江苏省扬州市2022-2023学年高一下期末数学试题（B）含答案解析

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1、江苏省扬州市2022-2023学年高一下期末数学试题(B)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应点位于（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ）.A. B. C. D. 3. 已知，则（ ）.A. B. C. D. 4. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ）.A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.825. 已知非零向量与的夹

2、角为，则（ ）.A. 0B. C. D. 6. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）.A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则7. 抛掷两枚质地均匀硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）.A. A与B对立B. A与B互斥C. D. A与B相互独立8. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（ ）. A. B. C

3、. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 如图，在平行四边形中，分别是边上两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）. A. B. C. D. 10. 已知函数，下列选项中正确有（ ）.A. 的最大值为B. 的最小正周期是C. 在区间上单调递增D. 在区间上有且仅有2个零点11. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；

4、乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（ ）.A. B. C D. 12. 在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（ ）.A. B. C. D. 的面积最小值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数（为虚数单位），则=_14. 已知非零向量与的夹角为45，向量在向量上投影向量为，则_.15. 求值：_16. 已知正四棱柱中，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_.四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.（1）若，求实数的值；（2）若，求

5、实数的值.18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，. （1）求证：/平面EAC；（2）求三棱锥的体积.19. 已知函数，（1）求的最大值；（2）证明：函数有零点.20. 某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，并绘制如图所示的频率分布直方图. （1）求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平）（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.

6、再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率.21. 如图，在三棱锥中，平面平面，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.22. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围.江苏省扬州市2022-2023学年高一下期末数学试题(B)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面上所对应的点位于（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求复数，再结合复数的几何意义分析判断.【详解】因

7、为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理代入求解即可.【详解】由正弦定理可得：，所以，则，所以.故选：B.3. 已知，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为，所以，故选：A4. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为（ ）.A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82【答案】B

8、【解析】【分析】由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数【详解】因为10个样本数据是从小到大排列的，且，所以第75百分位数是第8个数2.80故选：B5. 已知非零向量与的夹角为，则（ ）.A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据夹角公式计算可得.【详解】因为非零向量与的夹角为，所以，又，所以.故选：C6. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）.A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可.【详解】对于选项A

9、，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，所以，则有，所以选项A正确；对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；对于选项C，当，时，与可以相交，所以选项C错误；对于选项D，若，时，有或与异面，所以选项D错误.故选：A.7. 抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（ ）.A. A与B对立B. A与B互斥C. D. A与B相互独立【答案】D【解析】【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果.【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正）

10、，（反，反），则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反），显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生，所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误.又因为，而，所以，故C错误，D正确.故选：D8. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理即可求出.【详解】

11、由题意得，在直角中，所以，在直角，所以，即，在中，由余弦定理得，即，因为，所以解得.即大运塔的高为.故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）. A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，正

12、确；对选项D：，错误.故选：AC10. 已知函数，下列选项中正确的有（ ）.A. 的最大值为B. 的最小正周期是C. 在区间上单调递增D. 在区间上有且仅有2个零点【答案】AB【解析】【分析】先化简，即可由正弦函数的取值范围判断选项A，由正弦函数的周期公式判断选项B，由正弦函数的单调性判断选项C，解三角方程判断选项D.【详解】由题意得，则的最大值为，故选项A正确；的最小正周期是，故选项B正确；由解得，所以当时，单调递增，同理，当时，单调递减，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故选项C错误；令，解得或或，故选项D错误.故选：AB11. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿

13、命（单位：年）的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有（ ）.A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得， ，则，故选：BD12. 在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（ ）.A. B. C. D. 的面积最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用等面积法得到，即可判断A，再利用基本不等式求出最小值，即可判断D，利用余弦

14、定理判断B、C.【详解】依题意，即，所以，所以，故A正确；，所以，当且仅当时取等号，所以或（舍去），则，当且仅当时取等号，故D正确；又，即，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正确；由余弦定理，即，所以，由于由已知条件无法得知的值，故无法确定的值，故B错误.故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数（为虚数单位），则=_【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.14. 已知非零向量与的夹角为45，向量在向量上投影向量为

15、，则_.【答案】2【解析】【分析】根据投影向量的概念分析运算.【详解】由题意可知：.故答案为：2.15. 求值：_【答案】【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：故答案为：16. 已知正四棱柱中，直线与平面所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】在正四棱柱中，连接，则为直线与平面所成角，结合题中的条件可得侧棱长，进一步得到外接球的半径，得到答案.【详解】连接，在正四棱柱中，平面，所以为直线与平面所成角，因为在等腰直角三角形中，所以，在直角三角形中，所以，又正四棱柱的外接球的直径为，则半径.所以球的表面积为：.故答案为： 四、解答题：本

16、大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1） （2）或.【解析】【分析】根据向量共线和垂直的坐标运算求解.【小问1详解】因为，所以，解得：.【小问2详解】因为，所以，解得：或.18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，. （1）求证：/平面EAC；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据锥体的体积公式运算求解.【小问1详解】因为底面ABCD为正方形，所以F为BD中点因为E为棱的中点，所以/，且平面，平面，所

17、以/平面【小问2详解】因为平面ABCD，底边ABCD为正方形则为直角三角形，且所以三棱锥的体积.19. 已知函数，（1）求的最大值；（2）证明：函数有零点.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，由的取值范围求出的取值范围，即可得到函数的单调性，即可求出函数的最大值；（2）首先得到的解析，求出区间端点的函数值，结合零点存在性定理即可证明.【小问1详解】因为，因为，所以，所以在上单调递减，所以.【小问2详解】因为，因为，且图象在上不间断，所以在区间上有零点.20. 某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外阅读情况，现

18、随机调查了100名学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，把他们的阅读时间分为5组：，并绘制如图所示的频率分布直方图. （1）求的值及这100名学生课外阅读时间的平均数.（各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平）（2）为查找影响学生阅读时间因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为，的学生中抽取6名参加座谈会.再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人读书时间在的概率.【答案】（1）0.03；平均数为26； （2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出，再根据平均数公式计算可得；（2）利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型概率公式计算可得.【小问

19、1详解】由题意得：，这100名学生阅读时间的平均数为：，所以这100名学生阅读时间的平均数为26；【小问2详解】由直方图得：课外阅读时间为与的学生数的比为1:2，所以，课外阅读时间在有2名，阅读时间在有4名.记从这6名学生中随机抽取2人，恰好有一人读书时间在为事件M课外阅读时间在的2名学生分别记为a、b，阅读时间在的4名学生分别记为A、B、C、D，所以从这6人中任意抽取2人，样本空间，共15个样本点，其中，共8个样本点，所以.21. 如图，在三棱锥中，平面平面，.（1）求证：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析 （2）.【解析】【分析】(1)利用面面垂直性质定理得到平面再利用线面垂

20、直的定义即可证明.(2)先利用平面角的定义得到二面角的平面角为，在中利用正弦定理可求得角度的大小.【小问1详解】平面平面，平面平面,又平面,由面面垂直的性质定理得平面又平面【小问2详解】由（1）知平面平面平面就是二面角的平面角.，又，所以，,二面角的大小为.22. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C的大小；（2）若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；（2）设，在和中，利用正弦定理结合得到，再利用平方关系得到，进而得到，利用余弦函数的性质求解.【小问1详解】解：由正弦定理可得：，又，.【小问2详解】设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：.又，由，得.因为，所以.因为，所以，.