初二下册数学直升班培优讲义：第14讲 一次函数和几何综合（一）含答案

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1、第14讲一次函数和几何综合（一）模块一：直线与坐标轴围成的面积1一条直线和坐标轴围成的面积（1）求一次函数和坐标轴的交点坐标，即和；（2）直线和坐标轴围成的面积：2两条直线和坐标轴围成的面积（1）求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；（2）求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解模块二：几何中的割补思想和铅锤法对于平面直角坐标系下的任意图形的面积，都可以采用割补思想。遇到一个比较难处理或不能直接处理的图形的面积，不妨尝试割补，让图像变得规则能够对面积间接的进行求解铅锤法：（1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；（2）铅垂法求三角形面积：（实际上铅垂线法也是割补法的一种）模

2、块三：一次函数和全等综合模块一直线与坐标轴围成的面积例题1（1）求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标，并求出该一次函数与两坐标轴围成三角形的面积（2）已知一次函数的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为15，则此一次函数解析式为_【解析】 （1）设该一次函数与x轴的交点为A，与y轴的交点为B令，得，解得，故，；令，得，故，则（2）或【教师备课提示】这道题主要考查一条直线和坐标轴围成的图形面积：（1）求一次函数和坐标轴的交点坐标，即和；（2）直线和坐标轴围成的面积：例题2（1）已知两直线和，则它们与y轴所围成的三角形的面积是_，与x轴围成的三角形面积是_（2）已知直线经过点与点，另一条直线经过点B，

3、且与x轴相交于点求直线的解析式；若的面积为3，求m的值【解析】 （1）3，4；（2）；或【教师备课提示】这道题主要考查两条直线和坐标轴围成的图形面积：（1） 求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；（2） 求直线和x轴或y轴的交点，进行面积求解例题3直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一条直线过点，且把分成两部分（1）若被分成的两部分面积相等，求k和b的值；（2）若被分成的两部分面积之比为，求k和b的值【解析】 （1）、，C为OA的中点，将和代入，得，；（2）本题有两种情形：过点C作直线交AB于点，或作直线交y轴于点，又，点、的纵坐标都为，易得、把和的坐标代入，求得，；将和的坐标代入，求

4、得，【教师备课提示】这道题主要考查分面积比例的问题模块二割补思想和铅锤法例题4（1）如图4-1，在平面直角坐标系中，四边形各顶点坐标分别为，则四边形ABCD的面积为_（2）如图4-2，在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为，则的面积是_图4-1 图4-2【解析】 （1）答案：10过A、C点作x轴垂线，垂足分别为E、F（“割”）（2）答案：12过B、C点作x轴垂线，垂足分别为D、E（“补”）则.【教师备课提示】割补思想：割（割成梯形、三角形）；补（补成矩形、直角梯形）例题5（1）如图5-1，已知一次函数的图象经过，两点，则的面积为_.（2）如图5-2，三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为_

5、图5-1 图5-2（3）已知直线，与交于点A，与交于点B，与交于点C，则的面积为_【解析】 （1）答案：14使用铅锤法，可以以O点出发（OB为铅锤高），可以以C点出发（作平行于x轴的水平宽），还可以以A点出发（作平行与x轴或y轴的直线，与OC或CO的延长线交于一点，再使用铅锤法），最后一种情况需要讲一下（2）铅垂线法得：（3）铅垂线法得：12【教师备课提示】这道题主要考查三条直线围成的图形面积：（1）求三个一次函数两两的交点坐标，联立方程组，解方程组；（2）铅垂法求三角形面积：；一定要让学生理解并学会灵活运用铅锤法例题6如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等

