第18章平行四边形 期末压轴题训练1（含答案）2023年人教版八年级数学下册

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1、第18章平行四边形 期末压轴题训练1【问题情境】如图1，在中，点为边上的任一点，过点作，垂足分别为、，过点作，垂足为求证：【结论运用】如图2，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作、，垂足分别为、，若，求的值【迁移拓展】图3是一个航模的截面示意图在四边形中，为边上的一点，垂足分别为、，且，；、分别为、的中点，连接、，求与的周长之和2已知，等腰直角中，为边上的一点，连接，以为斜边向右侧作直角，连接并延长交的延长线于点(1)如图1，当，时，求线段的长；(2)如图2，当时，求证：点为线段的中点；(3)如图3，点与点重合，为边上一点，为边上一点，连接，当取最大值时，请直接写

2、出三角形周长的最小值3如图，中，对角线、相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转，分别交直线、于点E、F(1)当 时，四边形是平行四边形；(2)在旋转的过程中，四边形可能是菱形吗？如果能，求出此时的值；如果不能，说明理由；(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由4已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；(2)如图2，点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；若点P在直线上，直接写出的

3、长；(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长5折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作，解决问题(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点在图1中，和的数量关系为_连接，和的位置关系为_(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的

4、矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）(4)新题探究：平行四边形中，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为_6如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且，连接EF(1)如图1，若点E在AB中点处，且，求EF的长；(2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证：；(3)如图3，若点E在AB的延长线上，且，请直接写出线段的值7如图（1），长方形ABCD中，ABCD4，BCAD8，ABCD90，点F是BC边上的一个定点，点E是AD边上的一个动点，把这个长方形沿EF折叠，点A、B的对应点分别

5、是点M、N，直线AD、NF交于点G，点E在运动的过程中，点D、G、N能够刚好重合在一起回答下列问题：(1)若折叠后点B的对应点N落在点D上，请用尺规作图在图（2）中作出点E、F的位置；(2)如图（3）当点D、G、N重合时，求证MEDCFD；(3)当点E从图（3）中的位置向点A运动的过程中，GEGF将始终成立，顺次连接FC、CD、DG、GF围成的四边形(或三角形)周长的最小值是 ，EFG面积的最小值是 8【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结论：中，将ABC沿AC翻折至，AD与交于E，连接，不难发现新图形中有两个等腰三角形(1)请利用图1证明是等腰三角形：(2)【应

6、用与探究】如图1，已知：，若，求：ACB的度数；(3)如图2，已知：，与边CD相交于点E，求的面积9如图1，在ABC中，BD是AC边上的中线，将DBA绕点D顺时针旋转（0180） 得到DEA（如图2），我们称DEA为DBC的“旋补三角形”DEA的边EA上的中线DF叫做DBC的“旋补中线”(1)在图2，图3，图4中，DEA为DBC的“旋补三角形”，DF是DBC的“旋补中线”如图2，BDE+CDA ；如图3，当DBC为等边三角形时，DF与BC的数量关系为DF BC；如图4，当BDC90时，BC4时，则DF长为 ；(2)在图2中，当DBC为任意三角形时，猜想DF与BC的关系，并给出证明(3)如图5，

7、在四边形ABCD中，C90，D150，BC12，CD2，DA6，BEAD，E为垂足在线段BE上是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，请作出点P，不需证明，简要说明你的作图过程10如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O(1)如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且EOF90，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系请你用等式直接写出这个数量关系；(2)如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且EOF45，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=4x+8的图像分别交x、y轴于点A、B，将

8、正方形ABCD中RtAOB置于直线AB右侧RtACB位置，斜边恰好与线段AB重合，请直接写出直角顶点C到原点O的距离11四边形ABCD为菱形，点P为对角线BD上的一个动点(1)如图1，连接AP并延长交BC的延长线于点E，连接PC，求证：AEB=PCD；(2)如图1，若PA=PD且PCBE时，求此时ABC的度数；(3)若ABC=90且AB=6，如备用图，连接AP并延长交射线BC于点E，连接PC，若PCE是等腰三角形，求线段BP的长12如图，正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、(1)当绕点旋转到时如图，证明：；(2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，

