六年级下数学精品讲义：第2讲 解方程及用方程解应用题（含答案）

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1、第二讲 解方程及用方程解应用题课程目标1. 掌握方程及相关的概念；2. 掌握解方程的常规方法；让学生会解方程；3. 理解题意，会正确列出方程解应用题。课程重点会解方程，会用方程的方法解常规应用题。课程难点1. 理解解方程的方法。2. 理解应用题的等量关系。教学方法建议1.会归纳出解方程的常见方法。2.让学生理解方程的基础上，强调用方程的方法和算术方法解应用题的区别与联系。（讲解，比较，练习。）一、知识梳理（一）用字母表示数（代数式）。用字母可以简明地表达数和数量关系、运算定律和计算公式；在一个含有字母的式子里数字与字母、字母与字母相乘，字母与数字相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。（二）

2、简易方程方程的概念：（1） 含有未知数的等式叫做方程。方程的特征是：它含有未知数，同时又是个等式。用等号连接的两个式子，叫做等式。注意：方程是 等式 ，又含有 未知数 ，两者缺一不可。 方程和算术式不同：算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成；方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立 。 （2）方程与等式的联系和区别：方程一定是等式，但等式不一定是方程。（3）等式的性质1：在等号的两边同时加上（或减去）同一个数，等式不变。等式的性质2：在等号的两边同时乘以（或除以）同一个数（0除外），等式不变。（4）方程的解”与“解方程”的区别。方程的解：

3、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 （三）列方程解应用题的步骤：（1）分析题意，弄清已知条件和所求问题；（2）根据分析设定未知数；（3）利用等量关系列出方程；（4）求解方程：（5）将结果代回原题检验，答。二、方法归纳解方程的方法：在解方程的过程中，我可以运用等式的基本性质，主要是还是应用加、减、乘、除法的逆运算。（一）常见的关系式：1加法：加数+加数=和 一个加数=和另一个加数 2减法：被减数数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=差+减数 3乘法： 一个因数 一个因数 =积 一个因数=积另一个因数 （在乘法里，0和任何数相乘都得0； 1和任何

4、数相乘都得任何数。） 4除法：被除数除数=商 除数=被除数商 被除数=商除数 在除法里，0不能作为除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。 （二）列方程解应用题的方法（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。三、课堂精讲（一）简单类型的方程例

5、1 解方程 （1）725=13.5 （2）12（23）=42 （3）=【规律方法】（1）注意先把25移到右边，与13.5相加，再除以7即可。（2）先把2+3x当做一个整体，把12移到右边，所以2+3x=4212,再把2移到右边相减，再用差除以3即可。也可以把左边运用乘法的分配律展开，得到24+36x=42,再把36x当做一个整体，把24移到右边相减，用差除以36即可。（3）把当做一个整体，把移到右边相加，用和除以即可。【变式训练1】【难度分级】 A （1）9x 0.79 （2）564x 36（3）4（x9）4 （二）求减数或除数类型的方程例2 解方程（1）6.832%= （2）913.5x 1

6、.3 （3）12（0.5x-1）=4 （三）合并同类项类型的方程例3 解方程（1） 42=318 （2）2419 （3）=24（4）0.5=4.2 （5）12x-3=8x+17 (6)6.3x3=6.34【规律方法】（1）注意先把4和2合并。（2） 在这个方程中根据运算顺序可以先算出2与4的积，变成 ，这样方程比原来就简化了，要求出 的值，先要求出3 等于多少。因此可以把3 看成被减数，根据“被减数=减数差”可以求出3 的值，除以3就是 的值。（3） 注意先把和合并。（4） 把与0.5合并。（5）先把8x移到左边，把左边的减3移到右边。（6）先把左边3移到右边。【变式训练2】【难度分级】 A

