六年级秋季班数学教案讲义：圆和扇形的面积（含答案）

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1、圆和扇形的面积内容分析圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题知识结构模块一：圆的面积知识精讲1、 圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积例题解析【例1】 （1）圆的半径是4厘米，它的面积是_平方厘米；（结果保留） （2）圆的直径是6米，它的周长是_米，它的面积是_平方米；（取3.14） （3）圆的周长是25.12分米，它的面积是_平方分米（取3.14）【难度】【答案】（1）50.24；（2）1

2、8.84；28.26；（3）50.24【解析】（1）和（2）直接利用基本公式进行计算，（3）中先根据周长求出，圆的半径为：25.123.142 = 4米，故面积为：3.1444 = 50.24平方米【总结】考查圆的周长及面积的计算【例2】 有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的_倍，大圆的面积是小圆的_倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积是与大圆面积的比是_【难度】【答案】3；9；1:16【解析】圆的周长与半径成正比，圆的面积与半径的平方成正比【总结】考查圆的面积与圆的周长与圆的半径的关系【例3】 有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到

3、_平方米的草（取3.14）【难度】【答案】50.24【解析】S = 443.14 = 50.24平方米【总结】考查圆的面积在实际问题中的运用【例4】 在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】314【解析】剪出的最大圆的直径即为正方形的边长，所以圆的半径为10厘米，所以圆的面积是：10103.14 = 314平方厘米【总结】本题主要考查正方形中剪出最大圆的问题【例5】 用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（取3.14）【难度】【答案】19.625平方分米【解析】由题意，可得圆的半径为：（16

4、-0.3）3.142 = 2.5分米，故这个圆的面积为： 2.52.53.14 = 19.625平方分米【总结】考查圆的面积的计算，注意本题中铁丝的总长度剪出接头处的长度即为圆的周长【例6】 一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板_平方米（取3.14）【难度】【答案】3.14【解析】圆的半径为：202 = 10厘米， 要做100个这样的面盆至少需要铝板： 1003.141010=31400平方厘米 = 3.14平方米【总结】考查圆的面积的计算的简单应用，注意单位的换算【例7】 周长相等的长方形、正方形和圆，_的面积最大【难度】【答案】圆【解析】在所

5、有周长相等的图形中，圆的面积最大【总结】通过周长求面积，考查学生的转换能力【例8】 两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积（取3.14）【难度】【答案】50.24平方厘米【解析】圆环的面积为：3.14（259）= 50.24平方厘米【总结】考查圆环的面积的计算【例9】 一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积（取3.14）【难度】【答案】138.16平方米【解析】圆心水池的半径为：62.83.142=10米，则路面的面积为： 3.14（144100）= 138.16平方米【总结】考查圆环的面积在实际问题中的应用【例10】 如图，已知

6、大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的_（用分数表示）【难度】【答案】【解析】阴影部分的面积即为小圆的面积，故阴影部分面积占大圆面积的【总结】考查圆的面积的计算【例11】 两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】1100【解析】设大圆的半径为10r，小圆半径为9r，所以大圆面积占两圆面积的，所以 大圆面积为：1991181100=1100平方厘米【总结】考查圆的面积的计算【例12】 有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的

7、面积尽可能接近【难度】【答案】直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，直径3米、5米和8米的三个花圃交 给另一个班管理【解析】由于面积与半径的平方成正比，故几个花圃面积之比是9:16:25:64:81， 因为16+81=97；9+25+64=98， 所以符合要求， 所以把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余交给另一个班管理【总结】本题一方面考查圆的面积与半径的关系，另一方面考查圆面积计算的简单应用【例13】 大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的，是小圆面积的，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（取3.14）【难度】【答案】7.5厘米【解析】由题意，可得：，

8、则，设大圆半径为R，则，解得：即大圆的半径为7.5厘米【总结】本题综合性较强，要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而求出大圆的半径【例14】 如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（取3.14）【难度】【答案】2.58平方厘米【解析】设正方形的边长为a，则，则圆的面积为： ， 故阴影部分面积为：129.42 = 2.58平方厘米【总结】本题主要考查圆面积计算的简单应用【例15】 如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14）【难度】【答案】20.5厘米【解析】由图可知，这个长方形的宽

