七年级数学春季班讲义：全等三角形的综合（含答案解析）

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1、全等三角形的综合内容分析本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大知识结构模块一：全等三角形判定的综合知识精讲 全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题例题解析ABCDE【例1】 已知：AEED，BDAB，试说明：CACD【难度】【答案】见解析【解析】在ABE与DBE中， ， ， ， 在ACE与DCE中， ，（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用【例2】 如图，已

2、知ABDC，ACDB，BECE，试说明：AEDEABECD【难度】【答案】见解析【解析】在ABC和DCB中， ABCDCB（S.S.S），ABC=DCB在ABE和DCE中， ABEDCE（S.A.S），AE=DE（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用ABCDEFO【例3】 已知：ABCD，OEOF，试说明：ABCD【难度】【答案】见解析【解析】，（全等三角形的对应边相等）【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用【例4】 如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BEAC、ABCDEFGDFAC，且AB=CD，ABCD

3、试说明：BD平分EF【难度】【答案】见解析【解析】ABCD，A=C在AGB和CGD中，AGBCGD(AAS)， BG=DGBEAC，DFAC， BEG=DFG=90在BGE和DGF中，BGEDGF(A.A.S)， GE=GF， 即BD平分EF【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用ABCDEF【例5】 如图，已知AD=AE，AB=AC试说明：BF=FC【难度】【答案】见解析【解析】， ， ， 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用【例6】 如图，在ABC中，AC=BC，C90，D是斜边上AB上任一点，ABCDEFGHAECD于E，BFCD交CD的延长线于F，C

4、HAB于H点，交AE于G试说明：BDCG【难度】【答案】见解析【解析】 ，【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用【例7】 如图1，ABD和AEC中，AB=AD=BD，AE=EC=AC，连接BE、CD（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是_；（2）观察图2，当ABD和AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变；（3）观察图3和图4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是_，在图4中证明你的猜想；（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB1与EE1的关系是_；它们分别在哪两个全等三角形_；请在图6中标出较小的正六边形AB1

5、C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三角形?ABCDE图1ABCDE图2ABCDEFGABCDEFG图4图3ABCDEB1E1ABCDEF图6图5【难度】【答案】（1）；（2）不变；（3），证明见解析；（4），连接FF1，可证【解析】（3）如图4， 在ADE和CDG中， 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用【例8】 已知ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，点D为AB的中点 （1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线 段CA上由点C向点A运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与C

6、QP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等?（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时ABCDPQ出发，都逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？【难度】【答案】见解析【解析】（1）全等，理由如下： 在BPD和CQP中， （2）， ， 解得： 此时点P的运动路程为24厘米 因为， 所以 即【总结】本题综合性加强，主要考查了动点与全等三角形判定定理和性质定理的结合，解题时注意分析动点的运动轨迹模块二：添加辅助线构造全等三角形知识精讲1、 倍长中线法；2、 添加

7、平行线构造全等三角形；3、 截长补短构造全等的三角形；4、 图形的运动构造全等三角形例题解析【例9】 已知三角形的两边分别为5和7，求第三边上的中线长x的取值范围【难度】【答案】【解析】AD是BC边上中线， BD=CD在BDE与CDA中， ， 在中， ，【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线及三角形三边关系的综合应用【例10】 在ABC中，AD是BC边上的中线，AEEF，试说明：BFACABCDEFG【难度】【答案】见解析【解析】AD是BC边上中线， BD=CD在BDG与CDA中， ， ，【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解【例11】

8、 如图所示，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF试说明：AE=EF【难度】【答案】见解析【解析】AD是BC边上中线， BD=CD【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解【例12】 已知：如图所示，ABC中，D为BC上一点，AB=AC， ED=DF，试说明：BE=CF【难度】【答案】见解析【解析】，则 在EMD与FCD中， 【总结】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用【例13】 ABC中，AB=AC，E为AC延长线交于一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G试说明：GD=GE【难度】【答案】

