著名机构数学教案讲义六年级暑假班第8讲：分数的乘除法-教师版

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1、 1 / 21 分数的乘法和分数的除法是六年级数学上学期第二章第 2 节“分数的运算” 中的的内容， 重点是理解倒数的意义， 掌握分数的乘法和分数的除法的运算法则， 熟练分数乘除法的运算， 并学会简单的分数乘除法的应用， 难点是相关的简便运 算，同学们一定要多多练习 1、 分数与分数相乘分数与分数相乘 两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母即： pmpm qnqn （0q ，0n ） 2、 整数与分数相乘整数与分数相乘 整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分母不变即： mam a nn （0n ） 3、 分数的乘法的运用分数的乘法的运用 整数 a 的 m n

2、 可列式为： m a n （0n ）； 分数 p q 的 m n 可列式为： pm qn （0q ，0n ） 分数的乘除法 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：分数的乘法 知识精讲知识精讲 2 / 21 师生总结师生总结 1 1、分数的乘法运算应注意些什么？分数的乘法运算应注意些什么？ 【例1】 （1） 33 54 ； （2） 45 78 ； （3） 39 54 ； （4） 29 34 【难度】 【答案】（1） 9 20 ；（2） 5 14 ；（3） 27 20 ；（4） 3 2 【解析】本题考查分数乘法运算，运算法则 pmpm qnqn ，能约分先约分 【例2】 （1） 5 6 12

3、 ； （2） 11 3 6 ； （3） 1 42 2 【难度】 【答案】（1） 5 2 ；（2） 11 2 ；（3）10 【解析】 分数和整数相乘， 将整数改写成分母为 1 的分数， 同时带分数一定要先化为假分数， 再进行约分计算，比如 5565 6= 121212 ， 145 42=10 212 【例3】 （1） 23 3 54 ； （2） 26 4 37 ； （3） 52 32 713 【难度】 【答案】（1） 3 2 ；（2）4；（3）8 【解析】 （1） 232153 3= 54542 ； （2） 26146 4=4 3737 ； （3） 522628 32=8 713713 【总结】

4、本题在计算时需注意带分数先化为假分数，最终的结果一定要化简 例题解析例题解析 3 / 21 【例4】 下列运算正确的是（ ） A 48 2 510 B 236 777 C 22 88 55 D100 个 3 8 就是 3 8 的 100 倍 【难度】 【答案】D 【解析】本题主要考察对分数乘法法则的理解及运用 【例5】 5 米的 2 9 和 2 米的 5 9 （ ） A一样长 B5 米的 2 9 长 C2 米的 5 9 长 D无法比较 【难度】 【答案】A 【解析】5 米的 2 9 和 2 米的 5 9 一样长，因为 2510 5=2= 999 【总结】本题中需注意两个 2 9 的区别 【例6

5、】 小智每天早上起床后，用 2 5 小时晨练，那么一个周小智用多长时间晨练？ 【难度】 【答案】 4 2 5 小时 【解析】一周按 7 天计算，7 个 2 5 是14 4 2 55 即，所以一周用于晨练的时间是 4 2 5 小时 【例7】 正方形的边长是 3 4 米，它的周长是多少？面积是多少？ 【难度】 【答案】周长为 3 米；面积为 9 16 平方米 【解析】正方形的周长公式是=4Ca，面积公式是 2 Sa，把 3 4 a 代入计算即可，注意单 位的书写 4 / 21 【例8】 1 小时的 3 4 是_分钟；5 吨大米的 1 25 是_千克 【难度】 【答案】45；200 【解析】 3 1

6、606045 4 小时分钟，分钟； 1 5=50005000=200 25 吨千克，千克 【总结】本题考查分数乘法的基础应用 【例9】 1 2 3 可以看作是由_个 1 12 组成的分数；_个 1 6 组成分数 5 2 6 【难度】 【答案】28；17 【解析】 1 2 3 可以看作几个 1 12 组成，要用除法计算，列式 117 2=12=28 3123 ，同理 17 个 1 6 组成分数 5 2 6 【总结】本题主要判断是用分数乘法还是分数除法解决问题 【例10】 比 12 米的 1 5 少 1 2 米的线段长_米 【难度】 【答案】19 10 【解析】列式： 1119 12 5210 米

