3.2.1单调性与最大（小）值 导学案（2022-2023学年人教A版（2019）必修第一册）

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1、3.2.1单调性与最大（小）值1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性一、 预习导入阅读课本76-80页，填写。1 增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)_，区间D叫做yf(x)的_点睛一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“,”连接如函数y 在

2、(，0),(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y在(，0)(0，)上单调递减3、 函数的最大（小）值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性 ()(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量” ()(3)任何函数都有最大值或最小值 ()(4)函数的最小值一定比最大值小 ()2.函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是 () A4,4 B4，3，1,4C3,1 D3,43函数yf(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ()A1,0B0,2 C1,2 D.，24下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0

3、，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是 ()Af(x)x2Bf(x)Cf(x)|x| Df(x)2x15函数f(x)，x2,4，则f(x)的最大值为_；最小值为_题型一 利用图象确定函数的单调区间例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2; (2)y=-1x.跟踪训练一1. 已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1. 已知函数f(x)=1x,0xg(1-3t),

4、求t的取值范围.题型六 单调性最值的实际应用例6 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租

5、金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa-f(b)a-b0，则必有( )A函数f(x)先增后减 B函数f(x)先减后增C函数f(x)是R上的增函数 D函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)x24xa，x0,1，若f(x)的最小值为2，则f(x)的最大值为( )A1 B0C1 D23已知函数f(x)4x2kx8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )A160，) B(，40C(，40160，) D(，2080，)4.若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f (1a)f(2a1)，则a的取值

6、范围是 。5.f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_6.证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.7.有一长为24米的篱笆，一面利用墙(墙最大长度是10米)围成一个矩形花圃，设该花圃宽AB为x米，面积是y平方米，(1)求出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；(2)当花圃一边AB为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？ 答案小试牛刀1（1） （2） （3） （4）2-4C C B 31自主探究例1 【答案】见解析【解析】(1)函数y=3x-2的单调区间为R,其在R上是增函数.(2)函数y=- 的单调区间为(-,0),(0,+),其在(-,0)及(0,

7、+)上均为增函数.跟踪训练一【答案】单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为1,2【解析】f(x)=x|x-2|=x(x-2),x2,x(2-x),x2,图象如下图所示.由图象可知,函数的单调增区间为(-,1,2,+);单调减区间为1,2.例2【答案】最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2【解析】y=-|x-1|+2=3-x,x1,x+1,x1,函数图象如图所示由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-,2跟踪训练二 【答案】(1)见解析 （2）最小值为f(1)=1,无最大值【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为

8、f(1)=1,无最大值.例3 【答案】见解析【解析】证明:设x1,x2是区间(0,1)内的任意两个实数,且x1x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+x2-x1x1x2=(x1-x2)1-1x1x2=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2.0x1x20,x1x2-10,x1-x20,即f(x1)f(x2).故函数f(x)=x+1x在区间(0,1)内为减函数.跟踪训练三【答案】见解析【解析】对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x2x10，x1x20，xx0.f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2)函数f

9、 (x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f (x1)f(x2).0x1x2，x2x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数例4 【答案】见解析【解析】(1)设x1,x2是区间1,2上的任意两个实数,且x1x2,x1x2,x1-x20.当1x10,1x1x24,即x1x2-4f(x2),即f(x)在区间1,2上是减函数.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+ =4;f(x)的最大值为f(1).f(1)=1+4=5,f(x)的最小值为4,最大值为5.跟踪训练四【答案】见解析【解析】设

10、x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x1x26，得x2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2) 0，即f(x1)f(x2) 所以函数f(x)是区间2,6上的减函数因此，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是0.4.例5【答案】f34f(a2-a+1).【解析】a2-a+1=a-122+3434,34与a2-a+1都是区间(0,+)上的值.f(x)在区间(0,+)上是减函数,f34f(a2-a+1).跟踪训练五【答案】t的取值范围为14,1.【解析】g(

11、x)是-2,2上的增函数,且g(t)g(1-3t),-2t2,-21-3t2,t1-3t,即-2t2,-13t1,t14,14t1.t的取值范围为14,1.例6 【答案】t的取值范围为14,1.【解析】画出函数h（t）=-4.9+14.7t+18的图象（图3.2-4）.显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。 跟踪训练六【答案】见解析【解析】(1)当每辆车的月租金为3 600元时, 未租出的车辆数为3 600-3 00050=12,所以此时租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x元,租赁公司的月收益为y=100-x-3 0005

12、0(x-150)-x-3 0005050,整理得y=-x250+162x-21 000=-150(x-4 050)2+307 050.所以当x=4 050,即每辆车的租金为4 050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307 050元.当堂检测1-3CCC423,+4. 83x4.6【答案】见解析【解析】函数f(x)=-x的定义域为0,+).设x1,x2是0,+)上的任意两个实数,且0x10,f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2.x1-x20,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).函数f(x)=-x在定义域0,+)上为减函数.7. 【答案】见解析【解析】(1)如图所示： 0242x10，7x12，yx(242x)2x224x，(7x12)(2)由(1)得，y2x224x2(x6)272，AB6 m时，y最大为72 m2.