9、见解析【解析】， 在DGF与EGC中， 【总结】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用【例14】 己知，ABC中，AB=AC，CDAB，垂足为D，P是射线BC上任一点，PEAB，PFAC垂足分别为E、F，试说明PE、PF与CD的关系FEDCABPFEDCABP【难度】【答案】当点P在线段BC上时，； 当点P在BC的延长线上时，【解析】（1）当点P在线段BC上时，连接AP， ， ；（2）当点P在BC的延长线上时，连接AP， ， 【总结】本题主要考查了利用三角形的面积关系说明线段间的关系【例15】 已知，如图在四边形ABCD中，BD平分ABC，BCAB，A+C=180试说明：

10、AD=CD【难度】【答案】见解析【解析】， ， 则， ， ， 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加【例16】 已知，如图，ABC中，AB=AC，BAC=90，D是AC的中点，AFBD于E，交BC于F，连结DF试说明：ADB=CDF【难度】【答案】见解析【解析】，在BAM与ACF中， 在AMD与CFD中， 【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用【例17】 如图，BCAD，EA、EB分别平分DAB、CBA，CD过点E，试说明：ABAD+BC【难度】【答案】见解析【解析】，【总结】本题主要考查截长补短辅助线的运用ABCD【例18】

11、 如图，在中，平分试说明: 【难度】E【答案】见解析【解析】，连接DE ， 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质定理及三角形内角和定理的应用【例19】 如图，已知中，是的角平分线，试说明：【难度】【答案】见解析【解析】 在AMD与CFD中，【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用【例20】 在四边形ABCD中，AC平分DAB，若ABAD，DC=BCFABCD试说明：【难度】【答案】见解析【解析】 ，【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质【例21】 如图，在ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连ABCDEF

12、H接CD和CE，试说明：CD=2CE【难度】【答案】见解析【解析】延长CE到H，使EH=CE，连接BH E是AB的中点， AE = BE 在AEC与BEH中， ， AB=AC， ， 在CBD与CBH中， ， 【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线与全等三角形的判定的综合运用【例22】 已知：正方形ABCD中，BAC的平分线交BC于E，试说明：AB+BE=AC【难度】【答案】见解析【解析】，则 ， ， ， 【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用【例23】 如图：在ABC中，ABC=2C，ADBC，延长AB到E，使BD=BE，延ABCDEF长ED到F，交AC于F，说明A

13、F=DF=CF的理由【难度】【答案】见解析【解析】， ， 【总结】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质运用，教师可选择性讲解【例24】 已知AD为ABC的角平分线，ABAC，试说明：ABACBDDC【难度】【答案】见解析【解析】 ， ， 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的综合应用【例25】 已知，如图1正方形ABCD中，E是BC中点，EFAE交DCE外角的平分线于F（1）试说明：AE=EF（2）如图2，如当E是BC上任意一点，而其它条件不变时，AE=EF是否仍然成立，试加以分析说明ABCDEFGABCDEFG图1图2HH【难度】【答案】见解析【解析】（1） ，

14、 ， ， ；（2）成立， 【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用【例26】 如图，点D、E三等分ABC的BC边试说明：AB+ACAD+AE【难度】【答案】见解析【解析】， ， 即 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用，注意辅助线的添加ABCDEMNP【例27】 已知：如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE试说明：AB+ACAD+AE【难度】【答案】见解析【解析】， 在AEM与NDM中， ， 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用ABCDEF【例28】 如图，在ABC中，AB=AC，D是CB延长线的一

15、点，且D=60，E是AD上一点，DE=DB试说明：AE=BE+BC【难度】【答案】见解析【解析】在ABD与ACF中，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意对学生进行适当的引导随堂检测ABCDP【习题1】 如图ABC和DBC中，ABP=DBP，ACP=DCP，P是BC上任意一点，试说明：PA=PD【难度】【答案】见解析【解析】，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用【习题2】 已知，ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_【难度】【答案】【解析】 在ABD与ECD中，即【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质

