七年级数学春季班讲义：等腰三角形（1）含答案解析

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1、等腰三角形一内容分析等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础知识结构模块一：等腰三角形性质知识精讲等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线例题解析【例1】 等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是_【难度】【答案】【解析】由题意得，解得：【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用【例

2、2】 （1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50，则顶角的度数是_； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50，则顶角的度数是_【难度】【答案】（1）或；（2）【解析】（1）当三角形为锐角三角形时，顶角为，当三角形为钝角三角形时，顶角为； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50，所以底角为，所以顶角为【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和的运用，注意分类讨论ABCDE【例3】 已知：AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么A的度数为_【难度】【答案】【解析】AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，、都是等腰三角形，设，则，【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三

3、角形内角和定理的综合运用ABCDE【例4】 已知：在三角形ABC中，D是AC上一点，且AB=BC=CD，BE=DE，AD=AE，连接DE，则C的度数为_【难度】【答案】【解析】AB=BC=CD，BE=DE，AD=AE，、都是等腰三角形，设，则，【总结】本题考查了等腰三角形的性质及平角定理的综合运用【例5】 如果等腰三角形的两个角的度数的比为4:1，那么顶角为（）A30或120B120或20 C30或20D以上都不正确【难度】【答案】B【解析】当三个角度数比为时，顶角为；当三个角度数比为时，顶角为【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用【例6】 如图，在ABC中，已知C=9

4、0，AD=BD，如果DBC=15，那么AABCD （ ） A75 B37.5 C60D以上都不对【难度】【答案】B【解析】【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用【例7】 等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（）A4厘米B8厘米C4厘米或8厘米D不确定【难度】【答案】C【解析】当腰比底大2时，腰长为8厘米；当腰比底小2时，腰长为4厘米【总结】本题考查了等腰三角形的性质【例8】 在ABC中，AB=AC，BAC=90，那么ABC的最大外角为（）A160B140C135D145【难度】【答案】C【解析】和的外角为【总结】本题考查了等腰直角三角形的

5、性质的运用【例9】 在等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数最多有（重合的算一条）（）A6个B7个C8个D9个【难度】【答案】B【解析】两腰上的角平分线、中线、高的条数最多有6条，底边上三线合一，所以共7条【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用【例10】 如图，在ABC中，已知AB=AC，AD=DE，BAD=20，EDC=10，ABCDE求DAE的度数【难度】【答案】【解析】AD=DE， AB=AC，BAD=20，EDC=10，解得：，【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用ABCDEF【例11】 如图，在ABC中，AC=BC，CD为AB边上的中线，点E为BC边上的一点

6、，EFAB，垂足为F，试说明ACD=BFE的理由【难度】【答案】详见解析【解析】AC=BC，CD为AB边上的中线，EFAB，【总结】本题考查了等腰三角形的性质与平行线性质的综合运用【例12】 如图，AB=AC，AD=CE，1=2，3=4，试说明EAC=ACB的理由【难度】ABCDE1342【答案】详见解析【解析】AB=AC，AD=CE，1=2，3=4，【总结】本题考查了等腰三角形的性质及全等的综合运用ABCDEF【例13】 如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，D为BC上一点，ECBC，EC=BD，DF=EF，说明AFDE的理由【难度】【答案】详见解析【解析】AB=AC，BAC=90，E

7、CBC，在ABD与ACE中，DF=EF，AFDE【总结】本题考查了等腰三角形的性质与全等三角形性质的综合运用【例14】 等腰三角形的周长为30cm（1） 若腰长为xcm，则x的取值范围是_cm；（2） 若底边长为acm，则a的取值范围是_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三边关系的综合运用【例15】 如图，已知A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则FEM=_【难度】【答案】【解析】A=150，AB=BC，BC=CD=DE=EF，同理可得：【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用【例

8、16】 如图，在ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且BAM=CAN，MN=AN，则MAC的度数是_【难度】【答案】【解析】设，CANAB=BC，MN=AN，BAM=CAN，【总结】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理的综合运用A B C A B C A B C E D F E D F D F 图1 图2 图3 MN【例17】 已知RtABC中，AC=BC，C=900，D为AB边中点，EDF=900，将EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1)，易证：SDEF+SCEF=SABC，当EDF绕D点旋转到DE

