著名机构数学教案讲义六年级暑假班第9讲：分数与小数的互化-教师版

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1、 1 / 17 分数与小数的互化是六年级数学上学期第二章第 2 节中的内容通过本讲的 学习，我们需要学会把分数化为有限小数或循环小数，并理解循环小数的意义， 同时还需学会有限小数向分数的转化， 并学会利用分数与小数互相转化的方法比 较分数与小数的大小，为后面学习分数与小数的混合运算做好准备 1、 分数化小数分数化小数 利用分数与除法的关系，进行分数向小数的转化，例如： 3 350.6 5 2、 可化为有限小数的分数的规律可化为有限小数的分数的规律 一个最简分数，如果分母中只含有素因数 2 和 5，再无其他素因数，那么这个分数 可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数 分数与小数的互化 内容分析

2、内容分析 知识结构知识结构 模块一：分数化为有限小数 知识精讲知识精讲 2 / 17 【例1】 将分数 1 4 化为小数是_，分数 7 8 化为小数是_ 【难度】 【答案】025；0875 【解析】（1）14025；（2）780875 【总结】主要考察分数化小数法则：分子除以分母所得的商即为结果 【例2】 比较下列两组数的大小： 1 20 _005， 3 3 8 _3376 【难度】 【答案】； 【解析】比较两个数的大小，统一为小数进行比较： 13 =0.053 =3.375 208 ； 【总结】考察分数与小数比较大小，要求学生统一为分数或者统一为小数进行比较 【例3】 把下列分数化成有限小数

3、，如果不能化成有限小数，则将其保留 3 位小数 2 5 ， 11 4 ， 5 8 ， 16 25 ， 4 6 ， 7 9 ， 21 100 【难度】 【答案】04；275；0625；064；0667；0778；021 【解析】注意不能化为有限小数的分数，结果保留三位小数，用四舍五入法 【总结】考察分数化小数，学生需要计算认真，不能化为有限小数的，用四舍五入法保 留三位小数 【例4】 下列各数中，与 043 最接近的分数是（ ） A 21 50 B 2 5 C 9 20 D 12 25 【难度】 【答案】A 【解析】 212912 =0.420.40.450.48 5052025 ；，其中 21

4、 50 最接近 043 【总结】考察分数化小数，比较大小 例题解析例题解析 3 / 17 【例5】 将 3 5 ， 5 8 ， 9 20 ， 47 100 ， 54 80 按从小到大的顺序排列 【难度】 【答案】 9473554 201005880 【解析】 3594754 0.60.6250.450.470.675 582010080 ；， 9473554 201005880 【总结】考察分数比较大小的方法 【例6】 在分数 7 21 ， 1 50 ， 3 40 ， 7 32 ， 2 15 中能化为有限小数的分数有_个 【难度】 【答案】3 个 【解析】分数化小数，有的可以化为有限小数，有的

5、可以化为无限循环小数，能化为有 限小数的分数需要具备以下两个条件：（1）化为最简分数；（2）分母分解素因数后， 除 2 和 5 以外不能含有其它的素因数，比如 7 21 不是最简分数，先化为最简分数后 1 3 再 判断它不能化为有限小数，以上 5 个分数中 137 5040 32 ，可以化为有限小数 【总结】考察分数可以化为有限小数的条件 【例7】 如果 7 a 能化成有限小数，且 a 是不大于 10 的正整数，则 a 可以是_ 【难度】 【答案】1、2、4、5、7、8、10 【解析】当a为 3、6、9 时， 7 a 是循环小数 【总结】考察分数化有限小数的条件 4 / 17 【例8】 写出

6、3 个分母是两位数，分子是 1，并且能化成有限小数的分数： _ 【难度】 【答案】答案不唯一，参考答案： 111 102025 ， 【解析】分母中只含有 2 或 5 两种素因数即可 【总结】开放性的题，考察学生对分数化有限小数条件的运用 【例9】 甲、乙两人同时加工同样的零件 100 个，甲用了 21 30 小时，乙用了 06 小时， 那么_先完成任务 【难度】 【答案】乙先完成 【解析】甲用时 217 =0.7 3010 小时，比乙长，所以乙先完成任务 【总结】考察分数化小数，运用于比较大小 师生总结师生总结 1 1、请用自己的语言总结： 能化为有限小数的分数的特征请用自己的语言总结： 能化

