2023年江苏省苏州市吴中、吴江、相城区中考三模数学试卷（含答案解析）

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1、2023年江苏省苏州市吴中、吴江、相城区中考三模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列四个实数中最大的是（ ）A. B. C. D. 2. 苏州围绕打造“处处皆景、城在园中”的“公园城市”目标，扎实推进民生实事项目口袋公园建设2022年全年苏州各级园林绿化部门共投入资金145000000元进行新建、改建口袋公园，为市民打造更多家门口的幸福145000000用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、

2、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点则的长为（ ） A B. 8C. D. 105. 为激励青少年爱读书、读好书、善读书，某校积极开展全员阅读活动小吴为了了解本班同学一月的课外阅读量，随机选取班上部分同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图）下列说法中，正确的是（ ） A. 随机选取了14名同学B. 中位数是2本C. 众数是4本D. 平均数是2.4本6. 如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形边界忽略不计）的概率是（ ）A. B. C. D. 7. 定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完

3、美距离”抛物线与直线的“完美距离”为（ ）A. B. 3C. D. 8. 如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把箭案直接填写在答题卡相应位置上）9. 计算：_10. 要使代数式有意义，则 x 的取值范围是_11. 若，则_12. 如图，是的直径，弦交于点，连接若，则_ 13. 已知圆锥底面圆直径为，母线长为，该圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为_14. 关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_1

4、5. 如图，直线与轴，轴分别交于点，已知点坐标为，点是线段（不与点A，重合）上一点，连接线段，若，则点坐标为_ 16. 如图，在中，以为边在下方作，连接，已知，则的最大值为_三、解答题（本大题共11小题，共82分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：18. 解方程19. 已知，求的值20. 为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用汽车接送，：其他方式”五个选项中进行选择（1）学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式概率为_（2）若两名学生分别从，五种上学方式

5、中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）21. 如图，交于点，（1）求证：；（2）若，求的度数22. 适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：组别家务劳动总时间分组频数571019 请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中，_（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是_（3）请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳

6、动总时间不少于8小时的人数23. 如图，反比例函数的图像经过边长为4的正方形的顶点A，与正方形的边交于点，且（1）求的值；（2）若点是正方形边上不与点重合的点，连接，当的面积为时，求点的坐标24. 为迎接五一假期的到来，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件A种礼盒和2件种礼盒共需320元，2件A种礼盒和3件种礼盒共需540元（1）求A、两种礼盒每件的成本价分别是多少元？（2）若种礼盒的售价为每件150元，种礼盒的售价为每件120元商户原计划在五一当天将现有的、两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中56件商品没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为1320元五一当天商户

7、最多卖出种礼盒多少件？25. 如图，已知，是的两条直径，直径平分，的一边与和直径分别交于点，连接，且 （1）证明：；（2）若，求的长26. 如图，拋物线（a是常数且）与轴交于点，两点（点位于点右侧），与轴交于点，点为拋物线的顶点，且点的坐标为，连接，（1）求该抛物线的表达式；（2）若点为抛物线上的点，连接，当时，求点的坐标；（3）若在轴上总存在一点，且点横坐标为，当时，直接写出的取值范围27. 【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，且于点，若，求的值（1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由【初步运用】（2）如图2，在中，点为的

8、中点，连接，过点作于点，交于点，求的值【灵活运用】（3）如图3，在四边形中，点，分别在边，上，且，垂足为，则_2023年江苏省苏州市吴中、吴江、相城区中考三模数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列四个实数中最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据实数的大小比较方法比较各数大小，进而可求解【详解】解：根据实数大小的比较方法，得，最大的数是，故选：B【点睛】本题考查实数的大小的比较，解答的关键是要熟知比较方法：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小2. 苏州围绕打造“处处皆景、城在园中”的“公园城

9、市”目标，扎实推进民生实事项目口袋公园建设2022年全年苏州各级园林绿化部门共投入资金145000000元进行新建、改建口袋公园，为市民打造更多家门口的幸福145000000用科学记数法可以表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数【详解】解：145000000用科学记数法可以表示为，故选：C【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移

