时两列火车(都在行驶时)相距30千米【点睛】本题考查了一次函数的实际应用行程问题，解题的关键是从已知函数图象中获取解题信息，将这些信息作为已知条件来解题25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）D是抛物线上一动点（点D不与点C重合），设点D的横坐标为m，连接，当的面积等于的面积时，求m的值；（3）当

34、时，二次函数的最小值为，求t的值【答案】（1） （2）的值为或或3 （3）的值为或【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式，可得，根据的面积等于的面积，可得点的纵坐标为4或，分别求解即可；（3）根据二次函数图象开口向上，对称轴为，分类讨论：当时，根据二次函数图象的性质，可得当时，二次函数取得最小值，代入即可求得；当时，根据二次函数图象的性质，可得当时，二次函数取得最小值，代入即可求得【小问1详解】抛物线（）与轴交于点将点坐标代入得：解得抛物线的表达式为【小问2详解】点是抛物线与轴的交点， 的面积等于的面积点的纵坐标为4或当时，点与点关于对称轴直线对称，即；当时，代入

35、得：，解得综上所述，的值为或或3【小问3详解】由题意可知，二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上当时，当时，随的增大而减小当时，二次函数取得最小值即解得，（舍去）当，即时，随的增大而增大当时，二次函数取得最小值即整理，得解得，（舍去）综上所述，的值为或【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质等，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键26. 综合与实践探究正方形折叠中的数学问题【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动已知在正方形纸片中，是边上的点（不与点，重合），正方形的边长为（1）【操作发现】如图1，是边上一点，是边上一点以直线为对

36、称轴把正方形折叠，的对应线段为，其中点在边上，交边于点，连接，则线段与的关系为 ；（2）【实践探究】如图1，当时，求折痕的长；（3）【实践探究】如图2，连接，交于点，连接，求证：【答案】（1）且 （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，得，根据等腰三角形的三线合一，可得，过点作交于点，则，根据全等三角形的判定，即可；（2）根据，得，根据勾股定理，折叠的性质，求出，根据，即可；（3）过点作于点，得，根据全等三角形的判定，得，再根据全等三角形的性质，正方形的性质，即可【小问1详解】解：由题意得，是等腰三角形，；过点作交于点，；，且【小问2详解】由（1）得，设，【小问3详解】过点作于点， ，是公共边，在和中，在中，【点睛】本题考查正方形，折叠，全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的运用