9、线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明13已知，点C为射线BF上一动点（不与点B重合），关于AC的轴对称图形为(1)如图1，当点D在射线AE上时，求证；四边形ABCD是菱形；(2)如图2，当点D在射线AE，BF之间时，若点G为射线BF上一点，点C为BG的中点，且，求DG的长；(3)如图3，在（1）的条件下，若，连接BD，点P，Q分别是线段BC，BD上的动点，且，求的最小值14点为正方形对角线与的交点，点为直线上一点（点与点，点，点不重合），连接(1)如图，若点为的中点，求的面积；(2)如图，若点在线段上，过点作交于点，交于点过点作交于点求证：；(3)若点为直线上一动点，其它条件与（

10、2）问条件不变请写出线段，之间的数量关系15综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，EP与正方形的外角的平分线交于P点试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题请在图1中补全图形，解答老师提出的问题(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并

11、提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，连接DP知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值当时，请你求出周长的最小值16已知，如图，为坐标原点，在四边形中，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动设动点P的运动时间为t秒(1)当P运动_秒，四边形是平行四边形；(2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在线段上有一点M，且，四边形的最小周长是_17在菱形ABCD中，(1)如图1，过点B作于点E，连接CE，点F是线段C

12、E的中点，连接BF，若，求线段BF的长度；(2)如图2，过点B作于点E，连接CE，过点D作，连接MC，且，连接ME，请探索线段BE，DM，EM之间的数量关系，并证明；(3)如图3，连接AC，点Q是对角线AC上的一个动点，若，求的最小值18三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EFDE，连接CF，证明ADECFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证(1)【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且ACBF，求证：AEEF小明发现可以类比以上思路进行证明证明：如图2，延长AD至点M

13、，使MDFD，连接MC，请你根据小明的思路完成证明过程(2)【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，D60，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120得到线段BC，连接BC，点F是BC的中点，连接AE、CF、EF请你判断线段EF和AE的数量关系是_，并说明理由；若菱形ABCD的边长为6，CFCE，请直接写出CF的长参考答案1【问题情境】见解析；【结论运用】4；【迁移拓展】【分析】问题情境连接，利用可证得；结论运用过点作，垂足为，根据条件求出，的长，从而证明后，直接利用问题情境中的结论可得出，而 ；迁移拓展延长、交于点，作，垂足为，证明，得到，推出，然后应用问题情境中

14、的结论可得：，设，根据勾股定理求出的值，然后可求图中各条线段的长，最后将与的周长之和转化为的值即可【解析】问题情境如图，连接，且，结论运用过点作，垂足为，如图四边形是矩形，由折叠可得：，四边形是矩形，由问题情境中的结论可得：的值为迁移拓展延长、交于点，作，垂足为，如图，由问题情境中的结论可得：设，则，解得：，且、分别为、的中点，与的周长之和【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键2(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点作于点，根据等腰直角三角形性质可得出，运用勾股定理可得出，再运用含度角的直角三角形的性质，勾股定

15、理即可求出答案；（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，在上截取，连接，先证明是等腰直角三角形，再证明，即可证得结论；（3）延长至点，使，延长至点，使，连接，取中点，连接，利用轴对称性质和三角形中位线定理可求得，要使最大，必须最大，运用两点间距离及三角形三边关系可得的最大值，即可求得答案【解析】（1）解：如图1，过点作于点， ；（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，在上截取，连接，是等腰直角三角形，即，点为线段的中点；（3）如图3，延长至点，使，延长至点，使，连接，取中点，连接，AB=4，ACB=90，AC=BC，点是中点，点是中点，的最大值为，、关于对称，、关于对称，三角形周长