7、 【例11】 在括号中填入“” 、 “”或“=” （1） 24 35 （ ） 2 3 ； （2） 65 74 （ ） 6 7 ； （3） 315 2 526 （ ） 3 2 【难度】 【答案】； 【解析】一个大于零的数乘以一个真分数，乘积结果小于原数；乘以一个假分数，乘积结果 大于原数，第（3）题先进行计算再判断大小 5 / 21 【例12】 计算： （1） 3151 23 52618 ； （2） 473 15242 ； （3） 211 32 542 ； （4） 837 0.25 9416 【难度】 【答案】（1） 55 12 ；（2） 3 80 ；（3） 9 10 ；（4） 1 2 【解析】

8、 （1） 315113155555 23= 526185261812 ； （2） 47343733 = 1524215224280 ； （3） 21112119 323 54254210 ； （4） 8378371891 0.25() 9416941649162 【总结】第（2）题，涉及到负数，老师可以稍微拓展下有关负数运算符号的确定；第（4） 题注意小数要化分数再进行运算 【例13】 修一条公路，第一天修完全长的 1 4 ，第二天修了余下的 2 3 ，第二天修了全长 的几分之几？ 【难度】 【答案】 1 2 【解析】 第一天修了全长的 1 4 ， 余下全长的 3 4 ， 第二天修了余下的 2

9、 3 ， 也就是全长的 321 432 ， 所以第二天修了全长的 1 2 【总结】本题主要考查分数运算的应用 6 / 21 【例14】 地球上 1 千克的物体，在月球上只有 1 6 千克；小智的体重是 38 千克，如果到 了月球上，他的体重比在地球上轻了多少千克？ 【难度】 【答案】 95 3 千克 【解析】1 千克的物体在月球上只有 1 6 千克，38 千克的物体在月球上应该有 1 38 6 千克，比 他在地球上轻了 1595 383838 663 千克 【总结】本题主要考查分数运算的应用 【例15】 100 米长的绳子，先剪去它的 2 5 还多 5 米，再剪去余下的 2 5 ，还剩下绳子多

10、少 米？ 【难度】 【答案】33 米 【解析】100 米长的绳子，先剪去它的 2 5 还多 5 米，剩下 2 100(1005)55 5 米，再剪去 余下的 2 5 ，剩下 2 555533 5 米 【总结】本题主要考查分数运算的应用 【例16】 已知： 11114 3 3125 abc，并且 a、b、c 都大于 0，你能判断出 a、b、c 这三个数的大小吗？若能，请把 a、b、c 这三个数按从大到小的顺序排列，并说明理由 【难度】 【答案】acb 【解析】三个乘法算式的乘积相等，一个因数相对较大大，另一个因数就相对较小，因为 11411 3 3512 ，所以acb 【总结】本题主要是对积不变

11、性质的运用 7 / 21 【例17】 计算：1.5 0.82.2 1.12.51.8 【难度】 【答案】 8 15 【解析】原式15 8228 11251815 【总结】本题考查分数的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数，分数大小不变 【例18】 计算： 11 20062008 2006200720072008 【难度】 【答案】2 【解析】原式 11 2006200820062008 2006200720072008 20082006 20072007 20062008 2007 2 【总结】本题考查分数乘法的巧算，主要运用乘法分配律 8 / 21 1、倒数倒数 1 除以一个不为零的数得到的

12、商，叫做这个数的倒数倒数 a 的倒数是 1 a （0a ） ， p q 的倒数是 q p （0p ，0q ） 互为倒数的两个数的乘积是 1 2、 分数除法的运算法则分数除法的运算法则 甲数除以乙数（0 除外） ，等于甲数乘以乙数的倒数用字母表示就是： mpmq nqnp （0n ，0p ，0q ） 3、 分数的除法的运用分数的除法的运用 已知某数的 m n 等于 a，则：某数 = m a n 【例19】 写出以下各数的倒数： 2 3 、 12 5 、7、 1 2 3 、n（0n ） 【难度】 【答案】 3513 1 2 12 77n ； ； ； ； 【解析】0 没有倒数， 1 (0) nm a

13、 a a mn 的倒数是， 的倒数是 【总结】本题主要考查倒数的概念 模块二：分数的除法 知识精讲知识精讲 例题解析例题解析 9 / 21 【例20】 填空： （1） 454 969 ； （2） 14143 15154 ； （3） 335 853 ； （4） 11110 10211 【难度】 【答案】 6 4 3 1 5 3 8 2 ； 【解析】 除以一个数等于乘以这个数的倒数， 其中特别注意是除数变倒数被除数不变， 第 （3） （4）题学生易错 【总结】本题主要考查分数的除法法则 【例21】 计算： （1） 54 45 ； （2） 5 7 28 ； （3） 5 105 9 ； （4） 11