7、为有限小数的分数的特征 5 / 17 1、 循环小数循环小数 一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这 个小数叫做循环小数循环小数 一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个 循环小数的循环节循环节为了书写方便，小数的循环部分只写出第一个循环节，在这个循环 节的首位和末位的数字上面各记一个圆点例如： 0 3333的循环节为 “3” ， 写作0.3； 0 1363636的循环节为 “36” ， 写作0.136 【例10】 0 125125的循环节是_， 写作_， 保留 2 位小数写作_ 【难度】 【答案】125； 0.125； 013

8、 【解析】一个循环小数的循环节是依次不断重复出现的部分，求循环小数的近似数用四 舍五入法 【总结】考察循环小数的表示方法和近似数的求法 【例11】 已知：0123，035555，323232323，001010010001，01535353， 0235464309，其中循环小数有_ 【难度】 【答案】035555，01535353 【解析】 循环小数首先是无限小数， 其次小数部分有规律的重复出现， 0 01010010001 的小数部分有规律，但不是重复出现，所以不是循环小数 【总结】考察循环小数的判定 模块二：分数化为循环小数 知识精讲知识精讲 例题解析例题解析 6 / 17 【例12】 比

9、较大小：0.571_0572 【难度】 【答案】 【解析】小数比较大小，先比较整数部分，再比较十分位，再比较百分位，依次下去， 涉及到循环小数只有把循环节多写几节比较方法一样 【总结】考察小数比较大小方法 【例13】 将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数，并说出其 循环节 （1） 7 8 ； （2） 15 12 ； （3） 1 7 ； （4） 53 99 【难度】 【答案】 715153 =0.875=1.25 =0.142857=0.53 812799 ；，循环节略 【解析】可以将分数都化为最简分数，再来化小数，判断能否化为有限小数，再将其化 为准确的小数 【总结】考察

10、分数化小数，及循环小数的书写 【例14】 将0.12、0.21和 1 8 按从小到大的顺序排列 【难度】 【答案】 1 0.120.21 8 【解析】比较分数和小数的大小，这题统一为小数比较简便，因为 1 0.125 8 ，所以 1 0.120.21 8 【总结】考察分数与小数的大小比较 【例15】 比较大小： 7 12 _0583； 23 99 _0232323； 13 24 _054167 【难度】 【答案】； 【解析】 72313 =0.583=0.23=0.5416 129924 ； 【总结】考察分数与小数的大小比较 7 / 17 【例16】 将 9 14 ， 7 11 ， 8 13

11、按从小到大的顺序排列 【难度】 【答案】 879 131114 【解析】 978 0.6430.6360.615 141113 ；， 879 131114 【总结】考察分数化小数及大小比较 【例17】 小智和小方两人同时完成 50 道判断题，甲用了 37 60 小时，乙用了 06 小时， 那么_先完成任务 【难度】 【答案】乙先完成 【解析】甲用时 37 =0.616 60 小时，比乙多，所以乙先完成任务 【总结】考察分数与小数的大小比较 【例18】 把下列分数化成循环小数： 1 7 ， 2 7 ， 3 7 ， 4 7 ， 5 7 ， 6 7 ；你能发现这六个不同 的分数化成循环小数后之间的关

12、系吗？ 【难度】 【答案】略 【解析】因为 1234 =0.142857=0.285714=0.428571=0.571428 7777 ；5=0.714285 7 ； 6 =857142 7 这 6 个分数化为循环小数之后，循环节之间存在一定的联系，组成循环节 的 6 个数字一样，顺序一样，但组合方式不一样，确定了循环节的第一位，后面的数字 可以直接写出 【总结】考察 7 a （最简）化成小数的规律，142857 也称“走马灯数”，有兴趣的同学可 以去查阅相关资料 8 / 17 【例19】 分数 5 11 化成循环小数是_，小数点右边第 20 位上的数字是_ 【难度】 【答案】0.455；

