2023年人教A版（2019版）高中数学必修第一册全册知识点复习提纲

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1、必修第一册知识点复习提纲第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念1.2集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质2.2基本不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第三章 函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.2函数的基本性质3.3 幂函数3.4 函数的应用（一）第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.2指数函数4.3 对数4.4 对数函数4.5 函数的应用（二）第五章 三角函数5.1任意角和弧度制5.2三角函数的概念5.3 诱导公式5.4 三角函数的图像与性质5.5 三角恒等变

2、换5.6 函数y=Asinx+ 5.7 三角函数的应用第 32 页 共 32 页第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念一、集合的概念1.定义：一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性3.集合1=集合2：构成集合的元素完全一样4.元素与集合的关系：和（1）a属于集合A：aA（2）a不属于集合A：aA5.常用数集及其记法（1）N=全体非负整数=全体自然数=0，1，2，（2）N+/N* =全体正整数=1，2，3，（3）Z=全体整数=，-2，-1，0，1，2，（4）Q=全体有理数（5）R=全体实数6.集合的分类：有限集，无限集，空集（

3、）7.集合的表示方法：列举法、描述法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，如1，2，3，4（2）描述法：把集合中对的元素的公共属性描述出来，如xx-32，xN8. 奇数集A=xx=2k+1，kZ偶数集B=xx=2k，kZ1.2集合间的基本关系一、集合间的基本关系1.子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，若任意xA，都有xB，称A为B的子集。记作：A含于B（AB）,B包含于A（BA）2.不包含：当集合A不包含于集合B时，记作AB3.注意：（1）A不包含于B，记作AB（2）任意一个集合都是它本身的子集AA（3）规定空集是任意集合的子集（4）若AB，且BC，则AC4.Venn图（韦恩图）

4、 5.集合相等：两个集合中全部元素相同A=B 满足AB，BA，即A=B6.真子集：若集合AB，存在元素xB且xA，则称集合A是集合B的真子集。记作：AB，读作：A真包含于B7.注意：（1）AB且BC，则AC（2）是任意非空集合的真子集，任何一个集合是它本身的子集 （3）a，b的子集有：a，b，a，b，8.空集：不含有任何元素的集合成为空集，记作：9.（1）若AB，则AB且AB（2）若AB，则A=B或AB10.区分：（1）（）是指集合与元素之间的关系（2）（）是表示集合与集合之间的关系 （3）0与区别：0是含有一个元素的集合，而是不包含任何元素的集合，因此，0，但不能写成011.若一个集合含有n

5、个元素，则(1)子集个数为2n个(2)非空真子集个数为（2n-2）个(3)非空子集个数为（2n-1）个1.3集合的基本运算一、集合的基本运算1.并集：由所有属于集合A，或属于集合B的元素组成的集合，成为A与B的并集，记作AB。读作：“A并B”。即AB=xxA，或xB（1）并集的性质：AA=A、A=A、AB=A则BA（2）并集的性质：A（AB）、B（AB）、（AB）（AB）2.交集：由属于集合A，且属于集合B的元素组成的集合，成为A与B的交集，记作AB。读作：“A交B”。即AB=xxA，且xB（1）交集的性质：AB=A、A=、AB=A则AB（2）交集的性质：ABA、ABB3.全集：如果一个集合含

6、有我们所研究问题中 所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。4.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。记作：CUA。即：CUA=xxU且xA（1）补集的概念必须要有全集的限制（2）补集的性质：CU=U、CUU=、CU（CUA）=A（3）补集的性质：A（CUA）=、A（CUA）=U1.4充分条件与必要条件一、充分条件和必要条件1.定义：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，由p可推出q ，记作： p q 。p是q的充分条件；q是p的必要条件。2从集合角度理解

7、：p q 相当于pq p qp, q 或二、充要条件1.充要条件：一般地，如果既有 p q ，又有 q p ，就记作： p q 。此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。必要pq充分显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。概括的说，如果 p q ，那么p与q互为充要条件。2.从逻辑关系上看：条件p与结论q的关系结论p q 但 q p P是q成立的充分不必要条件p q 但 p qP是q成立的必要不充分条件p q 但 q pP是q成立的充要条件p q 但 q pP是q成立的既不充分也不必要条件1.5 全称量词与存在量词一、全称量词1.全称量词：短语 “所有的” “任意一个”