10、动的位数3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则，合并同类项，完全平方公式，逐个进行判断即可【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、，故C不正确，不符合题意；D、，故D正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项以及完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减4. 如图，在中，按以下步骤作图：第一步，一点为圆心，适当的长为半径

11、作弧，分别交，于、两点；第二步，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；第三步，作射线，交于点则的长为（ ） A. B. 8C. D. 10【答案】A【解析】【分析】根据作图痕迹得知为的平分线，然后根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理求解即可【详解】解：根据作图痕迹得知为的平分线，又，在中，由勾股定理得，故选：A【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质，得到为的平分线是解答的关键5. 为激励青少年爱读书、读好书、善读书，某校积极开展全员阅读活动小吴为了了解本班同学一月的课外阅读量，随机选取班上部分同学进行调查，并将调查

12、结果绘制成折线统计图（如图）下列说法中，正确的是（ ） A. 随机选取了14名同学B. 中位数是2本C. 众数是4本D. 平均数是2.4本【答案】D【解析】【分析】分别根据折线统计图和中位数、众数、平均数的定义求解即可【详解】解：A、随机选取了（名）同学，故该选项错误，不符合题意；B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的数为3，则中位数为3本，故该选项错误，不符合题意；C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3，故该选项错误，不符合题意；D、该组数据的平均数为（本），故该选项正确，符合题意，故选：D【点睛】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数定义，能从折线统计图

13、中获取相关信息是解答的关键6. 如图，正方形内接于，现有一小球可在内自由滚动，则小球停留在阴影部分内（各图形的边界忽略不计）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】小球在圆内滚动，故滚动停留在阴影内的概率【详解】解：设半径为1则正方形的面积为小球停留在阴影部分内的概率为故选C【点睛】本题考查了几何图形概率及正方形面积算法内容，解题的关键是事件的概率可以用部分区域的面积和整个区域的面积的比来表示，用对角线之积的一半可以便捷的计算出正方形面积7. 定义：两个不相交的函数图象在平行于轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完美距离”抛物线与直线的“完美距离”为（ ）A. B. 3

14、C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断抛物线与直线无交点，再根据定义和二次函数的性质求解即可【详解】解：由得，方程没有实数根，抛物线与直线不相交，设，当时，w有最小值为，即抛物线与直线的“完美距离”为，故选：A【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，理解题中定义，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键8. 如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】根据矩形性质可知，点P在上时面积不变，再根据图象和三角形的面积公式求得，进而利用勾股定理求解即可【

15、详解】解：由图象知，当时，点为矩形中边的中点，点P在上时面积不变，由图象可知，经过a秒后，点P从点A运动到E，则，解得，又由图象知，当时，经过5秒后，点P从点E运动到点B，则，故选：B【点睛】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，解答的关键是弄清不同时间段，图形和图象的对应关系二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需写出解答过程，请把箭案直接填写在答题卡相应位置上）9. 计算：_【答案】#0.4【解析】【分析】根据绝对值的定义即可进行解答【详解】解：，故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数10

16、. 要使代数式有意义，则 x 的取值范围是_【答案】x4【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，即可得出答案【详解】解：要使代数式有意义，则x-40，解得：x4故答案为：x4【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键11. 若，则_【答案】2【解析】【分析】将进行配方，然后代入计算即可【详解】解：，将代入得，故答案为：2【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，将进行配方变形是解题的关键12. 如图，是的直径，弦交于点，连接若，则_ 【答案】#53度【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再根据三角形的外角性质求解即可【

17、详解】解：，又，故答案为：【点睛】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形的外角性质，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解答的关键13. 已知圆锥底面圆直径为，母线长为，该圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为_【答案】【解析】【分析】设圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为，根据圆锥底面周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长，母线长是扇形的半径，结合弧长公式列方程求解即可【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数为，根据题意，得，解得，故答案为：【点睛】本题考查设圆锥侧面展开图、扇形面积公式，熟知圆锥底面周长和扇形弧长间的关系是解答的关键14. 关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是_【