13、【解析】0.45这个循环小数，小数部分 4545周期性的出现，奇数位上数字为 4，偶 数位上数字为 5 【总结】结合循环小数考察周期问题 【例20】 移动循环小数2.30020304的前一个循环点，使新产生的循环小数尽可能小， 这个新循环小数应是_ 【难度】 【答案】2.30020304 【解析】比较不同循环小数的大小，从数位高的开始比较，同一数位上的数字越小，该 数就越小 【总结】考察循环小数的大小比较 【例21】 循环小数0.2834与0.724在小数点后面第_位时， 在该位上的数字都是 4 【难度】 【答案】12 【解析】0.2834每 4 个数字出现数字 4，0.724每 3 个数字出

14、现数字 4，3 和 4 的最小 公倍数是 12，所以两个循环小数的小数点后面第 12 位同时出现数字 4 【总结】考察最小公倍数的应用 【例22】 如果真分数 7 x 的小数前 10 个数字之和为 46，那么 x 等于多少？ 【难度】 【答案】2x 【解析】“142857”的数字之和为 27,462719，19 由 4 个数字组成，只有 428 519，所以循环节的可以确定为“428571”， 2 =0.428571 7 ，即2x 【总结】考察考察 7 a （最简）化成循环小数的规律 9 / 17 1、 有限小数化为分数有限小数化为分数 原来有几位小数，就在 1 后面添几个零作为分母，原来的小

15、数去掉小数点作分子， 若有整数部分作为带分数的整数部分 注意：结果一定要化为最简分数 【例23】 将下列小数化成分数： 05，06，025，0125，004，005，006 【难度】 【答案】 1311113 2548252020 ； ； ； ； 【解析】一位小数 51 0.5 102 ；两位小数 251 0.25 1004 ；三位小数 1251 0.125 10008 ， 常见的小数化分数，可以让学生去背诵记忆 【总结】考察小数化分数法则，特别注意结果的最简性 【例24】 将小数 012 化为最简分数为_，将 105 化成假分数为_ 【难度】 【答案】 31 1 2520 ； 【解析】 12

16、351 0.121.0511 1002510020 ；，带小数的整数部分作为带分数的整数部分 处理 【总结】考察小数化分数法则 模块三：有限小数化为分数 知识精讲知识精讲 例题解析例题解析 10 / 17 【例25】 下列说法正确的是（ ） A任何分数都能化为有限小数 B任何有限小数都能化为最简分数 C分数 1 14 能化为有限小数 D将 212 化为分数是 3 25 【难度】 【答案】B 【解析】分数化小数的结果，一是有限小数，一是无限循环小数，所以 A 错误； 1 14 的 分母中有素因数 7，所以不能化为有限小数，所以 C 错误；212 3 2 25 ，所以 D 不对 【总结】考察分数小

17、数互化的概念辨析 【例26】 07 的倒数是_；06 的倒数是_ 【难度】 【答案】 105 73 ； 【解析】小数的倒数求法，第一步先将小数化分数，再求倒数 【总结】考察小数的倒数求法 【例27】 264 小时 = _小时；325 米 = _米（用分数表示） 【难度】 【答案】 16 2 25 ； 1 3 4 【解析】带小数化分数，注意不要遗漏整数部分，同时有具体的单位注意统一单位，这 一题没有涉及到单位换算 【总结】考察小数化分数法则 【例28】 计算：（1）025 + 3 4 ； （2）025 + 3 7 【难度】 【答案】（1）1；（2） 19 28 【解析】（1） 313 0.25+

18、1 444 ；（2） 31371219 0.25 747282828 【总结】考察分数与小数的基础混合运算 11 / 17 【例29】 求 2 2 3 加上 1 15减去 175 的差 【难度】 【答案】 127 60 【解析】列式： 2121386716072105127 2+11.752+11 3535435460606060 【总结】考察分数与小数混合运算，统一为分数还是小数根据具体情况而定 【例30】 若 5 1.8 9 ab，比较 a 与 b 的大小 【难度】 【答案】ab 【解析】等式右边变形： 45 1.81 59 bbb，所以ab 【总结】考察分数与小数互化的应用 12 / 1

