第17章勾股定理 期末压轴题训练1(含答案)2023年人教版八年级数学下册
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1、第17章勾股定理 期末压轴题训练1如图,已知为等腰直角三角形,且面积为4点D是的中点,点F是直线上一动点,连结(1)求线段的长;(2)当点E在射线上,且时,连结,若,试判断是否为等腰三角形,并说明理由;(3)直线上是否存在点F(F不与重合),使的其中两边之比为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由2已知:如图,在ABC纸片中,AC3,BC4,AB5,按图所示的方法将ACD沿AD折叠,使点C恰好落在边AB上的点C处,点P是射线AB上的一个动点(1)求折痕AD长(2)点P在线段AB上运动时,设APx,DPy求y关于x的函数解析式,并写出此函数的定义域(3)当APD是等腰三角形时,求AP的长3在中
2、,D是边AC上一点,F是边AB上一点,连接BD、CF交于点E,连接AE,且(1)如图1,若,求点B到AE的距离;(2)如图2,若E为BD中点,连接FD,FD平分,G为CF上一点,且,求证:;(3)如图3,若,将沿着AB翻折得,点H为的中点,连接HA、HC,当周长最小时,请直接写出的值4如图,的顶点A,B分别在x轴,y轴上,;(1)若,且点B(0,2),C(-2,-1),点C关于y轴对称点的坐标为_;求点A的坐标;(2)若点B与原点重合,时,存在第三象限的点E和y轴上的点F,使,且A(3,0),C(0,m),F(0,n),线段EF的长度为,求AE的长5如图,是四边形ABCD的一个外角,点F在CD
3、的延长线上,垂足为G(1)求证:DC平分;(2)如图,若,求的度数;直接写出四边形ABCF的面积6若ABC和ADE均为等腰三角形,且ABACADAE,当ABC和ADE互余时,称ABC与ADE互为“底余等腰三角形”,ABC的边BC上的高AH叫做ADE的“余高”(1)如图1,ABC与ADE互为“底余等腰三角形”若连接BD,CE,判断ABD与ACE是否互为“底余等腰三角形”:_ (填“是”或“否”) ;当BAC90时,若ADE的“余高”AH,则DE_;当0BAC180时,判断DE与AH之间的数量关系,并证明;(2)如图2,在四边形ABCD中,ABC60,DABA,DCBC,且DADC 画出OAB与O
4、CD,使它们互为“底余等腰三角形”;若OCD的“余高”长为a,则点A到BC的距离为_(用含a的式子表示)7已知:ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中PCQ=90,探究并解决以下问题:(1)如图1,若点P在线段AB上,且AC=4,PA=,则线段PB= ,PC= 猜想:三者之间的数量关系为 (2)如图2,若点P在线段AB的延长线上,则在(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图2给出证明过程(3)若动点P满足,请直接写出的值(提示:请你利用备用图探究)8定义:若a,b,c是ABC的三边,且a2+b22c2,则称ABC为“方倍三角形”(1)对
5、于等边三角形直角三角形,下列说法一定正确的是 A一定是“方倍三角形”B一定是“方倍三角形”C都一定是“方倍三角形”D都一定不是“方倍三角形”(2)若RtABC是“方倍三角形”,且斜边AB,则该三角形的面积为 ;(3)如图,ABC中,ABC120,ACB45,P为AC边上一点,将ABP沿直线BP进行折叠,点A落在点D处,连接CD,AD若ABD为“方倍三角形”,且AP,求PDC的面积9已知RtABC中CRt,且BC9,B30(1)如图1、2,若点D是CB上一点,且CD3,点E是AB上的动点,将DBE沿DE对折,点B的对应点为B(点B和点C在直线AB的异侧),DB与AB交于点H当BEA20时,求ED
6、B的度数当BHE是等腰三角形时,求DEB的度数(2)如图2,若点D是CB上一点,且CD3,M是线段AC上的动点,以MDN为直角构造等腰直角DMN(D,M,N三点顺时针方向排列),在点M的运动过程中,直接写出CN+NB的最小值10已知,在ABC中,AB=AC, (1)如图1,若,且点D在CA的延长线上时,求证:;(2)如图2,若,试判断AD,BD,CD之间的等量关系,并说明理由(3)如图3,若BD=5,求CD的长11已知ABC中,ABAC(1)如图1,在ADE中,ADAE,点D在线段BC上,DAEBAC=90,连接CE,请写出:BD和CE之间的位置和数量关系为 、 ;BD、CD和AE之间的数量关
7、系为 (2)如图2,在ADE中,ADAE,连接BE、CE,若DAEBAC60,CEAD于点F,AE4,AC,求线段BE的长;(3)如图3,点D是等边ABC外一点,ADC75,若CD3,AD=,则BD的长为 ,请简要写出解答过程12如图,已知OMN为等腰直角三角形,MON90,点B为NM延长线上一点,OCOB,且OCOB,连接CN(1)如图1,求证:CNBM;(2)如图2,作BOC的平分线交MN于点A,求证:AN2BM2AB2;(3)如图3,在(2)的条件下,过点A作AEON于点E,过点B作BFOM于点F,EA,BF的延长线交于点P,请探究:以线段AE,BF,AP为长度的三边长的三角形是何种三角
