第5章相交线与平行线 期末压轴题训练2(含答案)2023年人教版七年级数学下册
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1、第5章相交线与平行线 期末压轴题训练1如图1,一块直尺和一块含30的直角三角板如图放置,其中直尺和直角三角板的斜边平行,我们可以抽象出如图2的数学模型:,分别交、于点E、F、的角平分线交于点D,H为线段上一动点(不与A、B重合),连接交于点(1)当时,求(2)在线段上任意移动时,求,之间的关系(3)在(1)的条件下,将绕着点以每秒5的速度逆时针旋转,旋转时间为,则在旋转过程中,当的其中一边与的某一边平行时,直接写出此时的值2(1)【阅读理解】如图,和的边互相平行,边与交于点E若,求的度数老师在黑板上写出了部分求解过程,请你完成下面的求解过程解:如图,过点E作,(_), (_)_,_(2)【问题
2、迁移】如图,D、E分别是的边、上的点,在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G点P是线段上一点,连接、,若,求的度数(3)【拓展应用】如图,D、E分别是的边、上的点,在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G点P是射线上一点,连接、,若,直接写出与、之间的数量关系3已知,的平分线与的平分线相交于点F(1)在图1中,求证:;(2)如图2,当,时,请你写出与之间的关系,并加以证明;(3)当,且时,请你直接写出的度数(用含m,n的式子表示)4长江汛期即将来临,为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况,防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯(如图1),假定这一带长江两岸河堤是平行的,即,连结,且灯射
3、线自顺时针旋转至便立即回转,灯射线自顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视若灯转动的速度是1度/秒,灯转动的速度是3度/秒(1)若两灯同时转动,在灯射线第一次转到之前,两灯射出的光线交于点如图1,当两灯光线同时转动50秒时,求的度数如图2,过作交于点,则在转动过程中,求与的比值,并说明理由(2)若灯射线先转动30秒,灯射线才开始转动,在灯射线第一次转到之前,灯转动几秒,两灯的光线互相平行?5如图,点为上方一点,在直线上(1)如图,求证:;(2)如图,点为直线上一点,、的角平分线所在直线交于点,求与的数量关系;(3)如图,为、之间一点,且在内部,、,当恒成立时,_6如图1,由线段组成的图形
4、像英文字母,称为“形”(1)如图1,形中,若,则_;(2)如图2,连接形中两点,若,试探求与的数量关系,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,且的延长线与的延长线有交点,当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中,直接写出与所有可能的数量关系7(1)学习了平行线以后,香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法,她是通过折纸做的,过程如(图1)请你仿照以上过程,在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且,要求保留折纸痕迹,画出所用到的直线,指明结果无需写画法:在(1)中的步骤(b)中,折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线(2)已知,如图3,BE平分,CF平分求证:(写出每步的依据)8
5、小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后,遇到了一些问题,请你帮他解决一下(1)如图1,已知ABCD,则AEC=BAE+DCE成立吗?请说明理由(2)如图2,已知ABCD,BE平分ABC,DE平分ADCBE、DE所在直线交于点E,若FAD=50,ABC=40,求BED的度数(3)将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移,使得点B在点A的右侧,若FAD=m,ABC=n,其他条件不变,得到图3,请你求出BED的度数(用含m,n的式子表示)9将一副直角三角板如图放置,使含角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边完全重合(1)直接写出的度数为_;(2)含角的三角板位置保持不变,将含角的三角板绕点顺
6、时针方向旋转,当旋转至图所示位置时,恰好,求此时的大小;若将含角的三角板绕点顺时针方向旋转一周至图位置,在这一过程中,是否存在的其中一边与平行?若存在,请你画出相应的图形并直接写出相应的的大小10已知:和同一平面内的点(1)如图1,点在边上,过作交于,交于根据题意,在图1中补全图形,请写出与的数量关系,并说明理由;(2)如图2,点在的延长线上,请判断与的位置关系,并说明理由(3)如图3,点是外部的一个动点过作交直线于,交直线于,直接写出与的数量关系,并在图3中补全图形11已知,点在射线上, (1)如图 1,若,求的度数; (2)把“”改为“”,射线 沿射线 平移,得到,其它条件不变(如 图 2