16、及三角形三边关系的应用ABCDEFG【习题3】 从正方形ABCD的顶点A作EAF=45，交DC于F，BC于E，试说明：DF+BE=EF【难度】【答案】见解析【解析】 ，即【总结】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的运用，利用旋转作辅助线构造全等是解题的关键【习题4】 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC的长 G【难度】【答案】2【解析】，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质的综合运用，教师在讲解时注意针对性的引导【习题5】 如图，ABC中，ABAC，AD是中线，试说明：DACAC，AD是BAC的平分线，P是AD上任意一点，ABCDPE试

17、说明：AB-ACPB-PC【难度】【答案】见解析【解析】， 则，【总结】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的综合应用【习题7】 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，试说明：BAD=CADMABCDEFG【难度】【答案】见解析【解析】，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合运用【习题8】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE试说明：BE+DF=AEABCDEFG【难度】【答案】见解析【解析】，【总结】本题主要考查了在正方形背景下的辅助线的添加及全等三角形的综

18、合运用【习题9】 如图所示，ABC是边长为1的正三角形， BDC= 120，BD=CD，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB，AC上，求AMN的周长ABCDMNE【难度】【答案】2【解析】， ，【习题10】 如图，已知梯形ABCD中，AB=CD=10厘米，BC=8厘米，B=C，点E为AB的中点点P在线段BC上由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D点运动（1） 若点P与Q都以2厘米/秒的速度运动，经过15秒后，BPE与CQP是否全等?请说明理由；（2） 若点P的速度为3厘米/秒，当点Q的运动速度为多少时，能够使PBE与ABCDEPQCQP全等?【难度】【答案】（1）全等；（

19、2）或【解析】（1），则 ，；（2），由（1）可知，综上点Q的运动速度为或【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论，综合性较强课后作业【作业1】 已知：如图，ODAD，OHAE，DE交GH于O若1=2，AGODEH 12试说明：OG=OE【难度】【答案】见解析【解析】【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用【作业2】 如图，在ABC中，AD为BC边上的中线试说明：AD (AB+AC)ABCDE【难度】【答案】见解析【解析】延长到点，使，连接，为边上的中线， ，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系的综合运用【作业3】 已知：AB/ED，E

20、AB=BDE，AF=CD，EF=BC，试说明：F=C【难度】【答案】见解析【解析】【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用【作业4】 ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，试说明：C=2B【难度】ABCDE【答案】见解析【解析】 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及角平分线的性质的综合运用【作业5】 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且BAE=CDEABCDEF试说明：AB=CD【难度】【答案】见解析【解析】，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用【作业6】 如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上ABCDE

21、FGDE=CD，EF=AC试说明：EFAB【难度】【答案】见解析【解析】，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判定定理的综合运用，注意辅助线的添加【作业7】 在直角三角形ABC中，BAC=90，AB=AC，BD平分ABC，CE垂直于ABCDEFBD，试说明BD=2CE【难度】【答案】见解析【解析】， ，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用【作业8】 已知：点C为线段AB上一点，ACM、CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O（1） 试说明：AN=BM； （2）求AOB的度数；（3）若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，试说明：PQAB【难度】【答案】

22、（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1）ABCPQOMN （2）（3）【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质的综合运用，解题时注意观察角度间的关系【作业9】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，ABCDEF试说明：AD平分CDE【难度】【答案】见解析【解析】在ABC与AEF中，在ADC与ADF中，【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加【作业10】 如图点M是ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），其中ABNDEMAB=AD=BD，作DMN=60，射线MN与DBA外角的平分线交于点N

23、，DM与MN有怎样的数量关系?F【难度】【答案】【解析】在DFM与MBN中，【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等是解题的关键【作业11】 已知，如图1所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点（1）试说明：BE=CD；AN=AM；（2）在图1的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图2所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立ABCDENM图1ABCDEMN图2【难度】【答案】（1）见解析；（2）成立【解析】， 在ABE与ACD中， ，；，在ACN与ABM中，（2）成立，证明过程如（1）【总结】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定和性质的综合运用，综合性较强