9、等于圆的半径，长方形的面积等于圆的面积， 所以长方形的长等于圆的周长的一半， 故阴影部分的周长=长方形的长2+长方形的宽圆的半径+圆的周长 =16.4+16.44 =20.5厘米【总结】考查不规则图形的周长的计算，注意计算周长是要包含组成图形的所有的线段和弧长模块二：扇形的面积 =知识精讲ABO1、 扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形如图，空白部分记作扇形AOB2、 扇形的面积设组成扇形的半径为r，圆心角为n，弧长为l，那么：例题解析【例16】 一个扇形的面积是它所在圆面积的，这个扇形的圆心角是_【难度】【答案】72【解析】3605 = 72【总结】考查扇形的

10、面积与所在的圆的面积的关系【例17】 一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60，则此扇形的面积是_平方厘米，周长是_厘米（取3.14）【难度】【答案】13.08；15.23【解析】扇形的面积为：603.1455360=13.08平方厘米 ； 此扇形的周长为：603.145180 + 52 = 15.23厘米【总结】考查扇形面积及周长的计算，注意扇形的周长还包含了两条半径的长【例18】 已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】157【解析】平方厘米【总结】考查扇形面积的计算【例19】 一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来

11、的_倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的_倍【难度】【答案】3，9【解析】【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及所在的圆的半径之间的关系【例20】 一个圆心角为60的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积（结果保留）【难度】【答案】【解析】由题意，可得：，解得：， 故此扇形所在圆的面积为：【总结】考查扇形面积的计算，注意先根据题目中的条件计算出半径的平方，再求面积【例21】 一个圆心角为45的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积（取3.14）【难度】【答案】6.28平方厘米【解析】设扇形所在圆的半径为r，则由题意可得：， 解得：厘米，故此扇形的面积

12、为：平方厘米【总结】本题一方面考查扇形的半径的计算，另一方面考查扇形面积的计算【例22】 如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积（结果保留）【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查形如“树叶”状的图形的面积的计算ABCDEF【例23】 等腰直角三角形ABC中，以直角顶点A为圆心，以高AD为半径，画一条弧，交AB、AC分别于E、F，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】0.86【解析】【总结】考查阴影部分的面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积【例24】 如图，扇形BAC的面

13、积是半圆ADB面积的倍，那么是_度ABCD【难度】【答案】60【解析】因为半圆的直径为扇形的半径，所以设半圆的半径为r， 则扇形的半径为2r，故由题意，可得： ，解得：即是60度【总结】本题要认真观察，先分析半圆的半径与扇形半径的关系，然后再进行计算【例25】 如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】1.57平方厘米【解析】由图可知：阴影部分的面积是三个扇形的面积之和， 三个扇形的半径分别为1，圆心角之和为180， 故阴影部分面积为：1803.1411360=1.57【总结】考查阴影部分的面积，本题的关键是求出三个扇形的圆心角

14、之和【例26】 如图，的三条边都是6厘米，高AH为5.2厘米，分别以A、B、C三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积（取3.14）ABCH【难度】【答案】25.32平方厘米【解析】一个小扇形的面积是：603.1466360=18.84平方厘米， 等边三角形的面积为：65.22=15.6（平方厘米）， 所以这三段弧所围成的图形的面积是： 18.84315.62=56.5231.2=25.32（平方厘米）【总结】本题主要是利用割补法将不规则图形的面积问题转化为规则图形的面积计算【例27】 如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积（取3.14）【难度】【答案

15、】48.125【解析】【总结】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积【例28】 如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是平方厘米，求图中三角形的面积【难度】【答案】18平方厘米【解析】圆的面积为：， 空白部分的扇形的面积为：， 设空白部分的扇形的圆心角为，则， 解得=，所以空白部分的三角形是等腰直角三角形， 故面积为660.5=18平方厘米【总结】本题主要是根据扇形的面积公式求出圆心角的度数，从而求出三角形的面积【例29】 有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（取3.14）【

16、难度】 【答案】175.84平方米【解析】根据图可知：大扇形的圆心角为36060=300度， 小扇形的圆心角为：18060=120度， 故总面积为：平方米【总结】本题中要注意小狗活动的范围包含了三个扇形ABCDO【例30】 已知C、D两点在以AB为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB长为10，求阴影部分的面积（结果保留）【难度】【答案】【解析】连接CD、OD、OC，则阴影部分面积为 因为C、D把半圆弧AB三等分，所以， 所以阴影部分面积=【总结】本题综合性较强，考查了一些几何的内容，教师可以选择性的讲解随堂检测【习题1】 扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形

