七年级数学春季班讲义：全等三角形的概念和性质及判定（含答案解析）

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1、全等三角形的概念性质和判定内容分析本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单知识结构模块一：全等三角形的概念和性质知识精讲全等形、全等三角形及其相关的概念（1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.ABCDEF（2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边如下图所示：已知：ABCDFE，A与D，B与F是对应顶点，

2、则：(C与E是对应顶点)对应边有：AB与DF，AC与DE，BC与FE对应角有：全等三角形的数学语言：三角形ABC与三角形ABC全等，记作ABCABC，读作“三角形ABC全等于三角形ABC”全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等全等三角形中应注意的问题：（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；（2）符号“”表示的双重含义：“”表示形状相同；“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；画三角形：确定三角形形状、

3、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.例题解析【例1】 下列说法正确的是（）A全等三角形是指形状相同的三角形 B全等三角形是指面积相等的三角形C全等三角形的周长和面积都相等 D所有的等边三角形都全等【难度】【答案】C【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高 的三角形；D错，大小不一定相等【总结】本题主要考查全等三角形的概念【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（） A形状相同B周长相等C面积相等D全等【难度】【答案】C【解析】等底同高，所以面积相等【总结】本题主要考查同底等高的

4、两个三角形的面积相等的运用【例3】 如图所示，ABCCDA，且ABCD，则下列结论错误的是（） A12BACCA CBD DACBCABCD【难度】【答案】D【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等 【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用【例4】 下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（ ）A已知两边和夹角 B已知两角和夹边C已知两边和其中一边的对角 D已知三边【难度】【答案】C【解析】C选项是边边角，不能作为全等的判定条件【总结】考查全等三角形的判定定理的运用【例5】 练习画出下列条件的三角形：（1） 画使；（2） 画使；（3） 画使；（4） 画使【难度】【答案】略【解析】略【例6】

5、下列说法：形状相同的两个图形是全等形；面积相等的两个三角形是全等三角形；全等三角形的周长相等，面积相等；在ABC和DEF中，若A=D，B=E，C=F，AB=DE，BC=EF，AC=DF，则两个三角形的关系，可记作ABCDEF，其中说法正确的是（）A1个B2个C3个D4个【难度】【答案】B【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对； （4）对，故选B【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解【例7】 下列说法中错误的是（）A全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角B全等三角形的公共边也是对应边C全等三角形的公共顶点是对应顶点D全等三角形中相等的边所

6、对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】【答案】C【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例【例8】 如图所示，分别沿着边翻折形成的，若123=2853，则的度数为（ ）ABCDEPA80 B100C60D45【难度】【答案】A【解析】设，则，解得： ， 【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用【例9】 如图，在矩形ABCD中，AE平分DAB交DC于点E，连接BE，过E作EFBE交AD于F.（1）DEF和CBE相等吗?请说明理

7、由；（2）请找出图中与ED相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.【难度】【答案】（1）相等；（2）【解析】（1）， （同角的余角相等） （2）平分， ， ， 【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再 利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题【例10】 如图所示，ABCDEF求：（1）的度数；（2）的长【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）， ； （2）， 【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用【例11】 如图，在ABC中，A：B：ACB=2:5:11，若将ABC绕点C逆时针旋ABCAB转，试旋转前后的

8、ABC中的顶点B在原三角形的边AC的延长线上，求BCA的度数【难度】【答案】【解析】设， 则， 解得：， ， ， 【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题【例12】 如图，已知ABCADE，BC的延长线交AD于点F，交AE的延长线于G，ACB=1050，CAD=100，ADE=250，求DFB和AGB的度数ABCDEFG【难度】【答案】DFB =，AGB =【解析】证明：， ， ， 【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合运用ABCDEA【例13】 如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时.（1）写出图中一对全等的三

