第二平面向量及其应用 单元试卷（含答案解析）2023年新教材北师大版必修第二册

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1、第二平面向量及其应用本试卷共150分，考试时长120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1()()化简后等于()A B0 C0 D2已知向量(3，4)，(6，3)，(2m，m1)，若，则实数m的值为()A B C3 D3ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(bc)(bc)a(ba)，则内角C等于()A B C D4在ABC中，AB1，AC3，1，则ABC的面积为()A B1 C D5已知向量a(x，2)，b(2，y)，c(2，4)，且ac，bc，则 |ab|()A3 B C D26如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，

2、测得BCD15，BDC30，CD30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB()A.3米 B20米 C5米 D15米7已知点P是ABC的内心(三个内角平分线交点)，外心(三条边的中垂线交点)，重心(三条中线交点)，垂心(三个高的交点)之一，且满足222，则点P一定是ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心8如图，在等腰直角ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B)，过E作AD的垂线，垂足为F，则()A BC D二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9设a，b，c是任意

3、的非零向量，则下列结论正确的是()A0a0 B(ab)ca(bc)Cab0ab D(ab)(ab)|a|2|b|210点P是ABC所在平面内一点，满足|2|0，则ABC的形状不可能是()A钝角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形11已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若ABC中A为钝角，则实数k的值可以是()A1 B C1 D212在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是()A在ABC中，若AB，则sin Asin BB在锐角ABC中，不等式sin Acos B恒成立C在ABC中，若a cos Ab cos B，则ABC必是等腰直角三角形D在

4、ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13设向量a(3，0)，b(2，6)，则b在a上的投影为_14已知向量a，b满足|a|1，|b|，a(ab)，则a与b夹角的大小是_15如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E为AD的中点，若，则_，_16在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，a4，角A的平分线交边BC于点D，其中AD3，则SABC_四、解答题(本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知两个非零向量a与b不共线，2ab，a3b，ka5b.(

5、1)若20，求k的值；(2)若A，B，C三点共线，求k的值18(12分)已知向量a(3，2)，b(2，1)，c(3，1)，tR.(1)求|atb|的最小值及相应的t值；(2)若atb与c共线，求实数t.19(12分)如图所示，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD6，AC2，DC4，(1)求ADC的大小；(2)求AB的长20(12分)在b2aca2c2，a cos Bb sin A，sin Bcos B，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c_，A，b，求ABC的面积(已知sin )21(12分)已知正方形ABCD，E、

6、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P，连接AP.用向量法证明：(1)BECF；(2)APAB.22(12分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量a(2a，)，b(c，sin C)，且ab.(1)求角A；(2)若c2，且ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小第二章平面向量及其应用1解析：()().答案：D2解析：因为(3，1)，又，所以3(m1)2m，m3.答案：C3解析：由(bc)(bc)a(ba)得a2b2c2ab，即，cos C，又0C，C.答案：B4解析：|cos A13cos A1cos Asin ASABCABACsin A13答案：C5解析：a

7、c，bc即a(1，2)，b(2，1)ab(3，1)|ab|.答案：B6解析：因为BCD15，BDC30，所以CBD135.在BCD中，根据正弦定理可知，即，解得BC15(米).因为在RtABC中，tan 60，所以ABBC1515(米).故选D.答案：D7解析：设BC的中点为M，2222()()2()(2)0，()，即()0即20，点P与BC的中点连线与BC垂直，即点P一定是ABC的外心答案：B8解析：设BC6，则ABAC3，BDDEEC2，ADAE ，cos DAE，所以，所以因为()，所以().答案：D9解析：0a0，A中结论错误；向量的数量积不满足结合律，B中结论错误；当ab0，a与b的

8、夹角为90，即ab，C中结论正确；D中结论正确故选CD.答案：CD10解析：P是ABC所在平面内一点，且|2|0|()()|0即|，即|两边平方化简得0A90则ABC一定是直角三角形故选ACD.答案：ACD11解析：由已知(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，所以(1，2)，(k，k1).因为A为钝角，所以0，所以(1，2)(k，k1)0，所以3k20，解得k，即实数k应满足的条件是ksin BabAB，故A正确；对于B，在锐角ABC中，A，B，且AB，则AB0，所以sin Asin cos B，故B正确；对于C，在ABC中，由a cos Ab cos B，利用正弦定理可得sin 2Asin

9、 2B，得到2A2B或2A2B，故AB或AB，即ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在ABC中，若B60，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22ac cos B，所以aca2c2ac，即(ac)20，解得ac，又B60，所以ABC必是等边三角形，故D正确故选ABD.答案：ABD13解析：ab|a|b|cos a，b，向量b在a方向的投影为|b|cos a，b2.答案：214解析：a(ab)a(ab)0a2ab0ab|a|b|cos a，ba2cos a，b又a，b0，故a与b的夹角为.答案：15解析：以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系不妨设

10、AB1，则D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1).(2，2)，(2，1)，(1，2)，(2，2)(2，1)(1，2)，解得答案：16解析：由余弦定理a2b2c22bc cos A可得：b2c2bc(bc)23bc112SABCSACDSABDbAD sin cAD sin (bc)又SABCbc sin Abcbc(bc)bcbc(bc)23bc112，解得：bc48SABC4812.答案：1217解析：(1)22(2ab)a3bka5b(k3)a0，k3.(2)由题意知a4b，(k2)a6b.A，B，C三点共线，设，即(k2)a6ba4b，解得k.18解析：(1

11、)a(3，2)，b(2，1)，c(3，1)，atb(3，2)t(2，1)(32t，2t)，|atb| ，当且仅当t时取等号，即|atb|的最小值为.(2)atb(3，2)t(2，1)(32t，2t)，又atb与c共线，c(3，1)，(32t)(1)(2t)30，解得t.19解析：(1)在ADC中，AD6，AC2，DC4，由余弦定理得cos ADC.又0ADC180，ADC120.(2)由(1)知ADB60，在ABD中，AD6，B45，ADB60，由正弦定理，得，AB3.20解析：若选择b2aca2c2，由余弦定理cos B，因为B(0，)，所以B；由正弦定理，得a，因为A，B，所以C，所以SA

12、BCab sin C，若选择a cos Bb sin A，则sin A cos Bsin B sin A，因为sin A0，所以sin Bcos B，因为B(0，)，所以B；由正弦定理，得a，因为A，B.所以C.所以SABCab sin C.若选择sin Bcos B，则sin ，所以sin 1，因为B(0，)，所以B.所以B，所以B；由正弦定理，得a，因为A，B，所以C，所以SABCab sin C.21证明：如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).(1)(1，2)(2，0)(1，2)，(0，1)(2，2)(2，1)，(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(x2，y)，由(1)知(2，1)，(1，2)，x2(y1)，即x2y2.同理，由，得y2x4.解得即P.242，|，即APAB.22解析：(1)因为ab，a(2a，)，b(c，sin C)，所以2a sin Cc，由正弦定理得2sin A sin Csin C.因为C，所以sin C0，所以sin A，因为A，所以A.(2)因为ABC的面积为，所以bc sin A，因为c2，A，所以b3.在ABM中，由余弦定理得BM2AM2AB22ABAM cos A422.所以BM.