8、在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ” 表示。2.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。3.全称命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立” 可用符号简记为 xM，p(x) ，读作 “对于任意x属于M，有p(x)成立” 。注意：全称量词可以省略；全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质。二、存在量词1.存在量词：短语 “存在一个” “至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “ ” 表示。2.特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题3.特称命题 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立 ” 可用符号简记为 x0M，p(x0) ,读作 “存在M中的元素x0，使p

9、(x0)成立” 。三、含有一个量词的命题的否定1.全称命题： xM，p(x) 特称命题： x0M，p(x0)否定否定2.全称命题的否定是特称命题 ；特称命题的否定是全称命题 xM，p(x) x0M，p(x0) 四、真假判断1.全称命题： “ xM，p(x)”真命题：对集合M中每个元素x，证明p(x)成立。假命题：集合M中找到一个元素x0 ，使p(x0) 不成立。2.特称命题： “ x0M，p(x)”真命题：集合M中找到一个元素x ，使p(x)成立。假命题：集合M中使p(x)成立的元素不存在。第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质一、不等关系与不等式1.比较实数（代数式）

10、大小的方法（1）作差比较法关于实数a，b大小的比较，有以下的事实：如果a-b是正数，那么ab；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a0 aba-b=0 a=ba-b0 a0，b0且ab1 aba0，b0且ab1 ab bb，bc ac 传递性（3）性质3：a+bc a+b+(-b)c+(-b) ac-b 可加性（4）性质4：如果ab，c0，那么acbc . 如果ab，c0，那么acb，cd，那么a+cb+d. 同向加法法则（6）性质6：如果ab0，cd0，那么acbd. 同向乘法法则（7）性质7：如果ab0，那么anbn（nN，n2） 乘方法则（8）性质8：如果ab0，那么na

11、 nb （nN，n2） 开方法则2.2基本不等式一、基本不等式1.两个重要不等式（1）a2+b22ab（a，b为任意实数）：当且仅当a=b时，等号成立。（2） aba+b 2（a，b为正数）：当且仅当a=b时，等号成立。2.基本不等式与最值（积定和最小，和定积最大）（1）已知x，y是正数，如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值，为2P（2）已知x，y是正数，如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值，为 S24 3.基本不等式链（1） 设a0，b0，则有 21a+1baba+b2a2+b22 （当且仅当a=b时取等号）4.利用基本不等式求最值必须满足的条件（“一正，二定

12、，三相等”）（1）“一正”：各项必须都是正值（2）“二定”：各项之和或各项之积为定值（3）“三相等”：必须验证取等号时条件是否成立2.3二次函数与一元二次方程、不等式一、“三个二次”的关系1. 一元二次不等式：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。2. 二次函数：函数不等式方程数=b2-4ac0=00Y=ax2+bx+c(a0)的图像y x1 o x2 xy o x1= x2 xy o xax2+bx+c=0(a0)的根两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集xxx2xx-b2a Rax2+bx+c0)的解集（x1，x

13、2）3.解法：（1）判断该一元二次函数是否存在实数根（2）解实数根（3）判断函数图像（开口向上/开口向下）（4）解出答案例：求不等式4x2-4x+10的解集解：在函数y=4x2-4x+1中， =b2-4ac=0 4x2-4x+1=0有两个相等的实数根为 12 又y=4x2-4x+1 图像开口向上4x2-4x+10的解集为xx12二、分式不等式f(x)g(x) 0 f(x) g(x) 0f(x)g(x) 0 f(x) g(x) 3例2：解不等式 5x+1x+1 3 解： 5x+1x+1 3 可化为 2x-2x+1 0 ，即(x-1)(x+1)x0 所以 5x+1x+1 3 的解集为x-1x12.

14、穿根法：不等式右边为0，不等式左边为若干个因式的积未知数系数一定为正从右到左，从上到下，奇穿偶不穿（奇偶为因式的次数）例3. 解不等式 x2-4x+13x2-7x+2 1 解： x2-4x+13x2-7x+2 1 可化为 -2x2+3x-13x2-7x+2 0则(-2x2+3x-1)(3x2-7x+2)0 , (-2x+1)(x-1)(3x-1)(x-2)0利用穿根法画图： 13 12 1 2 所以解集为xx 13，或12x2第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示一、函数的概念1.函数：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有

15、唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数。记作：y= f(x)，xA.2.自变量：其中，x叫做自变量3.定义域：x的取值范围A叫做函数的定义域4.函数值：与x的值相对应的y值叫做函数值5.值域：函数值的集合 f(x)xA叫做函数的值域6.注意：（1）“y= f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y= g(x)” （2）函数符号”y= f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数。7.构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域8.区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示9.求值域：即y的取值范围例：