17、的圆心角为_【难度】【答案】90【解析】3141256360= 90【总结】考查扇形面积公式的逆运用【习题2】 一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是_平方米（取3.14）【难度】【答案】113.04【解析】363.14=13.04平方米【总结】考查圆的面积的计算在实际问题中的运用【习题3】 若一扇形所在的圆心角缩小为原来的，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（ ） A扩大为原来的2倍 B扩大为原来的4倍 C是原来的 D不变【难度】【答案】A【解析】【总结】考查扇形的面积与扇形的圆心角及扇形所在的圆的半径之间的关系【习题4】 如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三

18、好学生的8名同学应该用圆心角为_的扇形来表示【难度】【答案】72【解析】840360= 72【总结】考查圆心角在实际问题中的运用【习题5】 环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积（取3.14）【难度】【答案】15.7平方厘米【解析】外圆的半径长为：18.843.142=3cm ；内圆半径长为：42=2cm ； 故环形的面积为：3.14（3322）=15.7平方厘米【总结】考查圆环的面积的计算【习题6】 两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的倍，求小圆的面积（取3.14）【难度】【答案】891平方厘米【解析】因为大圆的周长是小圆的周长的倍，故大圆与

19、小圆的面积之比为：100:81， 因为两个圆的面积之差是209平方厘米，所以小圆的面积为： 209（10081）81 = 2091981= 891平方厘米【总结】本题主要是根据大小两圆的周长比确定出面积比【习题7】 一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】【答案】188.4平方分米【解析】从上午9点到上午10点40分，分针走过的度数为：600，故分针扫过的面积为： 平方分米【总结】时针走过一小时，则分针走了360度，本题主要是确定出分针转过的度数空【习题8】 如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积【难度】【答案】4.56【解析】， 【总结】本

20、题主要考查阴影部分的面积计算【习题9】 如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R = 2r哪一个标点符号的面积最小？【难度】【答案】问号【解析】 句号的面积：；逗号的面积：； 问号的面积：【总结】本题中主要考查阴影部分的面积，注意计算方法AB22【习题10】 如图，A与B是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】1.42平方厘米【解析】两个阴影部分的面积差为大扇形的面积减去长方形的面积， 再减去小扇形的面积，即： = 1.42平方厘米【总结】本题要注意认真审题，看清楚求的是两部分的面积差，然后转化为规则图

21、形的面积的差课后作业【作业1】 下列判断中，正确的是（ ）A半径越大的扇形，面积越大B所对圆心角越大的扇形，面积越大C所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小【难度】【答案】C【解析】【总结】考查扇形面积的影响因素【作业2】 圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】141.3【解析】3.14（81-36）=141.3平方厘米【总结】考查圆的面积的计算【作业3】 一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72，这个扇形的周长是_分米（取3.14）【难度】【答案】1.628【解析】723.14518055=16.28厘米=

22、1.628分米【总结】考查扇形周长的计算，注意单位的换算【作业4】 一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下_平方厘米的纸没有用（取3.14）【难度】【答案】286【解析】3020-3.141010=286平方厘米【总结】考查长方形纸片上剪出最大圆的面积的计算【作业5】 一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108以后，这个扇形的面积是_平方厘米（取3.14）【难度】【答案】314【解析】扇形所在圆的面积是785平方厘米，故增加的面积为（10836）360785=314【总结】考查扇形的面积与所在圆的面积的计算【作业6】 某

23、大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（取3.14）【难度】【答案】191.54平方分米【解析】时针走1小时，走过的圆心角度数为30，而分针走过了360，故面积差为： 3.148080303.146060360=19154平方厘米=191.54平方分米【总结】本题考查扇形的面积在钟表问题中的运用，注意确定表针走过的度数【作业7】 如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】【答案】4:7【解析】； ， 故阴影部分面积与大半圆的面积之比是：【总

24、结】考查半圆面积的计算【作业8】 一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（，结果保留整数位）【难度】【答案】11【解析】车轮转速：120周【总结】考查圆的周长计算的简单应用【作业9】 如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？红红红红蓝蓝蓝蓝【难度】【答案】一样大【解析】设大圆R =2，则小圆r =1 蓝色部分的面积：； 红色部分的面积为： ， 所以两部分面积一样大【总结】考查不规则图形的面积，注意认真分析，转化为规则图形的计算【作业10】 如图，扇形AOB为个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积【难度】【答案】4.56平方厘米【解析】通过割补，可以将“树叶”状的阴影转化到上面两个弓形处， 故平方厘米【总结】本题主要考查利用割补法求阴影部分的面积