初二下册数学直升班培优讲义：第10讲 四边形动态问题（含答案）

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1、第10讲四边形动态问题动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些变化过程中的函数关系的问题或存在性问题。是近几年中考的一个热点类问题。主要包括求解线段长度、线段比例、周长、面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。解题时要善于观察运动过程中的不变性。解决动态几何问题的三步曲：1用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长）；2分析运动停止条件，求出自变量取值范围；3分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准。模块一 动态几何中的函数关系例题 1已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在的边AB上

2、沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围当时，；当时；当时，综上所述，【教师备课提示】这道题主要讲解动态问题的基本三步走例题 2如图，在平行四边形ABCD中，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿ABC的路线匀速运动，过点P作直线PM，使（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求的面积；（2）当点P运动2秒时，

3、另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动过Q作直线QN，使QN/PM设点Q运动的时间为t秒，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2求S关于t的函数关系式（1）当点P运动2秒时，由，知，cm2（2）当时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则，此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为当时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则，而，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为当时，点P和点Q都在BC上运动设PM与DC交于点G，QN与DC交

4、于点F，则，此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为故S关于t的函数关系式为【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下方法，锻炼计算能力例题 3如图，矩形OABC顶点B的坐标为，定点D的坐标为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR设运动时间为t秒（1）当_时，的边QR经过点B；（2）设和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式 （1）当秒时，的边QR经过点B（2）当时，如图1-1所示设PR交BC于点G，

5、过点P作于点H，则，；当时，如图1-2所示设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T过点P作于点H，则，QD=t，则， 当2t4时，如图1-3所示设RQ与AB交于点T，则，.综上所述， 模块二 运动产生的特殊图形例题 4如图，在四边形ABCD中，DCAB，如果点P由B点出发沿BC方向以1cm/s速度向点C匀速运动，同时点Q由A点出发以2cm/s速度沿AB方向点B匀速运动，当Q点到达B点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为 （1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？（2）当为等腰三角形时，求t的值（1）；（2）；，【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的等腰三角形，需要分类讨

6、论，注意题目中的特殊角例题 5如图5-1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为，点D为OA边的中点，连接BD（1）直接写出点D的坐标：_，_；（2）如图5-2，若点M从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿运动，同时点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，当点M，N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得为直角三角形时所有t值和取值范围图5-1 图5-2 备用图（1），（2）如图1所示：，点N从O到C需要4s，点M从D到A需要2s时，点N在OC上，点M在DA上当时，为直角三角形如图2所示：当时，是直角三角形，四边形OAMN为矩形解得：当时，为直角三角形如图3所示

7、：当点N与点C重合时，为直角三角形，综上所述，当时或时或时，为直角三角形【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的直角三角形，需分析运动过程 例题 6已知：矩形ABCD中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图6-1）（1）如图6-2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；（2）在（1）的条件下，如图6-3，若，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周即点P自停止，点Q自停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边

8、形时，求t的值图6-1 图6-2 图6-3（1）证法一：矩形ABCD，AD/BC，即，四边形AMCN是平行四边形，由翻折得，四边形AMCN是菱形；证法二：由翻折得，AD/BC，四边形AMCN是菱形；（2）设菱形AMCN的边长为x cm，则，在中，即，解得，显然，当点P在AM上时，点Q在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形，同理，点P在AB上时，点Q在DN或CN上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形，因此，只有点P在BM上，点Q在DN上时，才能构成平行四边形，此时，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t，解得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行

9、四边形时，秒【教师备课提示】这道题主要考查运动过程中产生的平行四边形，需要分类讨论，注意题目中的特殊角复习巩固模块一 动态几何中的函数关系演练 1如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，的面积为S(cm2) （1）当秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（1）如图1，当秒时，由；（2）如图1，当时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时，如图2，当点F追上点G时

10、，解得，当时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时，即演练 2在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图所示，且、，中，DE边在x轴上且E点与原点重合，将沿x轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，当点E与点C重合时停止运动，设平移的时间为t，与矩形OABC重叠部分的面积为S，求在平移过程中S与t的函数关系式分为三种情况：当时，如图1，设EF交OA于Q，四边形AOCB是矩形，重叠部分的面积；当时，如图2，由知：，四边形AOCB是矩形，AB/OC，重叠部分的面积，即；当时，如图3，重叠部分的面积；综上所述：模块二 运动产生的特殊图形演练 3如图，正方形ABCD的边长为6cm，P、Q分别

11、是BC、AD边上的两个动点，点P从点B出发以3cm/s的速度向点C运动，点Q从点D出发以4cm/s的速度向点A运动P、Q两点同时出发，当Q到达A点时，Q、P点同时停止运动过Q作于F，交AC于E，连接EP设运动的时间为，的面积为当x为多少时，是等腰直角三角形，和时，是等腰直角三角形，时，解得，时，点P和点F重合，解得，综上所述，或时，是等腰直角三角形演练 4如图，在中，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D、E运动的时间是t秒过点D作于点F，连接DE、EF（1）求证：；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由（1）在中，又，；（2）能.理由如下：，AE/DF.又，四边形AEFD为平行四边形，若使为菱形，则需即，即当时，四边形AEFD为菱形；（3）时，四边形EBFD为矩形在中，即，时，由（2）知EF/AD，即，时，此种情况不存在综上所述，当或4时，为直角三角形