初三下册数学直升班培优讲义：第9讲 锐角三角函数（含答案）

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1、第9讲锐角三角函数模块一 锐角三角函数的基本概念1锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数正弦：中，锐角A的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即余弦：中，锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即正切：中，锐角A的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即余切：中，锐角A的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即从定义中可以看出：正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中定义的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值2特殊角的三角函数值三角函数

2、011001无无103三角函数的增减性和取值范围在时，随着的增大而增大，；随着的增大而减小，；随着的增大而增大，；随着的增大而减小，模块二 同角和互余角的三角函数关系1同角三角函数关系：，2互余角三角函数关系：（1）任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；（2）任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；（3）任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：；（4）任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：模块三 的三角函数值计算及拓展两角和与差的正切公式； 模块一 锐角三角函数的基本概念例题 1（1）在中，、所对三角形的边分别为a、b、c若，则_，_，_，_，_（2）如图，正方形网格中，如图放置，则的值为_（

3、3）在中，且为锐角，则的值等于_（4）在中，分别是的对边已知，则的值等于_【解析】 （1），；（2）；（3）；（4）【教师备课提示】这道题主要考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中定义例题 2计算：（1）（2）（3）【解析】 （1）原式；（2）原式；（3）原式例题 3（1）在锐角中，若，则的度数是_（2）若，则锐角的角度是_【解析】 （1）；（2）【教师备课提示】例2和例3主要考查特殊角的三角函数，正反都要熟悉例题 4（1）如果为锐角，且，那么（ ）A B C D（2）若锐角满足，且，则的范围是（）A B C D（3）若为锐角，且，则m的取值范围是_（4）已知，则的值（）A B C D【解析】

4、 （1），且随的增大而增大，故选B；（2）C；（3）；（4），故选A【教师备课提示】这道题主要考查锐角三角函数的增减性和取值范围模块二 同角和互余角的三角函数关系例题 5（1）已知为锐角，且，求的度数（2）若为锐角，且和是关于x的方程的两根，求m和的值【解析】 （1），即. .解得：或. ，（2）和是关于的方程的两根，解得（舍负），例题 6已知，求下列各式的值：（1） （2）【解析】 （1）原式（2）由可知，原式例题 7（1）若锐角A满足，求的值（2）化简：【解析】 （1），.（2），又，【教师备课提示】例5例7就是主要考查同角的三角函数关系例题 8计算：（1）（2）（3）【解析】 （1）原式

5、 （2）原式（3）原式【教师备课提示】这道题主要考查互余角之间的三角函数关系的计算模块三 15。的三角函数值计算及拓展例题 9求角的三角函数值【解析】 如图所示，画，使,，.延长到，使，连接，则.在中，.；依定义得：；【教师备课提示】通过这道题讲解15的三角函数值的推导过程，当然也可以借此补充两角和差公式，用公式推导例题 10（1）已知，且为锐角，则_（2）如图10-1，中，则_（3）如图10-2，在中，AD平分，则_ 图10-1 图10-2【解析】 （1）；（2）；（2）【教师备课提示】这道题主要考查两角和差公式和2倍角公式的简单计算复习巩固模块一 锐角三角函数的基本概念演练 1（1）直角三

6、角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（ ）A B C D（2）在中，则_，_【解析】 （1）D；（2）；演练 2计算：（1）（2）（3）【解析】 （1）原式（2）原式（3）原式演练 3（1）若，则锐角的角度是_（2）在锐角中，则_【解析】 （1）；（2）模块二 同角和互余角的三角函数关系演练 4（1）已知：，则之间的关系是（ ）A B C D（2）已知，则=_（3）若锐角A满足，则=_【解析】 （1）C；（2）；（3）6演练 5比较下列各式的大小（1）和；（2）当是锐角时，和【解析】 （1）解法一：，且，解法二：，且， （2）解法一：根据三角函数定义：，即解法二：，是锐角，即，模块三 15。的三角函数值计算及拓展演练 6求的三角函数值【解析】 如图所示，是等腰直角三角形， 设，则， ，演练 7（1）已知，则_（2）已知，且为锐角，则_【解析】 （1）2；（2）