初二下册数学直升班培优讲义：第9讲 特殊四边形的存在性问题（含答案）

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1、第9讲特殊四边形的存在性问题模块一：坐标系下平行四边形的存在性问题1已知三点求第四点构成平行四边形：如图所示，已知，在平面内找一点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形2解决方法，分两步走：（1）找点：连接BC、CD、BD得到，以三角形中任意一条边作为平行四边形的对角线，另外两条边作为平行四边形的一组邻边，依次做两邻边的平行线，分别相交于A、三点（2）求点定点：分类讨论，以哪条线为对角线分类讨论几何中心法（适用解答大题）：在平行四边形ABCD中，连接其对角线AC、BD相交于点，则E是BD的中点，E点坐标可表示为，同理E也是AC的中点，E点坐标也可表示为，由此即可求出A点坐标同理可以求

2、得，、的坐标公式法（填空选择题）：直接利用对角的点的横坐标的和相等，纵坐标的和相等，即，模块二：菱形的存在性问题1题型描述：已知两个定点A、B，在定直线l上有一点C，在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形2解决方法，分两步走：（1）转化：转化为等腰三角形的存在性问题（2）等腰三角形存在性问题：找点：两圆一线；求点：以谁为顶点分类讨论模块三：矩形的存在性问题1题型描述：已知两个定点A、B，在定直线l上有一点C，在平面内有一点D使得以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形2解决方法，分两步走：（1）转化：转化为直角三角形的存在性问题（2）直角三角形存在性问题：找点：两线一圆；求点：以

3、谁为直角分类讨论模块一 平行四边形的存在性问题例题 1（1）在平面直角坐标系内A，B，C三点的坐标分别是，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点坐标为_（2）（嘉祥）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数的图象，直线PB是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点若四边形PQOB的面积是5.5，且，若存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_（1），；（2）、【教师备课提示】这道题主要考查已知三点，求另外一点的坐标例题 2如图，已知一次函数的图像分别交x轴，y轴于A，B两点，点，点N在x轴上，直线A

4、B上是否存在点M，使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由由题意得，设，当BD为对角线时， 由题意得，解得，；当BM为对角线时， 由题意得，解得，当DM为对角线时， 由题意得，解得，综上所述，或或【教师备课提示】这道题主要考查已知两点，另外有一点在特殊的直线上例题 3如图3-1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为，直线经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB/OC（1）求顶点B的坐标；（2）如图3-2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点为点O关于直线l的对称点，连接，并延长交直线AB于第一象限的点D，当时，求直线l的解析式；（3

5、）在（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由 图3-1 图3-2（1），AB/OC，设点B的坐标为，把代入中，得，；（2）过C点作于N，AB/OC，由题意，当时，设l解析式把，代入得，解得，l的解析式；（3），BC为一边，OD的解析式为，过P作y轴垂线交直线AD于点U，过点Q作x轴平行线与y轴交于点V，设点，,，且，则，代入中，得，如图，同理，当为对角线时，设，即，解得，【教师备课提示】这道题主要考查已知两点，另外两点均在一般的直线上模块二 菱形的存在性问题例题 4（1）已知如图，直线与坐

6、标轴交于A、B两点，若点P是直线AB上的一个动点，试在坐标平面内找一点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，则Q的坐标是_（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB/OC，点C的坐标为求点B的坐标；若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（1）或或或（2）过点B作轴于F，在中，C的坐标为，点B的坐标为结论：存在将菱形的问题转化成等腰三角形的问题1）当OP为对角线，即，则有，；，；，；2）当EP为对角线，即，；3）当OE为对角线，即，综上所述，存

7、在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；点Q的坐标为：，【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题，当然直线都是倾斜角度比较特殊的直线例题 5如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、，若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，求F点的坐标，若不存在，请说明理由；【教师备课提示】这道题主要考查菱形存在性问题转化为等腰三角形的问题，直线是一般的直线模块三 矩形的存在性问题例题 6如图，平面直角坐标系xOy中，直线l的函数解析式为，点P在直线l上，已知、，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以P、

8、A、Q、B为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由存在，将矩形的问题转化成直角三角形的问题由题意得，、，直线AB为：当时，则，点P在过点A且垂直于AB的直线上，此时直线AP的解析式为：，由题意得，解得，当，则，点P在过点B且垂直于AB的直线上，此时直线BP的解析式为：，由题意得，解得，当，则，设点，由题意得，即，解得，或，或，综上所述，对应的点Q为，【教师备课提示】这道题主要考查矩形的问题转化为直角三角形的问题复习巩固模块一 平行四边形的存在性问题演练 1如图，已知直线与x轴，y轴交于M，N两点，直线与直线l交于点P（1）若点P在第一象限，试求出m的取值范围（

9、2）当直线经过线段OM的中点B，求出两直线交点P的坐标（3）若点M关于原点的对称点为C，过C作x轴的垂线，点A在x轴上，与原点O关于直线对称，设点Q在直线上，点E在直线上，若以A，O，E，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标（1）直线和直线相交点P，可得：，解得，点P的坐标为，点P在第一象限，可得，解得，解得，m的取值范围为（2）直线与x轴交于M点，把分别代入解析式中，可得：点，B为OM的中点，点B的坐标为，在上，得：，解得：，直线的解析式为：，（3），可得直线的解析式为：，且可得，又，设，当OA为对角线时，由题意得，解得，当OE为对角线时，由题意得，解得，（舍去）当AE为对角线时，由题

10、意得，解得，综上所述，或模块二 菱形的存在性问题演练 2如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长是方程的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，（1）求点C的坐标； （2）求直线AD的解析式；（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （1）由题意得，解得，（2）作轴于点F，轴于点E，则，可得，设直线AD的解析式为，解得，直线AD的解析式为（3）存在如图：分为P在x轴上方和P在x轴下方两种情况，；模块三 矩形的存在性问题演练 3如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足，的平分线交x轴于点C过，点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由（1）；（2）；（3）或