7、（1）= （2）X+40%X5.6 （3）X-36%X8（4）253x 19 （5） x 1848 （6） x= x18 （四）解比例例4 解方程（1） （2）=1:4 （3） :=16: （4） （5）:0.5=3: （6）:40%=20:0.5【变式训练3】【难度分级】 A （1）2:3=:0.6 （2）4（1）=3（2） （3）15%=8.5 （五）去括号类型的方程例5 解方程（1）2(x+3)5(1-x) = 3(x+1) （2）70%x(30x)55%3065% 【规律方法】去括号后再把x合并在一起。【变式训练4】【难度分级】 A （1）3.4X1.88.6 （2）6.6X6X1.8

8、 (3) 2XX (4) 4x-3(20-x)6x-7(9-x) (5) 4(2y+3) 8(1-y)-5(y-2)（六）简单的列方程解应用题：例6 （1）小军今年8岁，他爸爸今年34岁，小军多少岁时，爸爸的年龄是小军的3倍？（2） 一条公路长360米，甲乙两支施工队同时从公路的两端往中间铺柏油。甲队的施工速度是乙队的1.25倍，4天后这条公路全部铺完。甲乙两队每天分别铺柏油多少米？（3）甲仓所存的粮食是乙仓的3倍，若从甲仓取出1200千克存入乙仓，则两仓所存的粮食相等，两仓各存粮多少千克？（4）苹果和梨共14筐，总重520千克，其中苹果每筐重35千克，梨每筐重40千克，问梨和苹果各几筐？（5

9、）一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分钟，逆风要3小时，已知风速是20千米/时，则两城市间距离为多少千米？（6）某校有学生465人，其中女生的比男生的少20人，那么男生比女生少多少人？【规律方法】这题用逆向思维很难解决，用方程比较容易，可以先设女生的人数为x人，再依次把其他相关的量表示出来，建立等量关系。（七） 稍复杂的列方程解应用题：例7 （1）六位数，乘以3后，变为，求这个六位数。【规律方法】此题是一个数字迷问题，可以用数字迷的推理方法去求解，但是我们通过观察可以知道已知数的规律，abcde始终在一起，而且顺序不变，那么我们可以把它看为一个整体，设为一个未知量。（2）某商场有一批

10、毛巾，卖出总数的625后，又运来270条，这时商场的毛巾数与原来的毛巾数的比是6 ：7。商场里原来有毛巾多少条?（3）张老师带43名学生去公园划船，一共乘坐10只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人，刚好全部坐下。大船和小船各有多少只？（4）某班有学生56人，抽出男生人数的与女生人数的后，还剩43人，这个班有男、女生各多少人？（5）学生问老师：“老师，您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才1岁；你到我这么大时，我已经37岁了。”问现在老师和学生各多少岁？【规律方法】（法一）本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄-年龄差=1；老师现在的年龄+年龄差=37，据此可以求解师生年

11、龄和：1+37=38师生年龄差：(37-1)3=12老师年龄：(38+12)2=25学生年龄：25-12=13（法二）设老师原来x岁，那时他比学生大x-1岁，当学生到x岁时过了x-1年，老师原来x岁，现在过了x-1年是37岁，x+（x-1）=37（6）两个牧童放羊，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊正好是你的羊的2倍。”乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，这样我与你的羊的只数就相等了。”请问甲有多少只羊？乙有多少只羊？【规律方法】乙对甲说：“最好还是把你的羊给我1只，这样我与你的羊的只数就相等了”，这句话的意思是甲比乙多两只羊。四、讲练结合题1.解方程(1) 5(x+8)-56(2x-7)

12、 (2) 2(3y-4)+7(4-y) 4y（3）2x （4）2（5）XX = 14 （6） 12：= （7）124-7x19 （8） ：=x：0.8 （9） x=+1 （10）37x=1.04 （11）4.5- （12） = :（13）xx= （14） 3x=（15） （16）（17） （18） （19）x + 0.75 - 0.15 （20） 2x+ 4.625 （21） 2x = （22）2.7x1.6 = 38.9 2.用方程解应用题：(1)有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁，当甲是60岁时，丙是多少岁？ (2) 箱子里面有红、白两

