初二下册数学直升班培优讲义：第7讲 正方形（含答案）

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1、第7讲正方形模块一 正方形的性质和判定1定义：四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形2性质：正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质性质1：正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线另外，由正方形的性质可以得出：（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半3判定：判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：（1）先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线

2、互相垂直（2）先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等模块二 弦图及相关模型1内弦图 2外弦图 （1）关于两个弦图的做法：内弦图：在正方形ABCD的各边上分别取E、F、G、H四个点，使得，连接EH、HG、GF、FE可以得到内弦图外弦图：在正方形ABCD内，分别取点E、F、G、H四个点，连接AH、BE、CF、DG，使得，就可以得到外弦图（2）关于弦图的作用：由弦图的做法，我们知道会产生四个全等的直角三角形，所以我们在平时的测试中会遇到这两个弦图或者其中的一部分，我们会常利用这两个弦图去构造全等去解决一些难题。具体应用：证明勾股定理；解决复杂的面积问题；构造全等三角形，求边的关系

3、（3）弦图常见辅助线添加方法：（是等腰直角三角形） 模块三 垂直相等模型1模型I 2模型II（母子型）变型（M为BE的中点，分别为正方形的中心） 3模型III（H为DF的中点） 【教师备课提示】讲模型3时，铺垫：倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中，通常要倍长一条边，证垂直相等，如图要证明，且时，只需要延长CB到点D使，连接AD，只需证明，且；最后总结证明垂直且相等的方法：1构造全等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边没有在同一个三角形中，通常要构造两个边所在的三角形全等2倍长证垂直相等当要证明的的两条边垂直且相等的时候，两条边在同一个三角形中，通常要

4、倍长一条边，证垂直相等，如图要证明，且时，只需要延长CB到点D使，连接AD，只需证明，且模块一 正方形的性质和判定例题 1（1）如图1-1，等边在正方形ABCD内，则_（2）如图1-2，已知正方形ABCD的面积是64，为等边三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，连接CG，连接BD交AE于点H，则_，_图1-1 图1-2（3）如图1-3，在正方形ABCD中，点P，Q为正方形内的两点，且，则_（4）如图1-4，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，于点E，于点F，连接EF给出下列五个结论：；一定是等腰三角形；其中正确结论的番号是_图1-3 图1-4（1）；（2），；（3）；（4）延长FP交

5、AB于点N，延长AP交EF于点M，如右图 例题 2（1）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE过点A作AE的垂线交DE于点P若，下列结论：；点B到直线AE的距离为；其中正确结论的序号是（ ）ABCD（2）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q、如图，当点Q在DC边上时，写出PB与PQ数量关系（直接写出结论）；、如图，当点Q落在DC延长线上时，写出PB与PQ的数量关系（直接写出结论）图 图（1）D；（2）；证明：过P作，P，C为正方形对角线AC上的点，PC平分，四边形PECF为正方形，；证明：过P

6、作，P，C为正方形对角线AC上的点，PC平分，四边形PECF为正方形，【教师备课提示】 相关结论图例剖析1正方形对角线上任意一点到另外两个顶点的距离相等，反之也成立；2过正方形对角线上任意一点构造直角与正方形交于两点，此时形成的两条线段必定相等，反之不成立1，；2若FGFH，则FG=FH（过F点分别作BC、CD边的垂线，证明两个直角三角形全等即可）例题 3已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分，CE平分，BF/CE，CF/BE求证：四边形BECF是正方形证明：BF/CE，CF/BE，四边形BECF是平行四边形，又在矩形ABCD中，BE平分，CE平分，四边形BECF是正方形模块二 弦图例题 4（

7、1）如图4-1，四边形ABCD是正方形，直线l、m、n分别通过A、B、C三点，且，若l与m的距离为5，m和n的距离为7，则正方形ABCD的面积为_（2）（树德半期改编）如图4-2，在中，在中，则的长度为_ 图4-1 图4-2 （1）74；（2）7；【点评】这道题主要是让学生们找到构造弦图的感觉第（2）题为正方形“婆罗摩笈多”中的“知垂直，证中点”，利用弦图的方法可以求证，分别过A、D向MN作垂线即可，而此题重点要向学生强调的结论模块三 垂直且相等模型例题 5如图，正方形ABCD的边长为6，O是AD的中点，且，那么的面积为_思路：作垂线构造全等，则，且；所以：例题 6已知正方形ABCD中，E为对

8、角线BD上一点，过点E作交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：，且；（2）将图6-1中三角形BEF绕B点逆时针旋转，如图6-2所示，取DF中点G，连接EG，CG，求证：且；（3）将图6-2中三角形BEF绕B点旋转任意角度，如图6-3所示，再连接相应的线段，问（2）中的结论是否仍然成立？图6-1 图6-2 图6-3（1） DCBC，为直角三角形又G为DE中点，且同理，且CG=EG，且，即（2）方法一：如图1，延长EG交AD延长线于点M，连接CM、CE，易证、，然后可证为等腰直角三角形，于是，同时还可得；方法二：如图2，延长CG到M，使得，连接MF、ME、EC，类似方法一通

9、过证两次全等和一个等腰直角三角形即可证得结论； （3）结论为且，证明思路如下：如图，延长CG到M，使得，连接MF、ME、EC，并延长MF交BC于点H，先证，再通过证明四边形EBHF对角互补证明，而可证及为等腰直角三角形，于是EG=CG且【教师备课提示】这道题来源于母子型的变形，可以给同学们提一下例题 7推导垂直且相等模型的结论（1）（2）（3）课后作业演练 11如图1-1，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，于点F，连接EC，的周长为12，则EC的长为_2如图1-2，以正方形ABCD的一边向正方形外作等边三角形ABE，BD与EC交于F，则等于（ ）A B C D 图1-1 图1-

10、2 3如图1-3，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若，则_4若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且，求BM的长5如图1-5，AD为正方形ABCD对角线，G为对角线上任意一点，若GFGE，且，则_图1-3 图1-515；2A；3100；4（如图1）或（如图2）；54 图1 图2演练 26如图，正方形ABCD的边长为5，直线/，且直线和直线之间的距离为1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上（1）证明：；（2）求直线与之间的距离h （1），易证（2）方法一：分别过A作直线

11、的垂线AH，交于点P，由弦图易证 ，在中，解得方法二：分别过B、D作直线的垂线，利用弦图证明全等即可演练 37如图，以的边AC、AB为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE，连接EG求证：思路一：过B、E分别作AC、AG的垂线，只需证明得从而得证证明：过B作BQ垂直AC的延长线于点Q，过点E作EK垂直AG于K，在和中，又，思路二：将绕点A旋转，使得点A是BN中点，从而得证证明：延长BA到N，使，连结CN显然，在和中，演练 48已知P为等腰直角的斜边AB上任意一点，PE、PF分别为AC、BC之垂线，垂足为E、FM为AB之中点求证E、M、F组成等腰直角三角形 证明：延长EM至N，使，连接EF，FN，BN，则，四边形PECF是矩形， ，又，又，又，是等腰直角三角形【提示】连接CM利用直角三角形斜边中线会更简单