初二下册数学直升班培优讲义：第13讲 函数初步及一次函数（含答案）

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1、第13讲函数初步及一次函数模块一：函数初步 1常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量2函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，此时称y是x的函数其中x是自变量，y是因变量例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量3数学上表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法譬如：，（2）列表法：通过列表表示函数的方法（3）图象法：用图

2、象直观、形象地表示一个函数的方法4关于函数的关系式（解析式）的理解：（1）函数关系式是等式例如就是一个函数关系式（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数 例如中x是自变量，y是x的函数（3）函数关系式在书写时有顺序性 例如：是表示y是x的函数，若写成就表示x是y的函数 （4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式5函数图象：（1）列表：对应到x的每一个值，y有唯一确定的值，列表；（2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点；（3）连线：坐标平面内把这些点连接起来

3、所组成的图形，就是这个函数的图象6函数解析式与函数图象的关系：以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；函数图象上点的坐标满足函数解析式模块二：一次函数图像、性质及解析式1正比例函数（1）定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.（3）性质：示意图（草图）图象位置变化趋势性质（增减性）经过原点和第一、三象限从左向右上升y随x的增大而增大y随x的减小而减小经过原点和第二、四象限从左向右下降y随x的增大而减小y随x的减小而增大2一次函数（1）定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数当

4、时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数（2）图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点（4）性质：示意图（草图）经过的象限变化趋势性质（增减性）一、二、三从左向右上升y随x的增大而增大，y随x的减小而减小一、三、四一、二、四从左向右下降y随x的增大而减小，y随x的减小而增大二、三、四（5）一次函数的解析式待定系数法：因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点，带入解析式中，通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式步骤：一设二代三解点斜式，让学生

5、理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率模块一函数初步例题1判断下列式子中，y是否是x的函数（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）【解析】 （1）（2）（3）（4）（6）（8）中，y是x的函数；（5）（7）中，y不是x的函数【教师备课提示】这道题主要考查函数的基本概念，函数判断：对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数例题2求下列函数中自变量的取值范围（1） （2） （3）（4） （5） （6）【解析】 （1）x为任意实数；（2）；（3），且；（4）；（5）由，解得；（6）由，解得，且【教师备课提示】这道题主要考查函数关系式中，自变量x的取值范围的求法：（1

6、）分母不为0；（2）偶次根号下非负；（3）代数式有意义例题3（1）三角形的周长是y cm，三边长分别为4cm，6cm，x cm，则以x为自变量表示y的函数关系式为_，自变量x的取值范围是_（2）矩形周长为30，则面积y与一条边长x之间的函数关系式为_（3）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按4元收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（）之间的关系式为_，若该月交水费元，则这个月的实际用水_立方米【解析】 （1），；（2），；（3），16【教师备课提示】这道题主要考查函数关

7、系式的理解，y用x来表示或者y与x的函数关系式都是指的函数关系式，注意自变量x的取值范围例题4（1）下图分别给出了变量与之间的对应关系，是的函数的图象是（ ）A B C D（2）下面的曲线不表示y是x的函数的是（ ）（3）如图，在等边中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与的边相交于E、F两点设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（） A B C D【解析】 （1）C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系即可判断；（2）B；（3）B模块二一次函数图像、性质及解析式例题5（1）若函数是正比

8、例函数，则m的值是_（2）下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ）A BC（为常数） D（3）若正比例函数的图象经过点和点，当时，则m的取值范围是_（4）一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点及，则这个正比例函数为_【解析】 （1）且，所以；（2）D；（3）；（4）【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数的基本概念，正比例函数的判定：形如（k为常数，）的函数，叫做正比例函数例题6（1）下列函数中，（p为常数）；，其中是一次函数的是_（2）当_时，函数表示一次函数，其表达式是_（3）当_时，函数是一次函数【解析】 （1）；（2）；（3）由定义可知：或，或【教师备课提示】这道题主要考查一次

9、函数的基本概念，一次函数的判定：形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数例题7（1）已知一次函数为，其与x轴的交点坐标为_，与y轴的交点坐标为_（2）已知一次函数，其中，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）A第一、二象限 B第二、三象限 C第三、四象限 D第一、四象限（3）如果直线经过一、三、四象限，那么直线经过第_象限；直线经过第_象限（4）如果一次函数不经过第一象限，那么ab_0（5）一次函数不经过第一象限，则k的取值范围是_【解析】 （1），；（2）B（k和b同号）；（3）一、二、三，二、四；（4）此题有两种情况：，；，；（5）由题意得，.【教师备课提示】这道题主要考查一次函