9、和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明【难度】【答案】图2成立， 图3不成立【解析】如图2，过点作，AC=BC，C=900，D为AB边中点，EDF=900，SDEF+SCEF=S四边形DECF=S四边形DMCN=SABC图3不成立，关系为SDEF-SCEF=SABC【总结】本题考查了等腰三角形的性质及等面积法的综合运用，综合性较强，注意对解题方法的总结模块二：等腰三角形的判定知识精讲如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）例题解析【例1

10、8】 下列说法中，不正确的是（）A 如果三角形ABC是等腰三角形，那么B=CB 如果ABC中，B=A，那么ABC是等腰三角形C 如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形D 有两个角相等的三角形是等腰三角形【难度】【答案】A【解析】A选项，三角形ABC是等腰三角形，不能确定哪个角是顶角，故选A【总结】本题考查了等腰三角形的判定【例19】 （1）在ABC中，如果AB=AC，B=52，那么A=_；（2）在RtABC中，如果B=45，那么ABC是_三角形；（3）在ABC中，如果BCA=30，ABC=50，那么ABC是_三角形（按角分类）【难度】【答案】（1）；（2）等腰直角三角形；（3）钝

11、角【解析】（1）AB=AC，B=52，；（2）在RtABC中，B=45，ABC是等腰直角三角形；（3），ABC是钝角三角形【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用ABCDE【例20】 已知AC=BC，ACD=BCE，试说明CDE是等腰三角形的理由【难度】【答案】详见解析【解析】AC=BC， 在ACD与BCE中，（ASA）， ，CDE是等腰三角形【总结】本题考查了等腰三角形的判定理及全等三角形性质的综合运用【例21】 如图：BD平分ABC，CD平分ABC的一个外角，DEBC，ABCDEFM说明EF=BE-CF的理由【难度】【答案】详见解析【解析】BD平分ABC，CD平分ABC的一个外角，ED

12、BC，【总结】本题考查了等腰三角形的判定及性质与平行线性质的综合运用【例22】 如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F交BC于E，试说明DBE是等腰三角形【难度】【答案】详见解析【解析】BA=BC，DFAC，DBE是等腰三角形【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用ABCD12【例23】 ABC中，在（1）1=2；（2）ADBC；（3）BD=CD；这三个条件中有两个条件成立，能否得出AB=AC?证明所有的可能【难度】【答案】可以得到，详见解析【解析】（1）、（2）作为已知条件时，1=2，ADBC，；（2）、（3）作为已知条件时，ADBC，BD=CD，；（1）、（3）

13、作为已知条件时，过点分别向、作垂线交于、点，1=2，BD=CD，【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理的运用ABCDEF【例24】 如图，已知：在ABC中，AB=AC，D、E、F分别为AB、BC、CA上的一点，且BD=CE，DEF=B，说明DEF是等腰三角形的理由【难度】【答案】详见解析【解析】AB=AC，DEF=B，在DBE与ECF中，（A.S.A），DEF是等腰三角形【总结】本题考查了等腰三角形的判定及三角形外角性质的综合运用【例25】 已知三角形三个内角度数如图所示，试画一条直线MN，将这个三角形分割成两个等腰三角形【难度】【答案】如图，详见解析120402012040208040【解析

14、】【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑【例26】 （1）如图，在ABC中，已知A=36，ABC=72，CD平分ACB，交边AB于点D图中那几个是的等腰三角形?为什么?ABCD（2）在第（1）小题中，如果再作DEBC，交边AC于E，那么上图中还有哪几个三角形是等腰三角形?为什么?【难度】【答案】（1）、是等腰三角形； （2）、是等腰三角形【解析】（1）由题意易得，、是等腰三角形；（2）DEBC， 、是等腰三角形【总结】本题考查了等腰三角形的判定与平行线性质的综合运用【例27】 如图，在ABC中，BAC=90，ADBC，BE平分ABC，G为EF的中点，ABCDEFG说明AGEF的