16、的最小值为的长，要使最大，必须最大，的最大值为，三角形周长的最小值为的长，即【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，轴对称性质，三角形中位线定理等，解题关键是熟练掌握轴对称性质、等腰直角三角形性质等相关知识，合理添加辅助线构造全等三角形，通过轴对称性质解决线段的最值问题3(1)90(2)可能，45(3)存在，矩形的对角线长为2；矩形的对角线长为【分析】（1）由得，在中，根据勾股定理计算出，再根据平行四边形的性质得，于是可判断为等腰直角三角形，则，根据平行四边形的判定当时，四边形是平行四边形，则，根据旋转的性质得（2）由于四边形的对称中心为点，则，可

17、判断四边形为平行四边形，根据菱形的判定，当时，四边形为菱形，而，根据对顶角得到，所以此时为45（3）根据平行四边形的性质有，再根据矩形的判定，当时，四边形为矩形，易得此时矩形的对角线长为2，当时，四边形为矩形，由为等腰直角三角形得，则所以此时矩形的对角线长为【解析】（1），在中，四边形为平行四边形，为等腰直角三角形，当时，四边形是平行四边形，（2）在旋转的过程中，四边形可能是菱形理由如下：如解图，四边形为平行四边形，四边形的对称中心为点，四边形为平行四边形，当时，四边形为菱形，即此时为45（3）在旋转过程中，存在以中的4个点为顶点的四边形是矩形，当时，四边形为矩形，如解图，矩形的对角线长为2，

18、当时，四边形为矩形，如解图，为等腰直角三角形，矩形的对角线长为【点评】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定，解题的关键是根据题目条件，进行推论，注意分情况讨论4(1)；(2)成立，理由见解析；的长为或；(3)的长为或【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，因此可得；（2）过点作于，于，先根据AAS证明，则可得，再根据ASA证明，则可得是等腰直角三角形，因此可得，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，因此分两种情况，分点在线段上和P点在的延长线上作于点，先求出的长，则可知的长，再求出的长，则可求出的长，再根据求出的长即可（3）分两种情况，点在上方和点在下方F点在上方时，由是等边三角

19、形可求出、的长，再求出的长，设，根据勾股定理列方程求出x，即可知的长，则可求出的长 F点在下方时，是等边三角形可求出、的长， 再求出的长， 作于Q点， 设，在中据勾股定理列方程求出x，即可知的长，进而可可求出的长和的长【解析】（1），理由如下：四边形是正方形P是线段的中点F是中点（2）如图，点P在线段上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下：过P点作于G，于H又四边形是矩形正方形中，平分又是等腰直角三角形F是中点Rt中，F是中点()如图，P点在线段上时，作于Q由知()如图，若P点的延长线，过P点作于G，于H又四边形是矩形正方形中，平分又是等腰直角三角形F是中点Rt中，F是中点延长，作于Q点综上，

20、的长为或（3）如图，F点在上方时为等边三角形由知是等腰直角三角形延长，作于Q点则设则由得解得（舍去）如图，F点在下方时为等边三角形是等腰直角三角形过P点作于Q点则设，则在Rt中解得（舍去）， 综上，的长为或【点评】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理正确的画出图形，并且正确的作出辅助线是解题的关键 注意分类讨论，不要漏解5(1)；(2)结论和结论成立，见解析(3)或(4)或或或【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，根据等角对等边即可求解；根据折叠的性质以及的结

21、论得出，根据顶角相等的两个等腰三角形两底角相等得出，进而根据平行线的判定定理即可求解；（2）根据（1）的方法进行证明即可求解；（3）分两种情况讨论，当点与点不重合时，得出，继而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解，当点与点重合时，根据正方形的性质即可求解；（4）分三种情况讨论，分别画出图形，结合（1）中的结论，根据含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理即可求解【解析】（1）解：将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点，故答案为：；如图，折叠，四边形是矩形，即又，故答案为：；（2），理由如下，四边形是平行四边形，,，折叠，折叠，四边形是平行四边形，即又，；（3）解：

