初三下册数学直升班培优讲义：第5讲 相似三角形（三）含答案

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1、第5讲相似三角形（三）知识导航模块一 斜“A”和斜“8”模型1、斜“A”模型如图为斜“A”字型基本图形当时，则有如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形当时，则有如图所示，当E点在AC的延长线上时，为另一个常见的变形 当时，则有2、斜“8”模型如图为斜“8”字型基本图形当时，则有模块二：射影定理在中，于D射影定理：（1）； （2）； （3）注意：（1）射影定理可以直接用，是用来证明的 （2）射影图形中，另外有下面的关系角的相等关系：，同一三角形中三边的平方关系：、模块一 斜“A”和斜“8”模型例1（1）如图1-1，则_（2）如图1-2，点D、E分别在AB、AC上，且，若，则AB的长为_

2、（3）如图1-3，若，则AC的长为_ 图1-1 图1-2 图1-3（1）；（2）10；（3）【教师备课提示】这道题主要考查基本的斜“A”和斜“8”模型，会找对应边例2（1）如图，是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且，AD与BE相交于点F求证：；（2）如图，四边形ABCD是菱形，交BD于E，交BC于F求证： （1）等边， ， ，证明即可证明即可（2）方法一：取DE中点M，连接AM，M为DE中点，又，方法二：取BD中点N，连接AN由等腰三角形的性质可知：，又，又，【教师备课提示】这道题主要考查斜“A”和斜“8”的常见结论，看到比例的乘积想到斜“A”和斜“8”，也要会找例3（1）如图3-1，

3、四边形ABCD中，AC与BD交于点O，若，求证：（2）如图3-2，在中，于D，在AB上找到一点E使得，连接CE，求证： 图3-1 图3-2（1），（2）， ，即【教师备课提示】这道题主要考查斜“A”和斜“8”模型的比例和相似的相互推导例4如图，在中，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：AD平分 连接AF，EF垂直平分AD，又，即AD平分【教师备课提示】这道题主要练习下通过比例倒斜“A”的相似和倒角的能力例5在等边中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E、P、F，且（1）如图5-1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明（2）若直线l向

4、右平移到图5-2、图5-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由（3）探究：如图5-1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），？请写出探究结果，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母） 图5-1 图5-2 图5-3（1）与，以为例，证明如下：，（2）均成立，均为，（3）BD平分时， 证明：BD平分，又，【教师备课提示】这道题主要锻炼孩子们的综合能力模块二 射影定理例1（1）如图6-1，已知AD是斜边上的高，则下列各式中不正确的是（）ABCD（2）如图6-2，AD是斜边上的高，已知，_， _，_ 图6-1 图6-2（1）D前三

5、个选项都是射影定理，都正确D项应该为或者或者（2）可以不用勾股定理，只用射影定理求出，由推出；，；，【教师备课提示】这道题主要考查射影定理的基本内容，让学生们记住结论例2（1）如图7-1，在中，于D，于E，于F求证：（2）如图7-2，在中，AD是斜边BC上的高，于E，于F，求证： 图7-1 图7-2（1）分别在与中由射影定理得到：，即，（2）由射影定理可以依次得到，于是仅需证明，由于，分别是与上的高，所以有，得证【教师备课提示】这道题主要锻炼学生们找模型的能力，多个射影定理的综合例3已知，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，若坐标轴上存在一点C，使得是直角三角形，则C点坐标为

6、_如图，由射影定理可知，则，复 习 巩 固模块一 斜“A”和斜“8”模型演练1（1）如图1-1，中，则图中共有_对相似三角形（2）如图1-2，M是的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截，使截得的三角形与相似，这样的直线有（）A1条 B2条 C3条 D4条 图1-1 图1-2（1）4对，共四对；（2）C演练2（1）如图2-1，在中，D是BC边上一点，且满足，若，且，则AB的长为_（2）如图2-2，CD是斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F求证：. 图2-1 图2-2（1）（提示：）（2），.演练3如图，在中，于D，于E，的面积是面积的4倍，求DE的长，演练4已知如图，在中，AD是垂线，P为AD上一点，过C做CF/AB，延长BP交AC于E，交CF于F求证： 如图所示，连接PC，平分，又有，又有，模块二 射影定理演练5如图，在四边形ABCD中，过C点做对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E、F，连接AC，求证：在中，故由射影定理可以得到，又，故，演练6如图，已知AD、CF是的两条高，与E，交CB延长线于G，交AD于H，求证：，又由可知，