13、种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球，如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个？ (3) 有甲乙丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲乙两堆石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙丙两堆石子数就相等了；此时又从丙堆中取出2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆中有多少个石子？(4)一桶油，第一次取出全桶的20，第二次取出20千克，第三次取出的等于前两次数量之和，桶里还剩下8千克，原桶里共有多少千克油？五课后自测练习1.解方程（1）3.4x1.88.6 （2） 2xx (3) 5.2xx6

14、.44 (4)7.210.750 (5) 4.55.510 (6)x -0.75= (7) 523x1 (8) = （9）4 x 123 = 14（10）x x = 4 .52（学大） （11） = （学大）（12）：=24：2x （13）3x-= （14）15x+（x-3）=13 （15）（16）x + 0.75 - 0.15 (17) - x（18）12x730%=14.7 （19）：3.5：x2.列方程解应用题：（1）名士小学现有学生2000人，民航小学现有学生人数的3倍比名士学校少800人，民航小学现有学生多少人？（2）甲、乙两个车间共生产420个零件，计划7小时完成，如果甲车间每小时

15、生产28个，乙车间每小时应生产多少个？（3）五年级一班的图书柜中文艺书的本数比科技书的5倍少18本，两种书共有222本，科技书有多少本？（4）一枝钢笔的价钱是一枝圆珠笔的4倍，李老师买了一枝钢笔和5枝圆珠笔，一共用了12.6元。钢笔和圆珠笔的单价各是多少元？ （5） 增城区新开通的公共汽车实行两种票制，普通车票每张2元，通票每张5元。有一天售票员统计车票收入时，发现这天共有乘客880人，通票收入比普通车票收入多1740元。问这天购买通票的有多少人？参考答案例1：（1）x=5.5 （2）x= (3)x=【变式训练1】（1）x=0.7 （2）x= （3）x=10例2：（1）x=20 （2）x=20

16、 （3）x=8例3：（1）x=27 （2）x=9 （3）x=180【规律方法】（4）x=3.6 x=5 （6）x=12【变式训练2】 （1） （2）x=4 （3）x=12.5 （4）x=2 （5）x=88 （6）x=360例4：（1）x=1 （2）x=7 （3）x= （4）x=8.4 （5）x=7.5 （6）x=16【变式训练3】（1）x=0.4 （2）x=2 （3）x=10例5：（1）x= （2）x=20【变式训练4】（1）x=2 （2）x=3 （3）x= （4）x= （5）y=例6：（1）解：设小军x岁时，爸爸的年龄是小军的3倍； X+(34-8)=3x X+26=3x X=13 答：小军

17、13岁时，爸爸的年龄是小军的3倍。（2）：解：设乙队每天铺x米，甲队每天铺1.25米； （x+1.25）4=360 2.25x=90 x=40 甲：401.25=50（米） 答：甲队每天铺50米，乙队每天铺40米。（3）解：设乙仓存粮x千克，则甲仓存粮为3x千克； 3x-1200=x+1200 2x=2400 X=1200甲仓：12003=3600（千克） 答：甲仓存粮3600千克；乙仓存粮1200千克。（4）解：设苹果有x筐，则梨有14-x筐； 35x+40(14-x)=5200 35x+4014-40x=520X=8梨：14-8=6筐 答：梨6筐，苹果8筐。（6） 解：设两城市间的距离为x

18、千米 根据题意得，-20=+20即12x-660=11x+660 12x-11x=660+660 x=1320答：两城市间的距离是1320千米（6）解：设女生的人数为x人； x=(465-x)-20 x=240 男：465-240=225（人） 240-225=15（人） 答：男生比女生少15人。例7：（1）解：设Xabcde,则题中两个六位数分别表示为(100000X)和(10X1)，那么：（100000X）310X1 7X299999 X42857答：原数是142857。（2）解：方法一：270-(1-)=560(条)方法二：设商场里原来有毛巾x条；(1-62.5%)x+270:x=6:7