6、腰，如果在第二象限内有一点，且的面积与的面积相等，求a的值【解析】 由题意得，令，得，解得，故；令，得，故，由勾股定理得，.法一（割补法）：连PO，由，得，解得法二：（铅锤法）：思路：可以过P点作x轴平行线（水平宽），求的面积；可以过P点作y轴平行线，交AB延长线于点D，再运用铅锤法【教师备课提示】这道题主要考查含参的面积的计算：（1）这道题注意参数的取值范围，第二象限的点，a值为负数；（2）这道题在解法上也可以采用铅锤法，通过总结发现当我们遇到有动点时一般考虑的是过动点去作铅锤线教师备选在平面直角坐标系中，若四边形ABCD各顶点的坐标已知，探究四边形ABCD面积的求解方法（给出辅助线和思路即

7、可）【解析】 思路：可以割（铅锤法），可以补.此题方法很多：分四为三，连接AC，再运用铅锤法；分割成四个三角形和一个矩形；补成一个大的矩形等等【教师备课提示】这道题主要是让学生们开动脑筋，对割补思想更加理解，对铅锤法的运用更加熟悉模块三一次函数和全等综合例题7（武侯区期末压轴）如图7-1所示，直线AB交x轴于点，交y轴于点（1）如图，若C的坐标为，且于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（2）在（1）的条件下，如图7-2，连接OH，求证：；（3）如图7-3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变，

8、如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值图7-1 图7-2 图7-3【解析】 （1）由题意得，于H，在与中， ，则.（2）过O分别做于M点，于N点，在四边形OMHN中，.在与中，HO平分，；（3）连接OD，则，在与中，【教师备课提示】这道题是经典的一次函数和全等综合的题目，为各个学校必考题例题8平面直角坐标系内有两点和，点P在直线AB上运动（1）若P点横坐标为，求直线OP的函数解析式；（2）若点P在第四象限，作于M，作于N，求证：；（3）若点P在第一象限，仍作直线OP的垂线段BM、AN，试探究线段MN、BM、AN所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明 【解析】 （1）

9、设直线AB函数解析式为 ，当x为时，P的坐标为直线过原点，解析式为（2）由题意可证，（3）如右图，证明可得结论【教师备课提示】这道题实际上是在考查弦图，第三问中还是有一定的难度复习巩固模块一直线与坐标轴围成的面积演练1（1）一次函数的图象与两坐标轴围成三角形的面积为_（2）两条直线，与y轴所围成的三角形面积是_（3）已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为_【解析】 （1）；（2）9；（3）或演练2（实外期末）如图，直线过点，点，直线与x轴交于点C，两直线，相交于点B（1）求直线的解析式和点B的坐标；（2）求的面积【解析】 （1）直线为：；点（2）点，（法一

10、）割补法：；（法二）铅垂线法：设直线BC与y轴的交点E是，演练3如图，已知一次函数的图象经过点，轴于B，连接OA（1）求一次函数的解析式；（2）求的面积；（3）设点P为直线上的一点，且在第一象限内，OP平分的面积，求点P的坐标【解析】 （1）；（2）；（3）模块二割补思想和铅锤法演练4如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于C，D两点设直线，交于点P，求的面积【解析】 求出A、B、D、P三点坐标，从D点出发，若BD是铅锤高，P点与A点的横坐标之差为水平宽，(水平宽和铅锤高情况不唯一) 演练5已知是边长为2的等边三角形，点A，B分别在x轴，y轴上，轴，点在第一象限内，且

11、满足，求a的值【解析】 可以用铅锤法，也可以连接OP补全图形演练6在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为，求四边形ABCD面积【解析】 28此题方法很多：分四为三，连接AC，再运用铅锤法；分割成四个三角形和一个矩形；补成一个大的矩形等等模块三一次函数和全等综合演练7已知：在平面直角坐标系xOy中，点、点B和点C在x轴上（点B在点C的左边），点C在原点的右边，作，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若（1）求点B的坐标；（2）设OC长为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围【解析】 （1）如图，由，可知，点坐标为；（2）由（1）可知，m的取值范围是演练8如图，直线分别与x、y轴交于A、B两点，点P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由 【解析】 不变，如图，过点A作轴于点H（法一：解析法）设，则点，则直线AQ为：，点K坐标为：（法二：几何法）易证得，因此，得到，所以的等腰直角三角形，得到，所以，