22、当点与点不重合时，如图，依题意，设，则，,解得：，在中，矩形纸片的长宽之比为，当点与点重合时，如图，此时是正方形，矩形纸片的长宽之比为，故答案为：或（4）解：当时，如图，设与交于点，由（1）可得，,在中，；如图，当时，由（1）可得，,折叠，四边形是平行四边形，在中，；如图，当时，四边形是平行四边形，,，折叠，又，又，在中，；如图，当时，同理可得综上所述：的长度为或或或【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键6(1)5(2)见解析(

23、3)【分析】（1）根据中位线的定义与性质，可证明，再证明四边形为矩形，即有，在中，由勾股定理计算EF的长即可；（2）延长FO，与AD延长线交于点M，连接EM，首先证明，由全等三角形的性质可知，结合，可得OE为FM的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，在中，即可证明；（3）延长FO，交DA延长线于点N，连接EN，首先由矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质确定，再利用勾股定理计算出，则；证明，由全等三角形的性质可知，结合，可得OE为FN的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知；设，则，在和中，由勾股定理可得，求解即可确定线段的值【解析】（1）解：四边形ABCD为矩形，且，点E为AB中点，点E

24、为AB中点，点O为AC中点，又，四边形为矩形，在中，；（2）证明：延长FO，与AD延长线交于点M，连接EM，如下图，点O为AC中点，四边形ABCD为矩形，又，即，在中，；（3）解：延长FO，交DA延长线于点N，连接EN，如下图，四边形ABCD为矩形，点O为AC中点，又，即，设，则，则在中，在中，即，解得， 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键7(1)见解析(2)见解析(3)12，8【分析】（1）由折叠可知，FBFDFN，所以点F位于线段BD的垂直平分线上，作线段

25、BD的垂直平分线即可；（2）因为MDE+EDF90，EDF+CDF90，所以MDECDF，从而由ASA可得结论；（3）根据题意可知，求FC+CD+DG+GF的最小值，FC，CD为定值，即求DG+GF的最小值当点G，N，D重合时，DG+GFDF；当点G，N，D不重合时，在DGF中，DG+GFDF，故DG+GF的最小值为DF的值设BFx，则DFx，CFBC-BF8-x，在CFD中，由勾股定理可得，求出x的值，即可得出结论；根据题意可知，EFG的面积为：，求EFG的面积的最小值，即求GF的最小值由垂线段最短可得出当GFAD时，GF最小，由此可得结论【解析】（1）由折叠可知，FBFDFN，点F位于线段

26、BD的垂直平分线上连接BD，分别以B，D为圆心，以大于BD长为半径作弧，交于点P，Q，作直线PQ，分别交AD，BC于点E，F点如下图所示（2）MDE+EDF90，EDF+CDF90，MDECDF，在MED和CFD中，MEDCFD(ASA)；（3）根据题意可知，求FC+CD+DG+GF的最小值，FC，CD为定值，即求DG+GF的最小值当点G，N，D重合时，DG+GFDF；当点G，N，D不重合时，如图，连接DF，在DGF中，DG+GFDF，故DG+GF的最小值为DF的值设BFx，则DFx，CFBC-BF8-x在CFD中，由勾股定理可得，解得x5，即BFDF5，CF3，最小值为：FC+CD+DG+G

27、F3+4+512根据题意可知，EFG的面积为：，求EFG的面积的最小值，即求GF的最小值点F为定点，点G在线段AD上，GF的最小值即点F到线段AD的距离，FG的最小值即为CD的值，EFG的面积的最小值为2GF2CD8故答案为：12，8【点评】本题在矩形背景下考查折叠问题，主要考查矩形的性质，折叠的性质，基本尺规作图等相关知识，关键是找到临界状态，进而求出所求问题8(1)见解析；(2)(3)【分析】（1）根据折叠的性质得到，；再根据平行四边形的性质得到；最后根据等腰三角形的性质即可求解（2）根据折叠的性质得到，即（3）过C点分别作 ，垂足分别为G、H，再根据直角三角形的性质定理求解即可【解析】（

