著名机构数学教案讲义六年级暑假班第3讲：分解素因数（二） - 教师版

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1、 1 / 16 分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的 概念以及分解素因数， 公因数与最大公因数， 公倍数与最小公倍数这三大块内容， 这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公 倍数在实际问题中的综合运用 通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠 定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣 1、公倍数与最小公倍数、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数最小公倍数 2、最小公倍数的求法、最小公倍数的求法 求两个整数的最小

2、公倍数， 只要取它们所有公有的素因数， 再取它们各自剩余的素因数， 将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数 分解素因数（二） 知识结构知识结构 模块一：公倍数与最小公倍数 知识精讲知识精讲 内容分析内容分析 2 / 16 【例1】用短除法求 18 和 24 的最大公因数和最小公倍数 【难度】 【答案】6； 72 【解析】 2 18 24 3 9 12 3 4 18 与 24 的最大公因数是 2 3=6；最小公倍数是 2 3 3 4=72 【总结】本题考察了用短

3、除法求两个数的最大公因数和最小公倍数 【例2】用分解素因数的方法求 24 和 90 的最大公因数和最小公倍数 【难度】 【答案】6； 360 【解析】因为 24=2 2 2 3，90=2 3 3 5； 所以 18 与 24 的最大公因数是 2 36；最小公倍数是 2 2 2 3 3 5=360 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数 【例3】求下列各组数的最小公倍数 （1） 8 和 15； （2）9 和 45； （3）19 和 21 【难度】 【答案】（1）8 和 15 的最大公因数是 1；8 和 15 的最小公倍数是 120； （2）9 和 45 的最大公因数是 9

4、；9 和 45 的最小公倍数是 45； （3）19 和 21 的最大公因数是 1；19 和 21 的最小公倍数是 399 【解析】 （1） （3）互素的两个数最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积； （2） 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法 例题解析例题解析 3 / 16 【例4】若223 5m ，23 37n ，则 m、n 的最小公倍数为_ 【难度】 【答案】1260 【解析】m、n 的最小公倍数是： （2 3） 2 5 3 7=1260 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最

5、小公倍数 【例5】求 10，12 和 15 的最小公倍数 【难度】 【答案】60 【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1 10、12、15 的最小公倍数是：2 3 5 1 2 1=60 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法 【例6】已知三个连续奇数的和是 15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【难度】 【答案】105 【解析】设三个数为22nnn， ， 则：2215nnn 解得：5n ，这三个数是：3，5，7 3、5、7 的最小公倍数是：3 5 7=105 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法 师生总结师生总结 1、求最小公

6、倍数的方法有哪些？求最小公倍数的方法有哪些？ 2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不 同？同？ 4 / 16 【例7】两个数的积是 144，它们的最小公倍数是 36，这两个数各是多少？ 【难度】 【答案】4 和 36 【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是 4； 设这两个数是 4a，4b(a、b 互素)，则44144ab 所以9ab 因为 a、b 互素，所以 a=1 4=4，b=9 4=36 即这两个数是 9、36 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公 倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积 【例

7、8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每 6 天去超市购物一次，乙每 7 天去同一家超市 购物一次， 元旦这一天两户人家都去这家超市购物， 再经过多少天他们又会在同一天都去超 市？ 【难度】 【答案】42 天 【解析】6 与 7 的最小公倍数是 42 答：再经过 42 天他们又会在同一天都去超市 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是 24，则这三个连续偶数分别是什么？ 【难度】 【答案】4，6，8 【解析】设这三个数是22222nnn，； 2 若 n 为奇数，则11nn， 是偶数， 2 则： (1)(1) 2224 22 nn n 解得：3n ，这三个数是

8、 4，6，8 若 n 为偶数，则11nn， 是相邻奇数， 则： 2 (1)(1)24nnn 此方程无解； 这三个数是 4，6，8 【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法 22222nnn 11nnn 2 1 2 1n n n 5 / 16 【例10】3 月 12 日植树节，六（2）班同学在 400 米跑道的一侧每隔 4 米种一棵树，当 种好第 31 棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔 6 米种一棵树，那么有多少 棵树不需要移动呢？ 【难度】 【答案】11 棵 【解析】4 (31-1)=120 米，而 4 与 6 的最小公倍数是 12， 120 12+1=11 棵 答：有 11 棵树