19、7 【习题1】 将下列分数化为有限小数或循环小数 （1） 3 32 ； （2） 4 13 ； （3） 2 15 【难度】 【答案】（1）009375；（2）0.307692；（3）0.13 【解析】分数化小数，用分子除以分母，所得的商为结果，其中结果为循环小数时，注 意循环节的确定 【总结】考察分数化小数法则，及循环小数的书写 【习题2】 将下列小数化为最简分数 （1）026； （2）1375； （3）256 【难度】 【答案】（1） 13 50 ；（2） 3 18；（3） 14 2 25 【解析】有限小数化分数，注意法则的运用 【总结】考察有限小数化分数的法则 【习题3】 下列说法正确的是（

20、 ） A小数 0121221222是循环小数 B分数总可以化为循环小数 C02232323的循环节是“223” D循环小数不一定小于 1 【难度】 【答案】D 【解析】 注意 A 选项中的不是循环小数， 分数有化为有限小数的， 也有化为循环小数的， 循环小数有小于 1 的，也有大于 1 的，对循环小数的理解一定要全面 【总结】考察学生对循环小数的理解 随堂检测随堂检测 13 / 17 【习题4】 分数 3 7 ， 5 8 ， 7 40 ， 9 24 ， 11 35 能化成有限小数的是_ 【难度】 【答案】 579 8 40 24 ， ， 【解析】对于一个最简分数而言，分母分解素因数后，不含 2

21、、5 以外的素因数的分数 可以化为有限小数，比如 9 24 ，需要化为 3 8 ，再进行判断 【总结】考察判定可以化为有限小数的分数需要满足的条件，在判断之前，需要给学生 强调一定要化为最简分数来判断 【习题5】 无限循环小数 2 08436436的循环节是_， 用简便写法是_， 保留三位小数写作_ 【难度】 【答案】436；2.08436；2084 【解析】循环小数近似数的确定注意四舍五入法则的运用 【总结】考察循环小数的表示方法和循环小数的近似数确定 【习题6】 如果 15 x 是一个能化为有限小数的真分数，则整数 x 可以是_ 【难度】 【答案】答案不唯一 【解析】x要比 15 大，同时

22、注意分母中素因数的确定，除 2 和 5 以外最多有一个素因 数 3，因为分子中有因数 3，可以约分约掉 【总结】考察对能化为有限小数的分数的理解 【习题7】 在4.038、4.038、4.038、4.038这四个数中，最大的数是_， 最小的数是_ 【难度】 【答案】最大的数是4.038；最小的数是4.038 【解析】结合循环小数的小数大小比较，注意循环节的干扰，准确把握小数大小比较法 则即可 【总结】考察循环小数的大小比较 14 / 17 【习题8】 甲水果店的苹果 10 元 4 千克， 乙水果店的水果 18 元 7 千克， 哪一家水果 店卖的水果比较便宜？ 【难度】 【答案】甲店便宜 【解析

23、】甲店的单价：1042.5元/千克，乙店的单价：1872.57元/千克，所以甲 水果店的水果比较便宜 【总结】结合应用题考察小数大小比较 【习题9】 已知一个数与 1 6 5 的和是 825，求这个数 【难度】 【答案】这个数是 205 【解析】列式求解 1 8.2568.256.22.05 5 ，这一题化为小数计算比较简便 【总结】考察分数与小数基础混合运算 【习题10】 真分数 7 a 化为循环小数后，从小数点后第一位的数字开始连续若干个数 字之和是 1992，那么 a 是多少？ 【难度】 【答案】6a 【解析】“142857”6 个数字之和为 27，1992277321，所以这若干这数字

24、中包 含 73 个循环节，余下 21，因为 857121，所以这个循环小数的循环节为 “857142”，又因为 6 0.857142 7 ，所以6a 15 / 17 【作业1】 将下列分数化为小数，如果不能化为有限小数，将其保留 3 位小数： （1） 7 8 ； （2） 5 28 ； （3） 17 44 ； （4） 4 9 【难度】 【答案】（1）0875；（2）0179；（3）0386；（4）0444 【解析】分数化小数的基本法则：分子除以分母，所得的商为结果，不能化为有限小数 的，四舍五入法按要求保留小数位数 【总结】考察分数化小数法则 【作业2】 08 的倒数是（ ） A 4 5 B 5