28、1）解：沿AC翻折至， 四边形ABCD是平行四边形， 是等腰三角形（2）解：由（1）可知，和是等腰三角形 （对顶角） （3）解：如图2，过C点分别作，垂足分别为G、H在中， ， 设 由勾股定理得，即：， ，的面积【点评】本题考查平行四边形的性质即三角形翻折的性质，难点在于找到两者的联系9(1)180；2(2)；证明见解析(3)存在见解析【分析】（1）依据，可得；当为等边三角形时，可得是等腰三角形，再根据，即可得到中，进而得出；当时，时，易得，即可得到中，；（2）延长至，使得，连接，判定四边形是平行四边形，进而得到，再判定，即可得到，进而得出；（3）延长，交于点，作线段的垂直平分线，交于，交于，

29、连接、，由定义知当，且时，是的“旋补三角形”，据此进行证明即可【解析】（1）解：ADEBDC180，BDECDA180，故答案为：180；当DBC为等边三角形时，BCDBDEDCDA，BDC60，ADE是等腰三角形，ADE120，E30，又DF是ADE的中线，DFAE，RtDEF中，DFDE，DFBC，故答案为：；BD是AC边上的中线，BDC90， ，在ADE和CDB 中，ADECDB，AEBC4，RtADE中，DFAE2，故答案为：2；（2）猜想：DFAE证明：如图2，延长DF至G，使得FGDF，连接EG，AG，EFFA，FGDF，四边形AGED是平行四边形，GEADCD，GEDADE180

30、，又BDCADE180，BDCDEG，在GED和CDB中， ，DGECDB（SAS），BCDG，DFDGBC；（3）存在理由：如图5，延长AD，BC，交于点F，作线段BC的垂直平分线PG，交BE于P，交BC于G，连接PA、PD、PC，由定义知当PAPD，PBPC，且DPACPB180时，PDC是PAB的“旋补三角形”，ADC150，FDC30，在RtDCF中，CD2，DCF90，FDC30，CF2，DF4，F60，在RtBEF中，BEF90，BF14，FBE30，EFBF7，DEEFDF3，AD6，AEDE，又BEAD，PAPD，PBPC，在RtBPG中，BGBC6，PBG30，PG2，PGC

31、D，又，PGC90，四边形CDPG是矩形，DPG90，DPEBPG90，2DPE2BPG90，即DPABPC180，PDC是PAB的“旋补三角形”【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含30角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题10(1)EF2AF2+BF2(2)EF2BF2+AE2，证明见解析(3)3【分析】（1）首先证明EOAFOB，推出AE=BF，从而得出结论；（2）在BC上取一点H，使得BH=AE，由OAEOBH，推出

32、AE=BH，AOE=BOH，OE=OH，由FOEFOH，推出EF=FH，由FBH=90，推出，由此即可解答；（3）过C作轴交x轴于M，过B作BNMN于M，在y=4x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=-2，得A（-2，0），B（0，8），证明ACMCBN（AAS），得CM=BN，AM=CN，设OM=BN=CM=x，则AM=OA+OM=2+x，可得x+（2+x）=8，即可解得OM=CM=3，从而【解析】（1），证明如下：四边形ABCD是正方形，OA=OB，OAE=OBF=45，ACBD，EOF=AOB=90，EOA=FOB，在EOA和FOB中，EOAFOB（ASA），AE=BF，在RtEAF

33、中，；（2）在BC上取一点H，使得BHAE四边形ABCD是正方形，OAOB，OAEOBH，AOB90，在OAE和OBH中，OAEOBH（SAS），AEBH，AOEBOH，OEOH，EOF45，AOE+BOF45，BOF+BOH45，FOEFOH45，在FOE和FOH中，FOEFOH（SAS），EFFH，FBH90，（3）过作轴交轴于，过作于，如图：在中，令得，令得，由题意知是等腰直角三角形，设，则，解得，顶点到原点的距离是【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及一次函数综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题11(1)见解析(2)ABC=60；(3)线段B