15、理由【难度】【答案】详见解析【解析】BE平分ABC，BAC=90，ADBC，AF = AEG为EF的中点，AGEF【总结】本题考查了等腰三角形的判定定理及等角的余角相等的综合运用【例28】 如图，已知：D是ABC、ACB的平分线的交点，DEAB，交BC于点E，DFAC，交BC于点F，如果BC=12cm，求DEF的周长ABCDEF【难度】【答案】12厘米【解析】D是ABC、ACB的平分线的交点，DEAB，DFAC， ，BC=12cm，DEF的周长为12厘米【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用ABCDEC，【例29】 把一张长为8厘米，宽4厘米的长方形的纸条，像

16、如图所示的那样折叠，重合部分是BDE，求ABE的周长，并简单说明理由【难度】【答案】12厘米【解析】由翻折可得：， 厘米【总结】本题考查了翻折的性质与基本模型的综合运用，解题时注意观察【例30】 如图，在ABC中，ACB=45，ABC=60，AD、CF分别是BC、AB边上的高，且相交于点P，ABC的平分线BE分别交AD、CF于点M、N，试找出图中所有的等腰三角形，并简述理由【难度】ABCDEFPNM【答案】、是等腰三角形，理由见解析【解析】ACB=45，ABC=60，AD、CF分别是BC、AB边上的高，BE是ABC的平分线，易得：，等腰三角形有、【总结】本题考查了等腰三角形的性质及判定的综合运

17、用，等腰三角形较多，不要漏解随堂检测【习题1】 在ABC中，已知AB=3，B=52，如果AC=3，那么A=_【难度】【答案】【解析】，【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用【习题2】 等腰三角形的一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为_【难度】【答案】、或、【解析】当100为底角的外角时，另两角为、； 当100为顶角的外角时，另两角为、【总结】本题考查了等腰三角形的性质【习题3】 如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，且BD=BE，A=84，ABCDE则DEC=_【难度】【答案】【解析】AB=AC，BD平分ABC，A=84，BD=BE，【总结】本

18、题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用【习题4】 如图，ABC中AB=AC，CD平分BCA，CEAB于点E，DCE=51，ABCDE则ACB=_【难度】【答案】【解析】CEAB，DCE=51，AB=AC，CD平分BCA，【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理的运用【习题5】 如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）ABCD36ABC1089045ABBBCCCAA【难度】【答案】B【解析】A选项，作的角平分线即可；C选项，作的角平分线即可；D选项， 作交于点【总结】本题考查了等腰三角形的分割，注意从多个角度考虑【习题6】 （

19、1）如果等腰三角形中有一个角为120，另外两个角的度数为_；（2）如果等腰三角形中有一个角为30，另外两个角的度数为_【难度】 【答案】（1）、；（2）、或、【解析】（1）只能为等腰三角形的顶角，所以另外两个角的度数为、；（2）当为等腰三角形的底角时，另外两个角的度数为、；当为等腰三角形的顶角时，另外两个角的度数为、【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分类讨论【习题7】 （1）等腰三角形的两边长分别为6厘米和12厘米，它的周长为_；（2）等腰三角形的两边长分别为8厘米和12厘米，它的周长为_【难度】【答案】（1）30厘米；（2）28厘米或32厘米【解析】（1）由三角形的存在性可知6厘米为

20、底，12厘米为腰，所以周长为30厘米；（2）当8厘米为腰时，周长为28厘米；当12厘米为腰时，周长为32厘米【总结】本题考查了三边关系的运用，注意考虑三角形的存在性问题ABCDE【习题8】 如图，CE平分ACB，且CEBD，DAB=DBA，又知AC=18，CBD的周长为28，求BC的长【难度】【答案】10【解析】CE平分ACB， 且CEBD，BCD是等腰三角形（等腰三角形的三线合一）即DAB=DBA， CBD的周长为28，即，AC=18，【总结】本题考查了等腰三角形的性质的运用ABCDE【习题9】 如图，已知：ABC中C的平分线CD交AB于点D，DEBC于点E，若DE=3，AE=4，求AC的长