9、角形，并写出它们的所有对应角；（2）设AED的度数为x，ADE的度数为y，那么1，2的度数分别是多少?（用含有x或y的代数式表示）（3）A与1+2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律【难度】【答案】（1）， ，； （2），； （3）【解析】（3）证明：， 【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和定理的运用【例14】 如图（1）所示，把ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到ECD的位置；如图（2）所示，以BC为轴把ABC翻折180，可以变到DBC的位置；如图（3）所示，以点A为中心，把ABC旋转180，可以变到AED的位置，像这样，只改变图

10、形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），ABCDEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角【难度】【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换【解析】，【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象模块二：全等三角形的判定知识精讲本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应相等（SAS）”，“两角及夹边对应相等（ASA）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS）”

11、“三边对应相等（SSS）”的两个三角形全等例题解析ABCDE【例15】 如图，已知B=D，1=2，AC=AE，说明ABCADE的理由【难度】【答案】见解析【解析】证明：， ，即 在和中， ， ABCADE（A.A.S）【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握【例16】 如图，已知C=E，BE=CD，说明ABE与ADC全等的理由，AB与ADABCDE F相等吗?为什么?【难度】【答案】见解析【解析】证明：在和中， ，（A.A.S）， 【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用ABCDE【例17】 如图，已知AD=BC，AE=BE说明AC=BD，C=D的理由【难度】【答案】见解析【解析

12、】证明：，在和中，（S.A.S），（全等三角形的对应边相等，对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用【例18】 如图，已知AB=CD，AD=BC，说明A=C的理由ABCD【难度】【答案】见解析【解析】证明：连接 在和中， ， （全等三角形的对应角相等）【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用【例19】 如图，已知BD是ABC的中线，B、D、E、F在一条直线上，且AECF，ABCDEF说明ADE与CDF全等的理由【难度】【答案】见解析【解析】， BD是ABC的中线， 在和中， （A.A.S）【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握ABCDEFO【例20】 如图

13、，已知ACBD，AC=BD，（1）说明AOC与BOD全等的理由；（2）说明EO=FO的理由【难度】【答案】见解析【解析】证明：（1）， 在和中， （A.A.S）； （2）， 在和中， ， 【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用ABCDEO【例21】 如图，CDAB于D，BEAC于E，OD=OE，说明AB=AC的理由【难度】【答案】见解析【解析】， 在和中， ， ， 在和中， （A.S.A），（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等【例22】 如图，已知ADBC，BFDE，AE=CFABCDEF（1） ADE与CBF全等吗，为什

14、么?（2） 说明AB=CD的理由；（3） 图中有哪几对全等三角形?【难度】【答案】见解析【解析】证明：（1）全等， ， ， 在和中， ， ； （2）， 在和中 ， （全等三角形的对应边相等）； （3）；【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用【例23】 如图，已知AB=CD，BM=CM，AC=BD，说明AM=DM的理由ABCDM【难度】【答案】见解析【解析】在和中， ， ，在和中， 【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明【例24】 如图，1=2，AC=BD，E、A、B、F在同一条直线上，ABCDEF说明：CAD=DBC的理由【难度】【答案】见解析

15、【解析】， 在和中， ，又，【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用【例25】 如图所示，AB=AC，CE=BE，连结AE并延长交BC于D，说明ADBC的理ABCDE由【难度】【答案】见解析【解析】证明：在和中，在和中， ， ， 【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直【例26】 如图所示，BE、CD相交于O，AB=AC，AD=AE，说明OD=OE的理由ABCDEO【难度】【答案】见解析【解析】证明：在和中， ， （全等三角形的对应角相等），在和中， （全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用【例2

16、7】 如图，已知ABBD，DEBD，AB=CD，BC=DE试说明：ACCE，若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，结论AC1C2E还成立吗?请说明理由【难度】ABCDEMABC2DEC1ABC1DEMABC2DEMC1MABC1DEC2【答案】见解析【解析】证明：（1）， 在和中， ， ， 即（2）， ， 【总结】本题主要考察全等三角形的判定及垂直的综合运用，说理时注意分析【例28】 如图，线段BE上有一点C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长