18、答案】#【解析】【分析】先计算，再利用因式分解法解方程得，再根据题意得到，然后解不等式组即可【详解】解：根据题意，解方程得，该方程有一个大于的非正数根，解得，故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，正确得到关于a的不等式组是解答的关键15. 如图，直线与轴，轴分别交于点，已知点坐标为，点是线段（不与点A，重合）上一点，连接线段，若，则点坐标为_ 【答案】【解析】【分析】先求出直线的方程为：，设P设点P的坐标为；作的外接圆,过M作,连接，有圆周角定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，即；然后再运用勾股定理可得，最后运用两点间距离公

19、式列式求得a，进而求得点P的坐标【详解】解：设直线的解析式为，则有：，解得：，直线的方程为：，设点P的坐标为， 作的外接圆,过M作,连接，解得：或0（不合题意舍去），点坐标为故答案为: 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、圆周角定理、外接圆的应用等知识点，正确的做成外接圆是解答本题的关键16. 如图，在中，以为边在下方作，连接，已知，则的最大值为_【答案】#【解析】【分析】过C作，且，连接，证明，得到，利用两点之间线段最短得到，当A、D、E共线时，取等号，即可求得的最大值，即可求解【详解】解：过C作，且，连接，是等腰直角三角形，又，当A、D、E共线时，取等号，又，的最大值为，即的

20、最大值为，故答案为：【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解答的关键是添加常用辅助线构造全等三角形解决问题三、解答题（本大题共11小题，共82分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：【答案】【解析】【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再加减运算即可【详解】解：【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键18. 解方程【答案】【解析】【分析】方程两边都乘以最简公分母（x1）（x1）化为整式方程，然后

21、解方程即可，最后进行检验【详解】解：方程两边乘，得.解得.检验：当时，.所以，原分式方程的解为.【点睛】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根19. 已知，求的值【答案】，【解析】【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可【详解】解：， ，原式【点睛】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键20. 为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用

22、汽车接送，：其他方式”五个选项中进行选择（1）学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式的概率为_（2）若两名学生分别从，五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先列出表格，得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可【小问1详解】解：根据题意，学生甲从5上学方式中，随机的选择“：乘坐公共交通”方式的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：列表如下：由表知，一共有25种等可能的结果，其中一人选择“：步行”，另一人

23、选择“：乘坐公共交通”的有2种，两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率为【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，解答的关键是熟练掌握列表法或树状图法的特点：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21. 如图，交于点，（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）直接根据即可求证；（2）根据三角形的内角和求出，根据得出，最后根据三角形的外角

24、定理，即可求解【小问1详解】证明：在和中，；【小问2详解】解：，由（1）可得，【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和22. 适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表：组别家务劳动总时间分组频数571019 请根据图表信息回答下列问题：（1）频数分布表中，_（2）扇形统计图中，组所在扇形的圆

25、心角的度数是_（3）请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数【答案】（1）9 （2）72 （3）364名【解析】【分析】（1）用D组的人数除以所占的百分比求得抽样总人数，再减去其它组的人数即可求解；（2）用乘以C组在样本中所占的比例求解即可；（3）用该校总人数乘以样本中一周内家务劳动总时间不少于8小时所占的比例求解即可【小问1详解】解：抽样总人数为（名），则，故答案为：9；【小问2详解】解：组所在扇形的圆心角的度数是，故答案为：72；【小问3详解】解：（名），答：估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数约为364名【点睛】本题考查统计表和扇

26、形统计图的关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体，理解题意，能从统计表或统计图中获取相关信息解决问题是解答的关键23. 如图，反比例函数的图像经过边长为4的正方形的顶点A，与正方形的边交于点，且（1）求的值；（2）若点是正方形边上不与点重合的点，连接，当的面积为时，求点的坐标【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）设，则，将点A和 E的坐标代入，得出方程组，求解即可；（2）先求出点E的坐标，再根据三角形的面积公式求出，再进行分类讨论：当点P在点E上方时；当点P在点E下方时小问1详解】解：正方形的边长为4，设，则，把点，代入得：，解得：，；【小问2详解】解：由（1）可知，该反比例函数的表达式

