初二下册数学直升班培优讲义：第6讲 矩形和菱形（含答案）

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1、第6讲矩形和菱形一、矩形：1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2性质：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：性质1：矩形的四个内角都相等，且为性质2：矩形的两条对角线相等性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线另外，由矩形的性质可以得出：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形3判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是的四边形是矩形（4）对于平行四边形，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形二、菱形：1定义：有一组邻边相

2、等的平行四边形是菱形2性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：性质1：菱形的四条边相等性质2：菱形的对角线互相垂直平分性质3：菱形的对角线平分一组对角性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线另外，由菱形的性质可以得出：（1）菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算（2）菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形3判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四条边相等的四边形是菱形（4）一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形【教师备课提示】各位老师在讲解菱形的面积时可

3、以进行拓展，就是对角线互相垂直的四边形的性质：（1）四边形面积等于对角线乘积的一半；即（2）四边形对边的平方和相等即模块一 矩形例题 1（1）如图1-1，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若，则的周长_cm（2）如图1-2，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若，则四边形ABOM的周长为（）A17 B18 C19 D20 图1-1 图1-2（3）如图1-3，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，于E，则_（4）如图1-4，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分交BC于E， ，则_ 图1-3 图1-4（1）9（利用中位线的性质）；（

4、2）选D；（3），；，（4）由AE平分可知，又，故，从而，故【教师备课提示】例1的4个例题主要是让孩子们理解矩形基本性质的运用（倒边和倒角）还加入矩形的一些结论，让孩子们能够充分练习，打好基础例题 2（1）P为矩形ABCD内一点，已知，则PD的长为_（2）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若，则矩形ABCD的面积是_（3）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P在AD上，于M，于点N若，则_ （1）过P作AB的平行线分别交AD、BC于E、F，过P作BC的平行线分别交AB、CD于G、H设，于是，故，（2）在矩形ABCD中，AD/BC，把矩形ABCD沿EF翻

5、折点B恰好落在AD边的B处，在中，而，即，矩形ABCD的面积（3）连接PO，【教师备课提示】第（3）题推广：等腰三角形底边上的点到两腰的距离之和等于一腰上的高当出现垂线段时，联想到面积法解题；在等腰三角形底边延长线上的点到两腰的距离之差等于一腰上的高，可以联想面积法；最特殊的在等边三角形内一点到三边的距离之和等于任何一边上的高例题 3如图，已知，且，求证：四边形BCED是矩形在和中，四边形BCED是平行四边形，BD/CE， ，四边形BCED是矩形 【教师备课提示】矩形的判定方法，给学生梳理清楚，此题的难点是判定有一个角为直角老师还可以讲一种方法，就是利用对角线相等的平行四边形为矩形来解答，也就

6、是连接CD、BE，证明即可例题 4如图，在ABC中，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），于E，于F求EF的最小值 连接PA在中，又于点E，于点F，四边形PEAF是矩形当PA最小时，EF也最小，即当时，PA最小，即，线段EF的最小值为4.8模块二 菱形例题 5（1）在菱形ABCD中，则菱形的边长为（ ）A5 B10 C6 D8（2）菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为_（3）已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_（4）下列给出的条件，能判定一个四边形为菱形的是（ ）A有一组对边平行且相等，有一个角是直角B有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角

7、线互相垂直C两组对边分别相等，且有一组相邻的角相等D一组对边相等，一组相邻的边相等，一组对角相等（1）由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A（2）菱形的边长为，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为24(cm)，故面积为120(cm2)（3）2或6；（4）D【教师备课提示】这道题主要是理解菱形性质，以及会利用相应的性质进行计算例题 6如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得，连接CF求证：四边形BCFE是菱形证明：D、E分别是AB、AC的中点，DE/BC，且，又，EF/BC，四边形BCFE是平行四边形，又，四边形BCFE是菱形例题 7（金牛区期末）如图，矩形

8、纸片ABCD（）中，将它折叠，使点A与C重合，折痕EF交AD于E，交BC于F，交AC于O，连接AF、CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=4，求四边形AECF的面积 （1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，在矩形ABCD中，AD/BC，四边形AFCE是菱形（2）过E点，则：，设， 即，课后作业演练 11如图1-1，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于一点O，且若，则_cm2（14年嘉祥上期期末）如图1-2，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（）A BCD63如图1-3，四边形ABCD是一张矩形纸片，若沿过

9、点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的处，则_ 图1-1 图1-2 图1-31； 2A；由题意可以得到，连接OB，由矩形的性质有，为等边三角形，360演练 24如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作，又求证：四边形ABCD是矩形连接OM四边形ABCD是平行四边形，是直角三角形，同理，四边形ABCD是矩形演练 35已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线点P为矩形外一点且满足，PC交AD于点N，连接DP，过点P作交AD于M（1）若，求矩形ABCD的面积；（2）若，求证： （1）解：且，为等腰直角三角形，设，在中， ；（2）解：延长AP，CD交于Q，且，又，又，D为CQ中点，又，演练

10、 46菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且，那么等于_7如图，四边形ABCD是菱形，是等边三角形，点E、F分别在边BC、CD上，且，则等于_8在菱形ABCD中，则对角线AC等于（ ）A20 B15C10 D59.菱形的一个内角为，周长为8cm，则菱形的面积为（ ）A BC D4660；780；8D；9C演练 510已知：如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若，求MD的长（1）证明：四边形ABCD是矩形AD/BC，四边形BMDN是平行四边形，平行四边形BMDN是菱形（2）解：四边形BMDN是菱形，设MD长为x，则，在中，即，解得：，