10、数中和的作用：（1）的正负性决定一次函数的上下坡趋势，时，一定经过一三象限；时，一定经过二四象限；（2）的正负性决定一次函数与y轴交点位置例题8（1）（石室联中期末）已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图像大致是（ ） （2）下列图像中，不可能是关于x的一次函数的图像的是（）A B C D（3）如图，一次函数和正比例函数在同一坐标系的大致图像是（ ）A B C D【解析】 （1）B；（2）D；（3）B【教师备课提示】这道题主要考查正比例函数和一次函数图象的判断例题9（1）若点，点是直线（k为常数）上的点，则m、n的大小关系是（）A B C D无法确定（2）（嘉祥期末）在函数的

11、图像上有、三个点，则、从小到大排列为_（3）三个一次函数、在同一直角坐标系中的图象如图所示，分别为直线、，则、的大小关系是_【解析】 （1）A； （2）； （3）（有个简便的判断斜率大小的方法：在轴正方向的远端（一定要足够远）画一条垂直于轴的判定线，观察并比较直线与判定线交点的纵坐标大小，就可以得到斜率的大小关系.记住判断方法可以帮助我们更快更准确比较斜率大小）【教师备课提示】时，y随x的增大而增大，一定经过一三象限；时，y随x的增大而减小，一定经过二四象限例题10求下列一次函数解析式：（1）已知一次函数的图象经过和两点则解析式为_（2）已知一次函数的图象经过和两点则解析式为_（3）已知一次函

12、数的图象经过和两点，则解析式为_（4）已知一次函数的图象经过和两点，则解析式为_【解析】 （1）法一：设一次函数为，将点代入，解得：，则解析式为：法二：，设一次函数为，将任意一个点代入，可得，则解析式为：（2）（3）（4）【教师备课提示】这道题主要考查一次函数的解析式的求法：待定系数法，通过这道题总结斜率公式，并让学生们使用另外一种方法：点斜式重新练习下并快速写出解析式例题11一次函数，当时，对应的y值为，求一次函数的解析式【解析】 若，所以当时，；当时，；则，解得，；若，所以当时，；当时，；则，解得，【教师备课提示】这道题结合增减性来考查一次函数的解析式，分类讨论复习巩固模块一函数初步演练1

13、（1）下列各图中，是函数图象的是（） A B C D（2）下列图形中的曲线不表示y是的函数的是（ ） A B C D（3）边长为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内除去小正方形部分的面积为s（阴影部分），则s与t的大致图象为（ ）A B C D【解析】 （1）D，y有唯一值与x对应（2）C（3）选择A，当小正方形完全进入大正方形中时，所剩面积为3，是大正方形面积的，所以选择A，C的描述比例不符合演练2判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；

14、 （7）； （8）【解析】 （3）（5）不是，其余均是.其中：（1）任意实数；（2）；（4）任意实数；（6）；（7）且；（8）任意实数模块二一次函数图像、性质及解析式演练3（1）函数是正比例函数，则m的值是为_（2）当_时，函数是一次函数（3）若一次函数，y随x增大而减小，m的值为_【解析】 （1）或；（2）由且，得；（3）演练4（1）函数的图象在第一，三，四象限，那么k，b的符号同时正确的是（）A， B， C， D，（2）若一次函数的函数值y随x的增大而减小，且图象与y轴的负半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是（）A， B， C，D， 【解析】 （1）D；（2）D演练5（1）已知一次函数

15、的图象如图所示，则a的取值范围是_（2）一次函数图象不经过第一象限，则m的取值范围是_（3）若，则一次函数的图象必定经过第_象限【解析】 （1）由题意可得：，解得；（2）由题意可得：，解得；（3）由题意知，或，从而判断一定过一、二象限演练6（1）如下图，在同一直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） A B C D（2）函数和在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D【解析】 （1）B；（2）D 演练7（1）已知一次函数的图象经过点和点，点是一次函数的图象与轴的交点，则这个一次函数的表达式是_（2）已知：一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点，且一次函数的图象与y轴的交点Q的纵坐标为4正比例函数的解析式是_，一次函数的解析式是_【解析】 （1）；（2），演练8已知一次函数，当时，对应的y值为求kb的值【解析】 由题意可得：将k分为两种情况：若，则当时，；当时，则，解得，；若，则当时，；当时，则，解得，；综上所述，kb的值为14或