27、为，把代入得，解得：，当点P在点E上方时，即；当点P在点E下方时，即；综上：或【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，以及反比例函数图象上点的坐标特征24. 为迎接五一假期的到来，某景区一商户准备了两种当地特产礼盒，按成本价1件A种礼盒和2件种礼盒共需320元，2件A种礼盒和3件种礼盒共需540元（1）求A、两种礼盒每件的成本价分别是多少元？（2）若种礼盒的售价为每件150元，种礼盒的售价为每件120元商户原计划在五一当天将现有的、两种礼盒共56件按售价全部售出，但在实际销售过程中56件商品没有全部售完，两种礼盒的实际销售利润总和为132

28、0元五一当天商户最多卖出种礼盒多少件？【答案】（1）A礼盒每件成本价120元，B礼盒每件成本价100元 （2）五一当天商户最多卖出种礼盒35件【解析】【分析】（1）设A礼盒每件成本价x元，B礼盒每件成本价y元，根据题意，列出方程组求解即可；（2）设商户卖出B种礼盒m盒，则应卖出A种礼盒盒，根据全部卖出获得的利润大于实际销售利润，列出方程组求解即可【小问1详解】解：设A礼盒每件成本价x元，B礼盒每件成本价y元，解得：，答：A礼盒每件成本价120元，B礼盒每件成本价100元【小问2详解】解：设商户卖出B种礼盒m盒，则应卖出A种礼盒盒，由于56件商品没有全部售完，若全部售完则实际利润总和大于1320

29、元，解得：，m为正整数，m最大为，答：五一当天商户最多卖出种礼盒35件【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系和不等关系，列出方程组和不等式求解25. 如图，已知，是的两条直径，直径平分，的一边与和直径分别交于点，连接，且 （1）证明：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据圆周角定理、角平分线的定义证得，再根据平行线的判定即可证得结论；（2）根据圆周角定理、平行线的性质和等腰三角形的判定与性质得到，证明得到，进而求得即可求解【小问1详解】解：平分， ，小问2详解】解：，则，则，解得（负

30、值舍去）， 【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键26. 如图，拋物线（a是常数且）与轴交于点，两点（点位于点右侧），与轴交于点，点为拋物线的顶点，且点的坐标为，连接，（1）求该抛物线的表达式；（2）若点为抛物线上的点，连接，当时，求点的坐标；（3）若在轴上总存在一点，且点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围【答案】（1） （2）或 （3）【解析】【分析】（1）将点代入，求出a的值，即可得出该抛物线的表达式；（2）根据题意，分两种情

31、况进行讨论：当点P在x轴下方时：过点D作轴于点Q，连接，证明，即可得出当点P和点D重合时，当点P在x轴上方时：延长，相交于点M，过点M作轴于点N，得出，求出所在直线是函数表达式，最后求出与抛物线的交点坐标即可；（3）令与x轴相交于点，求出所在直线的函数表达，即可得出，根据，得出点Q应在的右边，即，作，设点，证明，则，求出，根据，得出点Q在点左边，则，即可得出结论【小问1详解】解：将点代入得：，解得：，该抛物线的表达式为：【小问2详解】解：当点P在x轴下方时：过点D作轴于点Q，连接，把代入得：，把代入得，解得：，则，在中，在中，即点P和点D重合时，此时：；当点P在x轴上方时：延长，相交于点M，过

32、点M作轴于点N，设所在直线是函数表达式为：，将，代入得：，解得：，所在直线是函数表达式为：，联立得：，解得：，综上：或；小问3详解】解：令与x轴相交于点，设所在直线的函数表达式为，将点代入得：，解得：，所在直线的函数表达式为，把代入得：，解得：，点Q应在的右边，即，作，设点，则，即，解得：，点Q在点左边，综上：【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质27. 【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，且于点，若，求的值（1）请你帮

33、助同学们解决上述问题，并说明理由【初步运用】（2）如图2，在中，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值【灵活运用】（3）如图3，在四边形中，点，分别在边，上，且，垂足为，则_【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解；（2）构造矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，设，则，再证明，则，即可求出，即可求解；（3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，根据，得出，设，则，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则【小问1详解】解：，四边形为矩形，；【小问2详解】解：构造如图所示矩形，延长交于点G，由（1）中结论可得：，设，点为的中点，在中，根据勾股定理可得：，则，解得：，四边形为矩形，即，解得：，；【小问3详解】解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，四边形为矩形，设，设，则，整理得：，由（1）中结论可得：，四边形为平行四边形，故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答