8、形?并说明理由13如图1,已知RtABC中,BAC90,点D是AB上一点,且AC8,DCA45,AEBC于点E,交CD于点F(1)如图1,若AB2AC,求AE的长;(2)如图2,若B30,求CEF的面积;(3)如图3,点P是BA延长线上一点,且APBD,连接PF,求证:PF+AFBC14在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,ACB=90,点M为射线CA上一个动点过点M作MEBM,交射线BA于E,将线段BM绕点B逆时针旋转90得到线段BN,过点N作NFBN交BC延长线于点F,连接EF(1)如图1,当点M在边AC上时,线段EM,EF,NF的数量关系为_;(2)如图2,当点M在射线CA上时,判断
9、线段EM,EF,NF的数量关系并说明理由;(3)当点M在射线CA上运动时,能否存在BEF为等腰三角形,若不存在;若存在,请直接写出CM的长15如图,我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”(1)性质探究:如图1已知四边形ABCD中,ACBD垂足为O,求证:AB2+CD2AD2+BC2;(2)解决问题:已知AB5BC4,分别以ABC的边BC和AB向外作等腰RtBCE和等腰RtABD;如图2,当ACB90,连接DE,求DE的长;如图3当ACB90,点G、H分别是AD、AC中点,连接GH若GH2,则SABC16如图1,在RtABC中,ACB90,ACBC,将点C绕点B顺时针旋转105得到点D,
10、连接BD,过点D作DEBC交CB延长线于点E,点F为线段DE上的一点,且DBF45,作BFD的角平分线FG交AB于点G(1)求BFD的度数;(2)求BF,DF,GF三条线段之间的等量关系式;(3)如图2,设H是直线DE上的一个动点,连接HG,HC,若AB,求线段HG+HC的最小值(结果保留根号)17某数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下研究:(1)如图1,ABC中分别以AB,AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD使AEAB,ADAC,BAECAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系,并说明理由(2)如图2,ABC中分别以AB,AC为边向外作等腰RtABE和等腰RtACD,EAB
11、CAD90,连接BD,CE,若AB4,BC2,ABC45,求BD的长(3)如图3,四边形ABCD中,连接AC,CDBC,BCD60,BAD30,AB15,AC25,求AD的长18如图,在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(0,a),点B(b,0),且a,b满足:b4,点C与点B关于y轴对称,点P,点E分别是x轴,直线AB上的两个动点(1)则点C的坐标为 ;(2)连接PA,PE如图1,当点P在线段BO(不包括B,0两个端点)上运动,若APE为直角三角形,F为斜边PA的中点,连接EF,OF,试判断EF与OF的关系,并说明理由;如图2,当点P在线段OC(不包括O,C两个端点)上运动,若APE
12、为等腰三角形,M为底边AE的中点,连接MO,试探索PA与OM的数量关系,并说明理由;(3)如图3,连PA,CE,设它们所在的直线交于点G,设CE交y轴于点F,连接BG,若OPOF,则BG的最小值为 参考答案1(1)线段BC的长为4;(2)DEF是等腰三角形,理由见解析(3)存在,BF的长为4或4+2或4-2或2+2或2-2【分析】(1)利用三角形面积公式求得AB的长,再利用勾股定理即可求得线段BC的长;(2)过点F作FHBE于点H,得到BHF为等腰直角三角形,求得BF=8,BH=FH=8,根据已知可求得DE= DF=10,即可说明DEF是等腰三角形;(3)分AC:CF=1:,AC:AF=1:,
13、AF:AC=1:时,三种情况讨论即可求解【解析】(1)解:ABC为等腰直角三角形,且AB=AC,面积为4,ABAC=4,AB=AC=2,BC=4,线段BC的长为4;(2)解:DEF是等腰三角形,理由如下:过点F作FHBE于点H,ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=2,BC=4,ABC=BCA=45,BHF为等腰直角三角形,且BH=FH,AF=3AB=6,BF=8,BH2+FH2=BF2,即2BH2=(8)2,BH=FH=8,点D是BC的中点,BD=DC=2,则DH=BH-BD=6,DH2+FH2=DF2,即62+82=DF2,DF=10,CE=2BC=8,DE=DC+CE=10,DE= DF