7、 所示),探究 的数量关系;(3)在(2)的条件下,作,垂足为 ,与 的角平分线 交于点,若 , 用含 的式子表示(直接写出答案)12已知,直线交于点E,交于点F,点M在线段上,过M作射线分别交射线、于点N、Q(1)如图1,当时,求的度数(2)如图2,若和的角平分线交于点G,求和的数量关系(3)如图3,当,且时,作的角平分线把一三角板的直角顶点O置于点M处,两直角边分别与和重合,将其绕点O点顺时针旋转,速度为每秒,当落在上时,三角板改为以相同速度逆时针旋转三角板开始运动的同时绕点N以每秒的速度顺时针旋转,记旋转中的为,当和重合时,整个运动停止设运动时间为t秒,当的一边和三角板的一直角边互相平行
8、时,请直接写出t的值13“一带一路”让中国和世界联系更紧密,“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯现将两灯射出的光束看作是两条射线,如图1所示,灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即往回旋转,灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即往回旋转,两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是/秒,灯B转动的速度是/秒,且a,b满足假定主道路是平行的,即,且(1)填空:_,_,_;(2)若灯B射线先转动30秒,灯A射线才开始转动,在灯B射线到达BQ之前(即灯B转动角度小于),A灯转动几秒时,两灯的光束互相平行?(3)如图2,两灯同时开始转动,在灯A射线到达AN之前(即灯A转动角度小于
9、),若两灯射出的光束交于点C,过C作交PQ于点D,且,则在转动过程中,请探究与的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由14已知,点、分别是、上的点,点在、之间,连接、(1)如图,若,求的度数;(2)如图,若点是下方一点,平分,平分,已知,求的度数;(3)如图,若点是上方一点,连接、,且的延长线平分,平分,求的度数15已知,(1)如图1,判断与的位置关系,并说明理由;(2)作的平分线交于点,点为线段上一点,连接,的平分线交线段于点如图2,若,求的度数;(3)如图3,连接,在(2)的条件下,将射线绕点以每秒的速度逆时针旋转,旋转时间为秒(),已知,求的平分线与三角形的边
10、平行时的值16如图,两个形状、大小完全相同的含有30、60的三角板如图放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC,三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转(1)如图1,DPC 度;(2)我们规定,如果两个三角形只要有一组边平行,我们就称这两个三角形为“孪生三角形”,如图2,三角板BPD不动,三角板PAC从图示位置开始以每秒5绕点P按逆时针方向旋转一周(0旋转角360.),问旋转时间t为多少秒时,这两个三角形是“孪生三角形”(3)如图3,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速a秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速b/秒,且a,b满足|ab2|0求a;b的
11、值在两个三角板旋转过程中(PC 转到与PM重合时,两三角板都停止转动),设两个三角板旋转时间为t秒,以下两个结论:()为定值;()BPN+CPD为定值,请选择你认为对的结论加以证明17已知点,分别在和上,且(1)如图1,若,则的度数为_;(2)如图2,平分,的延长线与的平分线交于点,若比大,求的度数;(3)保持(2)中所求的的度数不变,如图3,平分,平分,作,则的度数是否改变?若不变,请求值;若改变,请说明理由18已知,(1)如图1,求证:;(2)如图2,作的平分线交于点F,点G为上一点,连接,若的平分线交线段于点H,求证:;(3)如图3,在(2)的条件下,连接AC,若,过点H作交的延长线于点
12、M,且,求的度数参考答案1(1)(2)(3)t为6或12或21或24或30【分析】(1)由三角形内角和定理求出,由,得到,由,则,由角平分线和平行线性质得到,即可得到答案;(2)由得到,由即可得到结论;(3)分五种情况画图求解即可【解析】(1)解:,平分,即;(2),;(3)由(1)知,如图1,当时,此时是旋转了,此时,;如图2,当时, ,此时是旋转了,此时,;如图3,当时,此时是旋转了,此时,;如图4,当时,设与相交于点S,此时是旋转了,此时,;如图5,当时, ,此时是旋转了,此时,;当的其中一边与的某一边平行时,t为6或12或21或24或30【点评】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理