21、【难度】【答案】7【解析】是的角平分线，DEBC，DE=3，AE=4，【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用【习题10】 如图，已知：在ABC中，AB=AC，BAC=90，ABD=ACE，CE=BDABCDEFG说明：（1）ADE也是等腰直角三角形；（2）BDCE的理由【难度】【答案】详见解析【解析】（1）在ABD与ACE中， ， BAC=90，ADE也是等腰直角三角形；（2）， ， BDCE【总结】本题考查了全等三角形判定及等腰三角形的性质和判定的综合运用课后作业【作业1】 等腰三角形周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（ ）A 7cm B3

22、 cm C7 cm或3 cm D5 cm【难度】【答案】B【解析】当3 cm为腰时，三角形不存在，当3 cm为底边时，腰为5 cm，三角形存在【总结】本题考查了等腰三角形的性质，注意分类讨论和考虑三角形的存在性问题【作业2】 已知等腰三角形的周长为24 cm，其中一边长为7 cm，则与它相邻的另一边长（ ）A 7 cm或10 cm B8.5 cm或7 cm C7 cm或10 cm或8.5 cmD10 cm或8.5 cm.【难度】【答案】C【解析】当7 cm为腰时，底边为10 cm；当7 cm为底时，腰为8.5 cm，所以另一边长为7 cm或10 cm或8.5 cm.【总结】本题考查了等腰三角形

23、的性质，注意分类讨论和考虑三角形的存在性问题【作业3】 在ABC中，AB=AC若A=50，则B= ，C=_ ；若B =45，则A = ，C= ；若C =60，则A = ，B= ；若A =B，则A = ，C= 【难度】【答案】，；，；，；，【解析】等腰三角形底角相等，AB=AC，又，代入 数据即可【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用【作业4】 等腰三角形中，AB的长是BC长2倍，三角形的周长是40，求AB的长【难度】【答案】16【解析】设，则，当为腰时，解得：，； 当为底时，三角形不存在【总结】本题考查了等腰三角形的周长的确定，注意分类讨论【作业5】 已知下列语句：有一

24、个角为300，腰长相等的两个等腰三角形全等有一个角为1100的腰长相等的两个等腰三角形全等腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等底角和底边对应相等的两个等腰三角形全等一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等底和一腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等其中不能判断两个等腰三角形全等的方法有（ ）A 0个 B1个 C2个 D3个【难度】【答案】B【解析】可以作为底角也可以作为顶角，所以不全等，其余正确【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定，当给出的角是锐角时，注意分 类讨论ABCDE【作业6】 如图，ABC中，A=36，AB=AC，BC=BD=BE，

25、则图中等腰三角形共有_个【难度】【答案】5【解析】，是等腰三角形【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和公式的综合运用ABCDE【作业7】 如图，在ABC中，AB=AC=CE，D是BC上一点，ABC =40，E是AC上一点，AE=DE求EDC的度数【难度】【答案】【解析】AB=AC，ABC =40，C =40AC=CE，EAC=70AE=DE，EAD =EDA =70，EDC=110.【总结】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和公式的综合运用【作业8】 如图，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，MN经过点O，ABCOMN且MNBC，若AB=12，AC=18，求AMN的周

26、长【难度】【答案】30【解析】BO平分ABC，CO平分ACB，MNBC，AB=12，AC=18，AMN的周长为30【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用【作业9】 如图，ABC中，ACB=90，CDAB于点D，ABC的平分线交CD于点E，ABCDEF交AC于点F，问CEF是等腰三角形吗?请说明理由【难度】【答案】是，详见解析【解析】是ABC的角平分线，ACB=90，CDAB于点D，CEF是等腰三角形【总结】本题考查了等腰三角形的判定及等角的余角相等的综合运用【作业10】 如图，在ABC中， AB=AC，E在BA延长线上，AE=AF，求证：EFBCABCEFH【难度】【答案】详见解析【解析】作于点，AB=AC，AE=AF，EFBC【总结】本题考查了等腰三角形的性质与平行线判定定理的综合运用【作业11】 如图，已知：在ABC中，ABAC，BD是ABC的平分线且与ACB的外角平分线交于点D，作EDBC，问线段EF、BE、CF之间有怎样的数量关系?并说明理由ABCDEFGM【难度】【答案】【解析】BD是ABC的平分线且与ACB的外角平分线交于点D，EDBC，【总结】本题主要考查了“平行与角平分线可推出等腰三角形”的基本模型的运用