14、18118； （5） 32 2 73 ； （6） 11 31 46 【难度】 【答案】（1） 25 16 ；（2） 5 196 ；（3）19 9 ；（4） 324 29 ；（5） 51 14 ；（6） 39 14 【解析】 （1） 545525 454416 ； （2） 5515 7 28287196 ； （3） 595119 105 9959 ； （4） 1118324 18 118 182929 ； （5） 3217351 2 737214 ； （6） 1113639 31 464714 【总结】本题主要考查分数的除法运算，若有带分数时一定要先化为假分数再进行运算 师生总结师生总结 1 1

15、、分数的除法运算应注意些什么？分数的除法运算应注意些什么？ 10 / 21 【例22】 解方程： （1） 5 15 7 x ； （2） 79 1814 x 【难度】 【答案】（1）21x ；（2） 81 49 x 【解析】解方程的步骤和普通方程一样，注意加减乘除的关系式变换，比如一个因数等于乘 积除以另一个因数等 【总结】本题主要考查含分数的运算在解方程中的应用 【例23】 1 4 中包含_个 1 100 ； 3 3 4 由_个 3 8 组成 【难度】 【答案】（1）25；（2）10 【解析】 1 4 中包含几个 1 100 ； 3 3 4 由几个 3 8 组成， 列式都是除法运算， 1133

16、 25;310 410048 【总结】本题主要考查分数除法的基础应用 【例24】 如果 8 是某数的 1 5 ，那么某数是_ 【难度】 【答案】40 【解析】文字题的解答，主要是判断用乘法还是除法，某数的 b a 是x，求某数： b x a 【总结】已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法 【例25】 下列各种表达正确的是（ ） A真分数的倒数一定是假分数 B假分数的倒数一定是真分数 C任何不等于 0 的数的倒数都大于这个数 D正整数的倒数一定是真分数 【难度】 【答案】A 【解析】B、C、D 的特例都是“1” ，假分数的值大于或等于 1，1 的倒数是它本身 【总结】本题主要是考查概念的辨

17、析题 11 / 21 【例26】 如果一节课的时间是 3 4 个小时，那么_节课的时间是 6 小时 【难度】 【答案】8 节 【解析】 3 6=8 4 【总结】本题主要考查分数除法的应用 【例27】 如果 x 是 y 的 3 5 ，则 y 是 x 的_ 【难度】 【答案】 5 3 【解析】 考查分数的意义， 甲数是乙数的几分之几， 甲数除以乙数， 乙数是甲数的几分之几， 乙数除以甲数，所以结果是互为倒数的 【例28】 计算： （1） 1143 21 3155 ； （2） 13 85 316 ； （3） 313 212 555 ； （4） 15 1141 49 【难度】 【答案】（1）4；（2）

18、 9 32 ；（3） 169 30 ；（4） 5 36 【解析】 （1） 11437158 214 31553145 ； （2） 13339 858 316161632 ； （3） 31313651313169 212( 55555135630 ）； （4） 1559515 1141(14) 494144936 【总结】本题主要考查分数乘除混合运算，第（3） （4）题需要注意运算顺序 12 / 21 【例29】 小智想去看电影功夫熊猫 ，他家距离电影院 4 3 7 千米，他计划用 4 7 个小时 骑自行车到达电影院那么小智骑自行车的平均速度是每小时多少千米？ 【难度】 【答案】 25 4 千米

19、每时 【解析】速度路程时间， 4425 3= 774 ，所以平均速度是每小时 25 4 千米 【总结】本题主要是利用分数的除法解决实际问题 【例30】 小方在做分数除法练习时， 把 “除以 2 3 ” 错写成 “除以 3 2 ” ， 得到的答案是 5 12 ， 你能告诉小方这道题的正确答案吗？ 【难度】 【答案】 15 16 【解析】 先按照小方的理解计算出被除数，5 35 = 1228 ， 再计算正确答案，5 25315 = 838216 【总结】本题考查分数运算的综合应用 【例31】 已知 m 的倒数是 1 3 ，n 的倒数是 2 2 3 ，求 m+n 的倒数 【难度】 【答案】 8 27