17、相等除外)，并说明你的理由；（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，试判断CMN的形状ABCDEQPABCDEMNPQ【难度】【答案】（1），（2）等边三角形【解析】（1）等边三角形ABC和 等边三角形DCE， ， =60 ，即在和中， （S.A.S）， （全等三角形的对应边相等）； （2） ， M、N分别为BD、AE的中点， ， 在和中， （S.A.S）， CMN是等边三角形【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意在复杂的图形中准确的找出全等三角形及其对应条件【例29】 如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD（1）观察图形，猜想A

18、F与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由【难度】【答案】（1），；（2）成立ABCDEF【解析】证明：（1）ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，在和中， ，（2）成立，证明过程同（1）【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意根据旋转图形的不变性进行解题随堂检测【习题1】 下列命题中正确的是 （ ）A全等三角形的高相等B全等三角形的中线相等C全等三角形

19、的角平分线相等D全等三角形对应角的平分线相等【难度】【答案】D【解析】A错，全等三角形对应边上的高相等；B错，全等三角形对应边上的中线相等； C错，全等三角形对应角的平分线相等；D对【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解【习题2】 如图，ABDCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是（ ）ABCDAABD和CDB的面积相等 BABD和CDB的周长相等CA+ABD=C+CBD DADBC，且AD=BC【难度】【答案】C【解析】C错，正确答案是A+ABD=C+CDB ，A，B，D均对【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解【习题3】 如图，折叠长方形ABCD，使顶点D与BC

20、边上的N点重合，如果AD=7厘ABCDMN米，DM=5厘米，DAM=390，则AN=_厘米，NM=_厘米，NAB=_【难度】【答案】7；5；12【解析】由翻折的性质，可得：， 则厘米，厘米， ， 故【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用【习题4】 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、ABCDPO于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）ASAS BASA CAAS DSSS【难度】【答案】D【解析】，【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握【习题5】 如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，（1

21、）若AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，根据_；（2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，根据_；（3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，根据_；（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF则ACEBDF，根据_ABCEDDF【难度】【答案】（1）A.A.S；（2）A.S.A；（3）S.A.S；（4）S.S.S【解析】， 则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握【习题6】 如图，已知ABCADE, CAD=150，DFB=900，B=250ABCDEFG求E和DGB的度数【难度】【答案】，【解析】，（垂直的意义），（互余的意

22、义）（邻补角的意义），（互余的意义）【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌握并应用ABCDEFG【习题7】 如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BEAC、DFAC，且ABCD，AB=CD试说明：BD平分EF【难度】【答案】见解析【解析】， 在和中， ， ， ，平分【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用 【习题8】 如图所示，ABC绕顶点A顺时针旋转，若B40，C30，（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的ABC的顶点C与原三角形的顶点B和A在同一直线上?（原ABC是指开始位置）（2）再继续旋转多少度时，点C、A、C在

23、同一直线上?【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）； （2）【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性【习题9】 已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交ACABCDEFG于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD试说明：AGEDAC【难度】【答案】见解析【解析】是等边三角形，（等边三角形的性质）， ，又，即，在和中， 【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用【习题10】 在O的两边上分别取点A、D和B、C，连接AC、BD相交于P（1）若AB，PAPB，试说明OAOB的理由；ABCDPOABCDPO（2）

24、若OAOB，PAPB，试说明PCPD的理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）在和中， （全等三角形对应边相等）， （等式性质）在和中， ，（全等三角形的对应边相等）； （2）连接OP在和中， ，AP = BP（全等三角形的对应角相等、对应边相等）在和中， （全等三角形的对应边相等）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用 【习题11】 如图，ABC、ADE都是等腰直角三角形，绕着顶点A旋转后位置如下：（1） 当C、A、D在同一直线上，说明CE与BD有何关系?为什么?（2） 当ADE再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE与BD又有何关系【难度】【答

