安徽省蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试数学试卷（含答案）

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1、书书书蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试数学本试卷满分 分，考试时间 分钟注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 已知集合 ，则 （，）（，），()（，）已知 为虚数单位，复数 满足（槡 ）槡 ，则 槡 槡 槡 已知等差数列 满足 ，则 （）槡 槡 已知实数 ，满足 且 ，则下列不等关系一定正确的是

2、 将顶点在原点，始边为 轴非负半轴的锐角 的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点 ，()，那么 槡 槡 槡 槡 （第 题图）如图是函数 （）图象的一部分，设函数 （），（），则 （）可以是 （）（）（）（）（）（）（）（）在 中，已知 ，若 ，则 ）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌 已知双曲线 ：（，）的右焦点为 ，过点 的直线，分别与双曲线 的渐近线平行，与渐近线的交点记为 ，若 为等边三角形，且面积为槡，则 槡槡 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分（第 题图）某校在开展的“体育节”活动中

3、，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分 分），发现分数均在 ，内 从中随机抽取一个容量为 的样本，并将这些数据分成 组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是 样本中分数落在 ，）的频数为 人 样本的众数为 分 样本的平均数为 分 样本的 百分位数为 分 袋中有大小相同的 个小球，其中 个红球，个蓝球 每次从袋子中随机摸出 个球，摸出的球不再放回 记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件；“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列说法正确的是 （）（）（）（）（）已

4、知正方体 的棱长为，点 ，分别是棱 ，的中点，是棱 上的动点，则 直线 与 所成角的正切值为槡 直线 平面 平面 平面 到直线 的距离为槡 设定义在上的函数 （）与 （）的导数分别为 （）与 （），已知 （）（），（）（），且 （）的图象关于直线 对称，则下列结论一定成立的是 函数 （）的图象关于点（，）对称 函数 （）的图象关于直线 对称 函数 （）的一个周期为 函数 （）为奇函数三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 已知向量（，），（，），则 在 上的投影向量为（用坐标表示）如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥 公路里程、高铁里程双双都是世界第一 建设过程中研制出用于

5、基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先 如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切若 ，则该模型中最小小球的半径为（第 题图）（第 题图）已知抛物线 ：（）的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 ，在 上，若 ，三点共线，且 ，的外接圆交 于点，的外接圆交 于点，则 函数 （）（），()的部分图象如图所示，若 （）（），且（）槡，则 ，（）四、解答题：本题共 个小题，共 分 解答应写出说明文字、演算式、证明步骤 （本小题满分 分）已知 的内角 ，所对的边分别为

6、 ，且满足 （）求角 ；（）若 的面积为槡 ，点 在边 上，是 的角平分线，且 ，求 的周长 （本小题满分 分）已知数列 和 ，（）求数列 和 的通项公式；（）求数列 的前 项和 （本小题满分 分）某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“”是语文、数学、外语，每门满分 分，第二个“”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择其中 个科目参加等级性考试，每门满分 分，高考录取成绩卷面总分满分 分 为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体 ，从学生群体 中随机抽）页共（页

7、第卷试学数级年三高市埠蚌取 名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：选考物理、化学、生物的科目数人数 （）从这 名学生中任选 名，求他们选考物理、化学、生物科目数量相等的概率；（）从这 名学生中任选 名，记 表示这 名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量 的数学期望；（）用频率估计概率，现从学生群体 中随机抽取 名学生，将其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作 ，求事件“”的概率 （本小题满分 分）（第 题图）已知三棱柱 中，侧面 是正方形，底面 是等腰直角三角形，且 为线段 中点，（）求证：平面 平面 ；（）在线段 上是否存在点 ，使

8、得平面 与平面 夹角为 ，且满足 槡？若不存在，请说明理由；若存在，求出 的长度 （本小题满分 分）已知椭圆：（）的离心率为槡，分别为椭圆的上、下顶点，且 槡 （）求椭圆 的方程；（）若直线 ：与椭圆 交于，两点（异于点 ，），且 的面积为槡，过点 作直线 ，交椭圆 于点 ，求证：（本小题满分 分）已知函数 （）（）证明：（）；（）证明：函数 （）（）（）（）在 ，()上有唯一零点，且 槡 ）页共（页第卷试学数级年三高市埠蚌蚌埠市 届高三年级第四次教学质量检查考试数学参考答案及评分标准一、选择题：题号答案二、选择题：题号 答案 三、填空题：，()槡 （分），（分）四、解答题：（分）（），由正弦

9、定理得 ，分 ，又 （，），分（）槡 ，槡 ，分由题意知 ，槡 槡 ，分 （），故 的周长为槡 分 （分）（）由 ，得 ，整理得 （），而 ，所以数列 是以 为首项，公比为的等比数列，分所以()，分）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌 分（），分设 ，则 ，得 ，从而 分（）分 （分）（）记“所选取的 名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件 ，则 （）分（）由题意可知 的可能取值分别为 ，则（），（），（），从而 的分布列为：故 的期望为 （）分（）所调查的 名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有 名，相应的频率为 ，分由题意知 （，），所以事件“”的概率为（）（）（）（）（）（

10、）分 （分）（）证明：侧面 是正方形，底面 是等腰直角三角形，又 ，平面 ，而 平面 ，分由题意四边形 为菱形，且 ，是等边三角形，为 中点，又 ，平面 ，而 平面 ，平面 平面 分（）假设存在点 满足题意，则由（）知 平面 ，取 中点 ，以 ，方向分别为 轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则 （，），（槡，），（槡，），（，），（，），分）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌从而 （槡，），（槡，），（槡，）设 （，），则 （槡 ，），设平面 的法向量为 （，），则 ，即槡 ，槡 （），取 （，槡 槡 ，槡 ）分设平面 的法向量为（，），则 ，即槡 ，槡 ，取 得（，）分 槡 （）槡 槡

11、（）槡槡 ，化简得，解得 或（舍）故存在 槡满足题意 分 （分）（）解：由题意得：槡，槡，解得 ，故椭圆 的方程为：分（）证明：直线 的方程为 ，代入 ，得（）设（，），（，），则 ，分所以 ()槡 槡 ，即 （）（），得 所以 （）（）（）（），分设 （，），得 槡 槡 ，因为 ，所以 ，即 分 （分）（）证明：令 （），易知 （），（），故 （）在上单调递增，又 （），故 （）在（，）恒成立，即 （）在（，）单调递增，又 （）在（，）恒成立，即 （）在（，）单调递减，因为 （），故 （）在上恒成立，即 （）分）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌（）由 （）（），()，（），（）（），所以

12、 （）在 ，()单调递减，又 （），()，由零点存在性定理知，存在唯一实数 ，()，使得 （），故当 （，），（），（）单调递增；，()，（），（）单调递减 又 （），故 （），且 （）在（，）恒成立，又()()()，故存在唯一 ，()，使得 （）分下面证明 槡 ，只需证 （槡 ），即证 槡 （槡 ）由（）知：（槡 ）（槡 ），只需证：槡（槡 ），令 槡 ，（，槡 ），而 （），故只需证 （）（），其中 （，槡 ），令 （）（），（，槡 ），则 （）（）（）（），所以 （）在（，槡 ）上单调递增，所以 （）（），即 （，槡 ）时，（），所以 槡 分（以上答案仅供参考，其他解法请参考以上评分标准酌情赋分）页共（页第案答考参学数级年三高市埠蚌