2.2直线的方程 同步讲义(含答案)新教材人教A版2019高中数学选择性必修第一册
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1、2.2直线的方程知识梳理1、直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线2、直线与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,与y轴的交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。截距不是距离3、两直线平行的充要条件直线l1:A1xB1yC10与直线l2:A2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).4、两直线垂直的充要条件直线l1:A1xB1yC
2、10与直线l2:A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.知识典例题型一 直线方程例 1求适合下列条件的直线方程:经过点,倾斜角等于直线的倾斜角的倍;经过点,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形【答案】(1)(2)或【分析】(1)根据倾斜角等于直线的倾斜角的倍,求出直线的倾斜角,再利用点斜式写出直线(2)与两坐标轴围成一个等腰直角三角形等价于直线的斜率为.【详解】(1)已知,直线方程为化简得(2)由题意可知,所求直线的斜率为.又过点,由点斜式得,所求直线的方程为或巩固练习求下列直线方程:(1)求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程.(2)求经过点,且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线
3、方程.(3)求过,两点的直线的方程.【答案】(1);(2)或;(3).【分析】(1)求出直线斜率,由点斜式方程即可得解;(2)按照直线是否经过原点分类,结合截距式方程即可得解;(3)按照、分类,结合两点式方程即可得解.【详解】(1)设所求直线的斜率为,依题意,又直线经过点,所求直线方程为,即;(2)当直线不过原点时,设所求直线方程为,将代入可得,解得,直线方程为;当直线过原点时,设直线方程为,则,解得,直线方程为,即;故所求直线方程为或;(3)当时,直线的方程为;当时,直线的方程为,即,时,代入方程,即为,直线的方程为.题型二 截距例 2已知直线在两坐标轴上的截距相等,则实数A1BC或1D2或
4、1【答案】D【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时,求出对应的值,即可得到答案【详解】由题意,当,即时,直线化为,此时直线在两坐标轴上的截距都为0,满足题意;当,即时,直线化为,由直线在两坐标轴上的截距相等,可得,解得;综上所述,实数或故选D巩固练习直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】【分析】分别计算出直线的横截距和纵截距后可求三角形的面积.【详解】令可得;令可得,故所求三角形的面积为题型三 两直线位置关系 例 3已知直线l的方程为3x4y120,求下列直线l的方程,l满足:(1)过点(1,3),且与l平行;(2)过点(1,3),且与l垂直;【答
5、案】(1)3x4y90; (2)4x-3y+130.【分析】(1)由直线平行可得直线斜率,进而由点斜式即可得解;(2)由两直线垂直可得斜率之积为-1,从而得斜率,进而利用点斜式即可得解.【详解】(1)ll,l的斜率为 直线l的方程为:y3(x1),即3x4y90. (2)l的斜率为,直线l的方程为:y3(x1),即4x-3y+130.巩固练习已知点和直线求:(1)过点与直线平行的直线方程;(2)过点与直线垂直的直线方程【答案】(1); (2).【分析】(1) 由所求直线与直线平行,先设所求直线的方程是,再将点坐标代入即可求出结果;(2)由所求直线与直线垂直,先设出所求直线方程为,再将点坐标代入
6、即可求出结果.【详解】(1)设所求直线的方程是,点在直线上,即所求直线方程是(2)设所求直线的方程是,点在直线上,即所求直线方程是题型四 中线所在的直线例 4已知的三个顶点分别为,则过点B将的面积平分的直线方程为( )ABCD【答案】D【分析】由中点坐标公式先求的中点坐标为,再利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】解:由,则的中点坐标为,则过点B将的面积平分的直线过点,则所求直线方程为,即 ,故选D.巩固练习已知的三个顶点,.(1)求边所在直线的方程;(2)求边上中线所在直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)由直线的两点式方程求解即可;(2)先由中点坐标公式求出中点的坐标,再结合直线的
7、两点式方程求解即可.【详解】(1)因为,由直线的两点式方程可得:边所在直线的方程,化简可得; (2)由,则中点,即,则边上中线所在直线的方程为,化简可得.题型五 定点问题 例 5直线方程kxy+23k=0恒过定点( )A(3,2)B(2,3)C(3,2)D(2,3)【答案】A 【分析】将直线方程kxy+23 k=0,转化为 求解. 【详解】因为直线方程kxy+23 k=0, 即为 所以 , 解得, 所以直线恒过定点(3,2). 故选:A 巩固练习直线kxy13k0当k变化时,所有的直线恒过定点 【答案】【解析】【分析】先分离参数得到(x-3)k+1-y=0,再解方程组即得直线所经过的定点.【详
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