20、 【解析】 因为 m 的倒数是 1 3 ，n 的倒数是 2 2 3 ，所以 3 3 8 mn， 所以 338 313 8827 mnmn，的倒数： 【总结】本题主要是对倒数概念的考查 13 / 21 【例32】 计算： 19191919191919 97979797979797 【难度】 【答案】2 【解析】原式 1919 10119 1010101 () 9797 10197 1010101 191919 () 979797 1 1 2 【总结】 本题主要考察分数运算的巧算， 需要学生能够利用分数的基本性质来化简比较 复杂的分数 14 / 21 【习题1】 1 4 4 的倒数是_； 11 3

21、14是_的倒数 【难度】 【答案】 414 1753 ； 【解析】本题考察倒数的求法 【习题2】 已知甲数乘以乙数（乙数大于零）的积大于乙数，那么（ ） A乙数一定小于 1 B甲数一定小于 1 C乙数一定大于 1 D甲数一定大于 1 【难度】 【答案】D 【解析】本题需要学生理解并运用“在正数范围内，一个数乘以一个大于 1 的假分数，所得 的结果大于原数” 【习题3】 1 吨甘蔗可制糖 4 15 吨， 125 吨甘蔗可制糖_吨； 要制糖 160 吨， 需要_ 吨甘蔗 【难度】 【答案】100,600 3 【解析】每吨甘蔗可制糖 4 15 吨，125 吨甘蔗可制糖 4100 125= 153 吨

22、；制糖 1 吨需要 15 4 吨甘 蔗，制糖 160 吨需要 15 160=600 4 吨甘蔗 【总结】本题考查学生对应用题的逻辑理解能力 随堂检测随堂检测 15 / 21 【习题4】 （1）任何不等于 0 的数乘以它的倒数，所得的积是_； （2）任何正数乘以一个真分数，所得的积一定_原数（填“” “”或“=” ） 【难度】 【答案】（1）1；（2） 【解析】互为倒数的两个数积为 1；任何正数乘以真分数，即比原数小，乘以一个大于 1 的 假分数，积比原数大 【习题5】 计算： （1） 157 412 189 ； （2） 18 125 39 ； （3） 532 231 845 ； （4） 994

23、 1 201015 【难度】 【答案】（1） 29 56 ；（2）2；（3） 1 2 ；（4） 2 15 【解析】 （1） 157879129 412= 1891871256 ； （2） 1838 125122 39169 ； （3） 53221451 231 84581572 ； （4） 994142 1(1) 20101521515 【总结】本题考查分数乘除法的混合运算 【习题6】 绳子剪去 10 16 后，剩下 16 10 米，原本绳子长_米 【难度】 【答案】 64 15 【解析】 一根绳子剪去10 16 ，还剩下全长的 6 16 ，即 3 8 ，全长的 3 8 是16 10 米，所以

24、原长为 16364 = 10815 米 【总结】本题主要是考查分数运算的应用 16 / 21 【习题7】 一根竹竿长 1 3 2 米，垂直插入河底泥中 3 4 米，露出水面 5 8 米，那么这条河的水 的深度是这根竹竿长的几分之几？ 【难度】 【答案】 17 28 【解析】竹竿长被分成三部分，插入泥底部分、水深、露出水面部分，所以水深为 13517 3 2488 米，占竹竿长的几分之几， 17117 3 8228 【总结】本题主要是考查分数运算的应用，注意求一个数是另一个数的几分之几，用除法 【习题8】 海象的寿命大约是 40 年， 海狮的寿命是海象的 3 4 ， 海豹的寿命是海狮的 2 3

25、海 豹的寿命大约是多少年？ 【难度】 【答案】20 年 【解析】列式 32 4020 43 ，所以海豹的寿命大约是 20 年 【总结】本题主要是考查分数运算的应用 【习题9】 以下两种做法： 120 米增加其 1 4 ； 220 米增加 1 4 米，这两种做法最后的结果 哪一种更长，并说明理由 【难度】 【答案】第 1种更长，20 米增加其 1 4 为 1 202025 4 米；20 米增加 1 4 米，为 1 20 4 米，所 以第 1种更长 【解析】 20 米增加其 1 4 为 1 202025 4 米； 20 米增加 1 4 米， 为 1 20 4 米， 所以第 1种更长， 【总结】本题