25、 4 C 1 10 D8 【难度】 【答案】B 【解析】小数的倒数求解，第一步要将小数化分数，再求倒数，要求学生不能跳步 【总结】考察小数的倒数求解方法 【作业3】 下列各数中，循环小数是（ ） A0333 B03010010001 C0121212 D235 【难度】 【答案】C 【解析】理解循环小数的概念，首先得确定循环小数是无限小数，其次满足循环节依次 重复出现 【总结】考察循环小数的判定 【作业4】 将 06，016，2166 分别化为分数 【难度】 【答案】 3483 0.6=;0.16;2.1662 525500 【解析】小数化分数，注意结果的最简性 【总结】考察小数化分数的法则，

26、注意结果一定是最简分数 课后作业课后作业 16 / 17 【作业5】 在分数 7 21 、17 85 、 3 40 、 7 32 、 2 15 、 6 24 中， 能化成有限小数的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】D 【解析】 71 = 213 不能化为有限小数；17 1 0.2 855 ； 3 40 的分母 3 4052 ，可以化为有限 小数； 7 32 的分母 5 322，可以化为有限小数； 2 15 的分母中有素因数 3，不能化为 有限小数； 61 0.25 244 ，综上有 4 个分数可以化为有限小数 【总结】考察能化为有限小数的分数需满足的条件

27、 【作业6】 下列各数中，与 037 最接近的分数是（ ） A 18 49 B 19 50 C 4 11 D 5 13 【难度】 【答案】A 【解析】先将四个分数化为小数，不能化为有限小数的保留 4 位（保留位数越多，比较 越精确）， 18 0.3673 49 ， 19 0.38 50 ， 4 0.3636 11 ， 5 0.3846 13 ，比较四个小数与 037 的差，其中 03673 与 037 最接近 【总结】考察分数化小数，及分数小数的大小比较 【作业7】 把相等的两数用线连接起来： 9 11 6 25 41 27 0.81 024 8 9 0.8 1.518 【难度】 【答案】略

28、【解析】 94168 =0.81;1.518;0.24;0.8 1127259 【总结】考察分数与小数互化 17 / 17 【作业8】 将 2 5 、 17 39 、046 按从小到大的顺序排列是_ 【难度】 【答案】 217 0.46 539 【解析】 217 0.4,0.436, 539 217 0.46 539 【总结】考察分数小数互化及大小比较 【作业9】 已知 1 5 4 的 1 7 是 a， 1 7 2 减去 725 的差是 b，a _ b（填“” 或“=”） 【难度】 【答案】 【解析】 11311 5,77.25, 47424 ab 31 44 ，ab 【总结】考察基础的分数与

29、小数混合运算 【作业10】 把小数 0987654321 变成循环小数 （1） 如果把表示循环节的两个点加在 7 和 1 上面， 则此循环小数小数点后第 200 位上的数字是几？ （2）如果要使小数点后第 100 位上的数字是 5，那么表示循环节的两个点应分 别加在哪两个数字上面？ 【难度】 【答案】（1）6；（2）循环点在 5 和 1 两个数字上 【解析】（1）（2002）7282，所以最后一位是循环节的第 2 个数字 6； （2） 假设循环点在 9 和 1 上，1009 余 1，最后一个数字为 9，不符合； 假设循环点在 8 和 1 上，（1001）8 余 3，最后一个数字为 6，不符合； 假设循环点在 7 和 1 上，（1002）7 余 0，最后一个数字为 1，不符合； 假设循环点在 6 和 1 上，（1003）6 余 1，最后一个数字为 6，不符合； 假设循环点在 5 和 1 上，（1004）5 余 1，最后一个数字为 5，符合； 其它情况不用讨论，循环节中没有数字 5，那么第 100 位不可能为 5 【总结】本题综合性很强，需要学生具有分类讨论的思想意识，同时考察了周期问题的 应用