16、y=2x+1，x-2x1 值域y-3y3例：y=2x+1，x-2x1，且xZ 值域-3，-1，1，3（画图结合定义域求值域）（1）数形结合法（2）观察法例 ：y=x2+2 解：x20，x2+22，x2+2 2 y=x2+2 的值域为2，+）例 ：y=1x2+1解：x20，x2+11（分母比分子大） 1x2+11，y=1x2+1的值域为（0，1（3）配方法例 ：y=x2+2x+3在-4，-3区间对的值域解：y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=（x+1）2+2 对称轴为x=-1 当x=-3时，ymin=6X=-4时，ymax=11，y=x2+2x+3在-4，-3的值域为6,11（4）换元法 （

17、y=ax+bcx+d）例 ：y=x-x-1解：设t=x-1（x1），则x=t2+1（t0） y= t2+1-t（t0），即y=（t-12）2+34（t0） 对称轴t=12，ymin=34 y=x-x-1的值域为34，+)（5）分离常数法（y=cx+dax+b）例 ：y=3x+22x+1解：y=3x+22x+1=322x+1-32+22x+1=32+122x+1122x+10，y32y=3x+22x+1的值域为yy32（6）反解x（反函数法）例 ：y=3x+22x+1解：由已知得2xy+y-3x-2=0，（2y-3）x=2-yx=2-y2y-3 ，2y-30 ，y32y=3x+22x+1的值域为

18、yy32（7）辨别式法求值域例 ：y=x2-xx2-x+1解：由已知得yx2-yx+y=x2-x， （y-1）x2-（y-1）x+y=0 （y1） 又0 ，得-13y1 y=x2-xx2-x+1 的值域为-13，1) 解：由已知得y=1-1x2-x+1 ， x2-x+1=（x-12）2+3434 0 1x2-x+1 43 -131-1x2-x+1110.求定义域：即当y= f(x)有意义时x的取值范围（定义域是一个集合）（1）f(x)是整式（单项式和多项式）定义域为R（2）f(x)的分母中含有字母，定义域为使得分母不为0的x值的集合（3）f(x)含偶次数方根，定义域是根号里的式子大于或等于0的

19、x值的集合（4）对数函数，使其真数大于0的x的取值范围（5）由实际问题确定的函数，使其有意义的x的取值范围为其定义域11.区间的表示：（1）R=（-，+）（2）xxa = a，+)（3）xxa = (-，a（4）xx a = （a，+）（5）xx 0：4ac-b24a，+)，a0，r,sQ（2） (ar)s=ars a0，r,sQ（3） (ab)r=arbr a0，b0,r,Q9.无理指数幂：一般地，无理数指数幂a（ a0，是无理数）是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质同样适应于无理数指数幂4.2指数函数二、指数函数及其性质1.指数函数：一般地，函数 y=ax（a0，且a1）叫做指数函数，

20、其中x是自变量，函数的定义域是R2.满足指数函数的要求：a0，且a1 系数为1 指数x为自变量3.一般地，指数函数 y=ax（a0，且a1）的图像和性质如下表所示：a10a1图像 y y=ax（a1） （0，1） 0 x y y=ax（0a1） （0，1） 0 x定义域R值域（0，+）性质过定点（0,1），即x=0，y=1非奇非偶函数在R上为增函数在R上为减函数5.在第一象限内：底数越大，图像越靠近y轴 y=3x y=2x y=ax y=bx y=(12)x y=(13)x y=dx y=cx 底大图高 ab1cd04.3对数一 对数与对数的运算1.对数：一般地，如果ax=N（a0，且a1），

21、那么数x叫做以a为底N的对数，记作： x=logaN（1）底数：a叫做对数的底数（2）真数：N叫做真数 2.常用对数：以10为底的对数，log10N=lgN 3.自然对数：在科学技术中常用以无理数e=2.71828为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，logeN=lnN4.对数与指数间的关系：当a0，且a1时， ax =N x=logaN5.对数的性质：负数和零没有对数logaa=1loga1=0alogaN=N6.对数的运算性质logaMN= logaM+ logaNlogaMN= logaM- logaNlogaMn=n logaMlogamMn=nmlogaMlogab=logcblogcaloga-bX=-1b logaXlogab logba = 11log2m= logm2lg2 lg5 = 17.运算性质的推导：设am=M，an=N ，则logaM=m , logaN=n am an =am+n =M N ，logaMN=m+n=logaM+logaN设am=M，an=N ，则logaM=m , logaN=n aman = am-n = MN ，