26、的关键时要理解题中的两个 1 4 分别表示的意义，不带单位的分数和带单位的 分数表示的意义是不一样的，在做题时要注意区分 17 / 21 【习题10】 计算： （1）2.25 4.2 6.32.1 0.7 1.5； （2） 191919128128 288288919191 【难度】 【答案】（1）27；（2） 76 819 【解析】 （1）原式(2.25 1.5)(4.22.1)(6.30.7) 1.529 27 （2） 原式 19 10101128 1001 288 100191 10101 19128 28891 76 819 【总结】在一些分数的计算题中，注意巧算思想的运用 18 /

27、21 【作业1】 下列说法中正确的个数是（ ） 1任何一个数都有倒数；2乘积为 1 的两个数互为倒数； 3 1 13的倒数是 3； 4若 m 是整数，则 m 的倒数是 1 m A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】A 【解析】只有 2是正确的，0 是没有倒数，当m为 0 时，4是不正确的 【总结】本题主要考查倒数的概念 【作业2】 4 5 米的钢材的质量为 2 25 吨，1 米长的钢轨的质量为_吨，1 吨重的钢材 长_米 【难度】 【答案】 1 ;10 10 【解析】1（每）米长的钢轨重多少吨，用总吨数除以总长度；1（每）吨重的钢材长几米， 用总长度除以总吨数，理解了这个逻

28、辑关系，列出正确的式子解答即可 【总结】本题主要是利用分数的除法解决实际问题 【作业3】 甲、乙两个长方体，若甲的长、宽、高是乙长方体的 1 3 ，那么甲长方体的体积 是乙体积的_ 【难度】 【答案】 1 27 【解析】长方体的体积长宽高，甲的长、宽、高是乙长方体的 1 3 ，则甲的体积是乙的 1111 33327 【总结】本题考查分数的运算的应用 课后作业课后作业 19 / 21 【作业4】 计算： （1） 81 13 1 1545 ； （2） 31513 62 81716 ； （3） 115 81 41113 ； （4） 2371 41 5453 【难度】 【答案】（1） 1 2 ；（2）

29、2；（3） 117 5 ；（4）4 【解析】 （1） 81231451 13 1 1545153462 ； （2） 31513511516 622 8171681745 ； （3） 115331213117 81 4111341155 ； （4） 23712247442274 41()34 545353533553 【总结】本题主要考学生的运算能力，要求熟练运用分数乘除运算法则 【作业5】 一根电线长 24 米，截去 1 3 ，再接上 1 3 米，这时的电线长_米 【难度】 【答案】 1 16 3 米 【解析】列式为 111 242416 333 米 【总结】本题考查分数运算的应用，审题是关键

30、，题中的两个 1 3 表示的意义不一样 【作业6】 小智用 4 15 小时可以走 4 9 千米的路程，小智现在要走去 1 2 3 千米外的书店，那 么他要用多长时间？ 【难度】 【答案】 7 5 小时 【解析】首先求小智的速度， 445 9153 千米每时，现在要走 1 2 3 千米，需要的时间是 157 2= 335 小时 【总结】本题考查分数运算的应用 20 / 21 【作业7】 已知 3 7 的倒数为 m，n 的倒数为 3 7 ，求 mn 的倒数 【难度】 【答案】 9 49 【解析】由题意得 7749 339 mnmn，那么mn的倒数为 9 49 【总结】本题主要考查倒数的概念 【作业

31、8】 某数减去它的 3 4 ，再减去 3 4 ，所得的差的 2 1 3 是 5 6 ，求这个数 【难度】 【答案】这个数是5 【解析】设这个数为x，由题意，得 3325 () 1 4436 xx，解得5x 【总结】本题是对分数运算的综合运用 【作业9】 计算： 124 1.22.44.824 8 11 11 11 139 1.2 3.6 10.82 6 18 11 11 11 【难度】 【答案】 8 27 【解析】原式 111 1.2(1.22)(1.24)24 8(2)(4) 111111 111 1.2(1.2 3)(1.2 9)2(2 3)(2 9)(3)(9) 111111 33 33

32、 1 24 1.28() 11 1 3 9 1.28() 11 8 27 【总结】本题主要考查分数运算的综合运用 21 / 21 【作业10】 23419951996 12319941995 34519961997 12319941995 35739893991 34519961997 【难度】 【答案】 1 2 【解析】原式 11111 23419951996 34519961997 22222 46839903992 34519961997 （注意观察，分母中的每一项都是分子中对应项的 2 倍，所以分母提取公因数 2 后，剩 余部分就和分子一样了，约分之后值为 1 2 ） ，所以原式 1 2 【总结】本题主要考查学生的综合运算能力，巧算中的拆分思想很重要