19、 解得x=560答：商场里原来有毛巾560条。 （3）解：设大船x只；小船10-x只。 6x+4(10-x)=43+1 X=2 小船10-2=8（条） 答：大船2条；小船8条。 （4）解：设这个班男生x人；女生56-x人； x+(56-x)=56-43 x=36 女生：56-36=20（人） 答：这个班男生36人，女生20人。 （5）解：设学生x岁，年龄差x-1 ； x+(x-1)+(x-1)=37 x=13 年龄差x-1=13-1=12 37-12=25(岁) 答：现在学生13岁，老师25岁。 （6）解：设甲x只，乙有（x-2）只； （x-2-1）2=x+1 x=7 乙：7-2=5（只） 答

20、：甲有7只，已有5只。四、讲练结合题1、解方程（1）x=11 （2）y=4 （3）x= （4）x=18 （5）x=18 （6）x=9 （7）x=4 （8）x= （9）x=1 （10）x=0.16（11）x=4.5 （12）x=36 （13）x=4 （14）x= （15）x=0.12（16）x=14.28 （17）x=7.3 （18）x=1 （19）x=0 （20）x=2（21）x= （22）x=152、用方程解应用题（1）【规律方法】设丙22 岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁。那么甲是31岁时，乙是(31-x)岁，丙是22+(31-2x)=53-2x岁。利用方程解决年龄问题，设定乙

21、的年龄之后，我们可以把各个时期的甲乙丙的年龄都用含有x的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系。解：设丙22 岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁。方法一：22(312x)532x31x2(532x) x 25 方法二：31-x=222+(31-2x) 31-x=106-4x x=25所以乙是25岁，甲50岁，丙22岁，甲60岁时，丙32岁。 答：略。(2)【规律方法】此题用方程思维非常清晰简单，设取球的次数为x次，那么原有的白球数为(3+7x)，红球数为(53+15x)。再找出等量关系列出方程。解：设取球的次数为x次，则原有的白球数为(3+7x)个，红球数为(53+15x)个。 37

22、752 (个)53157158 (个)15852106（个） 答：红球比白球多106个。(3)【规律方法】设甲堆中原来有x个石子，那么甲堆中取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是(x-8)个石子，题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步变化结果都用含x的式子表示出来，最后建立等量关系。解：设甲堆中原来有x个石子，那么甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆都是(x8)个石子，然后乙取6个给丙，乙丙的石子数都变成了x86x14，再从丙堆取2个给甲堆，那么甲堆变为x82x6 ，丙堆变为x142x16。x8+2=2(x-8-6-2)x62(x16)2xx326 x26答：甲堆中原来有26个

23、石子。（4）解：设原桶里共有x千克油； x（20%x+20）+8=x x=80答：原桶里共有80千克油。五、课后自测练习 1、解方程（1）x=2 （2）x= （3）x=9.2 （4）x= （5）x=72（6）x=32 （7）x=3 （8）x=3 （9）x= （10）x=（11）x= （12）x=2.5 （13）x= （14）x=1 （15）x=（16）x=0 （17）x= （18）x= （19）x=102、列方程解应用题 （1）解：设民航小学有学生x人；2000-3x=8001200=3xx=400 答：民航小学有学生400人。 （2）解：设乙车间每小时应生产x个； 7（28+x）=420 28+x=60 x=32 答：乙车间每小时应生产32个。 （3）解：设科技书x本，文艺书5x-18本。 （5x-18）+x=222 x=40 文艺书：540-18=182（本） 答：科技书40本。（4）解：设圆珠笔x元，钢笔4x元； 4x+5x=12.6 9x=12.6 X=1.4 钢笔：41.4=5.6 答：钢笔5.6元，圆珠笔1.4元。（5）解：设这天购买通票的有x人；则普通票（880-x）人； 5x=(880-x) 2+1740 x=500 答：这天购买通票的有500人。