34、P的长为3-3或9-3【分析】（1）由四边形ABCD是菱形得AD=CD，ADP=CDP，ADBC，证明PADPCD，得PAD=PCD，因为PAD=AEB，所以AEB=PCD；（2）先证明ABPCBP，得PAB=PCB=90，再推导出E=PBE=PBA，则3E=90，得E=30，所以ABC=90-E=60；（3）分两种情况，一是点E在边BC上，PE=CE，可推导出AEB=PCB+CPE=2PCB=2PAB，得PAB=30，先求得BE=2，作PFBC于点F，则PFE=PFB=90=ABC，得PFAB，FPB=FBP=45，FPE=PAB=30，可求得EF=3-，则BP=BF=3-3；二是点E在边B

35、C的延长线上，PC=EC，则CPE=E，先推导出E=30，再求得BE=6，作PFBC于点F，则PFE=PFB=90，FPB=FBP=45，PE=2PF，BF=PF，可求得BF=PF=9-3，则BP=BF=9-3【解析】（1）证明：如图1，四边形ABCD是菱形，AD=CD，ADP=CDP，ADBC，PAD=AEB，PD=PD，PADPCD（SAS），PAD=PCD，AEB=PCD；（2）解：如图2，AB=CB，PBA=PBC，PB=PB，ABPCBP（SAS），PCBE，PAB=PCB=90，PA=PD，PAD=PDA，PAD=E，PDA=PBE，E=PBE，E=PBE=PBA，E+PBE+PB

36、A=90，3E=90，E=30，ABC=90-E=60；（3）解：四边形ABCD是菱形，ABC=90，AB=6，四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC=DC=6，BAD=BCD=90，CBD=CDB=45，BD= ，如图3，点E在边BC上，PE=CE，ABPCBP，PCB=PAB，PCB=CPE，AEB=PCB+CPE=2PCB=2PAB，AEB+PAB=90，2PAB+PAB=90，PAB=30，AE=2BE，AB2+BE2=AE2，62+BE2=（2BE）2，BE=2，作PFBC于点F，则PFE=PFB=90=ABC，PFAB，FPB=FBP=45，FPE=PAB=30，PE=2EF，B

37、F=PF=EF，EF+EF=2，EF=3-，BF=PF=（3-）=3-3，BP=BF=（3-3）=3-3；如图4，点E在边BC的延长线上，PC=EC，则CPE=E，ABPCBP，PAB=PCB=CPE+E=2E，PAB+E=90，2E+E=90，E=30，AE=2AB=12，AB2+BE2=AE2，62+BE2=122，BE=6，作PFBC于点F，则PFE=PFB=90，FPB=FBP=45，PE=2PF，BF=PF，EF=PF=BF，BF+BF=6，BF=PF=9-3，BP=BF=（9-3）=9-3，综上所述，线段BP的长为3-3或9-3【点评】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正

38、方形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、二次根式的混合运算等知识，此题难度较大12(1)见解析(2)见解析(3)，见解析【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证得、三点共线，即可得到，从而证得；（2）证明方法与（1）类似；（3）在线段上截取，判断出，同（2）的方法，即可得出结论【解析】（1）证明：如图，把绕点顺时针旋转，得到，四边形是正方形，点、三点共线，又，在与中，（2）证明：如图，把绕点顺时针旋转，得到，四边形是正方形，点、三点共线，又，在与中，（3）解： 理由如下：如图，在线段上截取，连接，在与中，在和中，【点评】本题是四边形综合题，考

39、查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键13(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）证明四边相等，可得结论；（2）如图2中，连接BD交AC于点O设OCy根据BD的两种求法，构建方程，求出y即可；（3）如图3中，设AC交BD于点O，过点A作AHBC于点H，设BPDQx由题意AP+AQ推出欲求AP+AQ的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到N（3，），J（，3）的距离和最小，如下图，作点J关于x轴的对称点K，连接KN交x轴于点M，此时MN+MJ的值最小，最小值为线段KN的长【解析】（1）证明：如图1中，ACD与ACB关于AC对称，ABAD，CBCD，CABCAD，AEAF，