25、案】（1），；（2），ABCDE（1）（2）ABDCE（3）（4）ABCEDABCDE【解析】（1）证明：ABC、ADE都是等腰直角三角形，（等边三角形的性质）在和中，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）， ，（2），证明过程同上【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件课后作业ABCD【作业1】 如图，ABCABD，C和D是对应顶点，若AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，则AD的长为_cm【难度】【答案】5【解析】全等三角形的对应边相等，【总结】本题主要考查全等三角形的性质【作业2】 如图，给出下列四组条件：ABCDEF；其中

26、，能使的条件共有 （ ）A1组B2组C3组D4组【难度】【答案】C【解析】（1）S.S.S；（2）S.A.S；（3）A.S.A；（4）S.S.A不符合，所以正确答案 是（1）、（2）、（3），故选C【总结】考察学生对全等三角形的判定定理的掌握【作业3】 下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）A已知两边和夹角 B已知两角和夹边C已知两边和其中一边的对角 D已知三边【难度】【答案】C【解析】边边角不能作为全等三角形的判定条件【作业4】 已知ABCDEF，若ABC的周长为32，AB=8，BC=12，DE=_，DF=_，EF= _【难度】【答案】8；12；12【解析】ABCDEF， ，【总结】本题

27、主要考察全等三角形的性质的运用ABCDEF【作业5】 如图ACEDBF，AE=DF，CE=BF，AD=8，BC=2（1）求AC的长度；（2）说明CEBF的理由【难度】【答案】（1）5；（2）见解析【解析】（1）ACEDBF，（全等三角形对应边相等）（等式性质），即， ；（2）ACEDBF（全等三角形的对应角相等）（内错角相等，两直线平行）【总结】考察学生对全等三角形的性质的掌握及运用ABCDE【作业6】 如图，已知ABCAED，AE=AB，AD=AC，D-E=200，BAC=600，求C的度数【难度】【答案】【解析】设，ABCAED， ， 【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解和运用，注意利

28、用设未知数解题【作业7】 如图，DAC和EBC均是等边三角形，点C在线段AB上，AE、BD分别与CD、CE交于点ABCDEMNM、N，有如下结论ACEDCB；CM=CN；AC=DN其中正确的结论是_，证明正确的结论【难度】【答案】和正确【解析】DAC和EBC均是等边三角形， ， 在和中， ；（2）， （全等三角形的对应角相等）， 在和中，（A.A.S）（全等三角形的对应边相等）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用 ABCDEF G【作业8】 如图，ADAB，ACAE，且ADAB，ACAE试说明：DCBE，DCBE【难度】【答案】见解析【解析】 ADAB，ACAE，（垂直的意义）

29、（等式性质）在和中，（全等三角形的对应角相等，对应边相等） 设BE与DC交于点F， ， （垂直的意义）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定及三角形内角和定理的综合运用，注意归纳总结证明垂直的方法 【作业9】 如图，已知AE=CF，DAF=BCE，AD=CB （1）问ADF与CBE全等吗?请说明理由；（2）如果将BEC沿CA边方向平行移动，可有图中3幅图，如上面的条件不变， ABCDEFABCDEFABCDEFC（A）BD结论仍成立吗?请选择一幅图说明理由【难度】【答案】（1）全等； （2）成立，全等【解析】（1），即（等式性质）在和中， ；（2）成立，证明过如（1）【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和运用 【作业10】 如图，以ABC的边AB、AC为边向外作等边ABD和等边ACE，BE与CD相交于点F（1）请说明ABEADC的理由；（2）求1的度数【难度】【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：在等边ABD和等边ACE中， 在和中， ；（2）， （全等三角形对应角相等）， 又【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，综合性较强，注意利用外角进行适当的转化，把未知的角度转化为和题目有关的已知角，从而进行解题