13、、旋转等知识,分情况讨论是解题的关键2(1)两直线平行,同旁内角互补;如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(2);(3)或【分析】(1)如图,过点E作,根据推理步骤逐步写出答案即可;(2)如图,过点P作,先求出,再求,求得即可;(3)当点P在线段上,过点P作,先证明,再证明,得;当点P在线段的延长线上时,与点在线段上的情况类似【解析】(1)如图,过点E作(两直线平行,同旁内角互补),(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),故答案是:两直线平行,同旁内角互补;如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;DCE;(2)如图,过点P作,(3)
14、当点P在线段上,过点P作,;当点P在线段的延长线上时,过点P作,;综上所述:或【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点;熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键3(1)证明见解析;(2),证明见解析;(3)【分析】(1)根据平行线的性质可得:,根据平行线的性质可得:,(2)设,则,根据(1)和四边形内角和得等式可得结论;(3)同(2)将3倍换为n倍,同理可得结论;【解析】(1)证明:如图,过点作 ,证明:如图,过点作 ,即(2)解:关系式为,证明:设,时,且平分,平分, 由()得,即,(3)解:设则,由()可得,即的度数(用含m,n的式子表示)表示为【点
15、评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用,解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角,依据平行线的性质进行推导计算,解题时注意类比思想的运用4(1);比值为,详见解析(2)灯转动15秒或82.5秒时,两灯的光束互相平行【分析】(1)当转动50秒时,有,即有,根据,即可得解;过点作,得到,即有,根据,可得,再根据,可得,即问题得解;(2)设A灯转动秒,两灯的光束互相平行,A灯先转动30秒,则AQ转到AP还需要180-30=150(秒)即,当B射线第一次垂直MN时,用时903=30(秒),此时A射线共计运动30+30=60秒,即,即在灯射线到达之前,先证明,即有
16、:,即可求解;在灯射线到达之后,回到前,根据中,同理有:,即有:,即可求解;在灯射线回到后,第二次到前,由题意得:,即可求解,即问题得解【解析】(1)两灯速度为:灯A转动的速度是1度/秒,灯B转动的速度是3度/秒当转动50秒时,故答案为:15;比值为:,理由如下,如图2,过点作,设两灯转动时间为秒,则,即,又,即,而,即比值为:;(2)两灯速度为:灯A转动的速度是1度/秒,灯B转动的速度是3度/秒设A灯转动秒,两灯的光束互相平行,A灯先转动30秒,则AQ转到AP还需要180-30=150(秒)即,当B射线第一次垂直MN时,用时903=30(秒),此时A射线共计运动30+30=60秒,即,即在灯
17、射线到达之前,如图3所示,即有:,解得:(秒);如图4,在灯射线到达之后,回到前,根据中,同理有:即有:,解得:如图5,在灯射线回到后,第二次到前,由题意得:,解得:(舍去)综上所述,灯转动15秒或82.5秒时,两灯的光束互相平行【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系,厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键5(1)见解析(2)(3)【分析】(1)过点P作PQAB,得ABCDEF,得QPE=PEB,QPC=C,两式相减便可得出结论;(2)由(1)中结论可得P=PEB-PFD,Q=CFQ-AEQ,设BEM=,CFN=,因为EM平分BEP,FN平分CFP,所以PEM=,PFN=
18、,即得P=2+2-180,Q=180-CFN-BEM=180-,即可得解;(3)易得CPE=(n+1)CPN,PCD=(n+1)PCN,再结合(1)结论,具体见解答过程【解析】(1)证明:过点P作PQAB,如图,ABCD,ABCDPQ,QPE=PEB,QPC=C,QPE-QPC=PEB-C,即CPE=PEB-C;(2)解:如图:设BEM=,CFN=,EM平分BEP,FN平分CFP,PEM=,PFN=,由(1)中结论可得P=PEB-PFD,Q=CFQ-AEQ,P=PEM+BEM-(180-CFN-PFN)=+-(180-)=2+2-180,Q=180-CFN-BEM=180-,2Q+P=360-
19、2-2+2+2-180=180,即2Q+P=180;(3)解:如图:与(1)同理可得,CPE=PEB-PCD,EPN=nCPN,EPN+CPN=CPE,CPE=(n+1)CPN,DCN=nPCN,DCN+PCN=PCD,PCD=(n+1)PCN,(n+1)CPN=PEB-(n+1)PCN,又PEB=180-PEA,(n+1)(CPN+PCN)=180-PEA,又CPN+PNC=180-PCN,(n+l)(180-CNP)=180-PEA,又2CNP-PEA=180,(n+1)(180-CNP)+2CNP=360,(n+1)(180-CNP)-2(180-CNP)=0,(n-1)(180-CNP
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