14、=10,DEF是等腰三角形;(3)解:存在,理由如下:ABC为等腰直角三角形,且AB=AC=2,BC=4,BAC=FAC=90,当AC:CF=1:时,AB=AC=2,CF=4,AF=2,BF=AB+ AF=4;当AC:AF=1:时,AB=AC=2,AF=4,BF=4+2或4-2;当AF:AC=1:时, AB=AC=2,AF=2,BF=2+2或2-2;综上,存在点F,使ACF的其中两边之比为1:,BF的长为4或4+2或4-2或2+2或2-2【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定,勾股定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件2(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6
15、【分析】(1)根据题意由翻折可知:CD=DC,AC=AC=3,设CD=DC=x,在RtBDC中,根据BD2=CD2+CB2,构建方程即可解决问题;(2)根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题;(3)根据题意分三种情形:PA=PD,AP=AD,当PD=AD时,分别求解即可【解析】(1)解:如图1中,由翻折可知:CD=DC,AC=AC=3,设CD=DC=x,在RtBDC中,BD2=CD2+CB2,(4-x)2=x2+22,解得:x=,(2)如图2中,当点P在CD左侧,AC=AC=3,则PC=3-x,当点P在CD右侧,同理可得y关于x的函数解析式为(3)如图3中,当PA=PD时,设PA=PD=
16、m,在RtPCD中,PD2=DC2+CP2,解得:,PA=当AD=AP=时,即P在P时,ADP是等腰三角形,当PD=AD时,点P在AB的延长线上如图4,AP=2AC=6综上所述,满足条件的PA的值为或或6【点评】本题属于三角形综合题,考查翻折变换,等腰三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题3(1)(2)证明见解析(3)【分析】(1)如图所示,过点B作BGAE交AE延长线于G,先证明ACF=GAB,即可证明ABGCAE得到BG=AE,由勾股定理得,再由,得到,则点B到AE的距离为;(2)如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,先证明AEB
17、HED得到AB=HD=AC,ABE=HDE,则HCD=HDC,ABDH,从而推出BAC=HDC=HCD,再证明CE是AH的垂直平分线,得到AC=HC,则ACE=HCE,即HCA=2ACE,然后推出FGD=HCD=HDC=FAC=2GCD,GD=GC,即可证明AFDGFD(AAS),得到AF=GF,则CF=GF+CG=AF+DG;(3)如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BEBC,由翻折的性质可知,然后证明,得到,则点在线段BC的垂直平分线上,即AFBC,求出,由H是的中点,得到直线A关于点H的对称点在直线BE上,则要使AHC的周长最小,则要最小,即最小,即当、C、H、三点共线时有最小值,如图
18、所示,连接交于,交AF于P,连接BP,先证明,得到,由平行线之间的间距相等,得到,然后求出,再证明,求出,由此求解即可【解析】(1)解:如图所示,过点B作BGAE交AE延长线于G,AECF,AGBG,BAC=AGB=AEF=AEC=90,AFC+ACF=90,FAE+AFE=90,ACF=GAB,又AB=CA,ABGCAE(AAS),BG=AE,在直角AFC中,由勾股定理得,点B到AE的距离为;(2)解:如图所示,延长AE到H使得,AE=HE,连接DH,CH,FD平分AFC,AFD=CFD,E是BD的中点,BE=DE,又AE=HE,AEB=HED,AEBHED(SAS),AB=HD=AC,AB
19、E=HDE, HCD=HDC,BAC=HDC=HCD,ACE=HCE,即HCA=2ACE,GDC=GCD,FGD=GDC+GCD,FGD=HCD=HDC=FAC=2GCD,GD=GC,又FD=FD,AFD=GFD,AFDGFD(AAS),AF=GF,CF=GF+CG=AF+DG;(3)解:如图所示,连接,延长交BC于F,作直线BEBC,由翻折的性质可知,又AB=AC,点在线段BC的垂直平分线上,即AFBC,H是的中点,直线A关于点H的对称点在直线BE上,要使AHC的周长最小,则要最小,即最小,当、C、H、三点共线时有最小值,如图所示,连接交于,交AF于P,连接BP,BEBC,AFBC,又,BC
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