9、不需要移动 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【例11】幼儿园一个班买书，如买 35 本，平均分给每个小朋友差一本；如买 56 本，平均分 给每个小朋友后还剩 2 本；如买 69 本，平均分给每个小朋友则差 3 本这个班的小朋 友最多有几人？ 【难度】 【答案】18 人 【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而 36、54、72 的最大公因数是 18 答：这个班的小朋友最多有 18 人 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用 【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组， 甲组人员做桌子，每人每天可以做 6 张桌子；乙组每人每

10、天可以做 9 把椅子，为了使生 产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因 素） 【难度】 【答案】5 人 【解析】因为 6 与 9 的最小公倍数是 18，所以 18 6+18 9=5 人 答：该车间至少安排 5 个人 【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用 6 / 16 1、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系两数的最大公因数与最小公倍数的关系 已知数 a 和数 b，两数的最大公因数为 m，最小公倍数为 n，则：abmn 【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数 （1）48 和 18； （2）27 和 81 【难度】 【答案】（1）48，1

11、8 的最大公因数是 6，最小公倍数是 144； （2）27，81 的最大公因数是 27，最小公倍数是 81 【解析】 （1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法， （2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数 【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法 【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数 （1）4、8 和 12； （2）15、75 和 90 【难度】 【答案】（1）4，8，12 的最大公因数是 4，最小公倍数是 24； （2）15，75，90 的最大公因数是 15，最小公倍数是 450 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得； 【总结】本

12、题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法 【例15】如果甲数235 ，乙数237 ，那么甲数与乙数的最大公因数是_， 最小公倍数是_ 【难度】 【答案】6， 210； 【解析】最大公因数是：2 3=6；最小公倍数是： （2 3） 5 7=210 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 模块二： 最大公因数与最小公倍数综合 7 / 16 【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是 3，最小公倍数是 30，甲数是 6，乙数是多少？ 【难度】 【答案】15 【解析】 设另一个数是 x， 则：6 x =3 30 解得：x=15 答：乙数是

13、 15 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公 倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积 【例17】判断下列说法是否正确，对的打“”，错的打“”，并说明理由 （1）两个数的公倍数的个数是有限的 ( ) （2）30 是 15 和 10 的最小公倍数 ( ) （3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这 两个数的最小公倍数 ( ) （4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大 ( ) 【难度】 【答案】（1） ；（2）；（3）；（4） 【解析】 （1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；

14、 （2）正确； （3）正确； （4）正确； 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念 【例18】两个数的最大公因数是 4，最小公倍数是 252，其中一个是 28，另一个是多少？ 【难度】 【答案】另一个数是 36 【解析】 设另一个数是 x，则：28x=4 252 解得：x=36 答：乙数是 36 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公 倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积 8 / 16 【例19】先求出 8 和 10 的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘， 再把 8 和 10 相乘，你发现了什么？ 请用你所发

15、现的规律接下面的问题： （1）甲、乙两数的最大公因数是 3，最小公倍数是 30，已知甲数是 6，那么乙数是多少？ （2）甲、乙两数的最大公因数是 3，最小公倍数是 90，已知甲数是 18，那么乙数是多少？ 【难度】 【答案】8，10 的最大公因数是 2，最小公倍数是 40，而 8 10=80； 规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积 （1）15； （2）15 【解析】 （1）设另一个数是 x，则：6x=3 30 解得：x=15 答：乙数是 15 （2）设另一个数是 x，则：18x=3 90 解得：x=15 答：乙数是 15 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数

16、和它们乘积的关系：两个数的最小公 倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积 【例20】已知两个数的最大公因数是 6，最小公倍数是 144，求这两个数的和是多少？ 【难度】 【答案】120 或 66 【解析】设这两个数是 6a，6b(a、b 互素)，则：6ab=144 ab=24=1 24=3 8； 当 a=1，b=24，这两个数是 6、144，和为：6+144=120； 当 a=3，b=8，这两个数是 18、48，和为：18+48=66； 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念 【例21】两个数的最小公倍数是 140，最大公因数是 4，且小数不能整除大数，这两个数分 别是多

17、少？ 【难度】 【答案】20 和 28 【解析】设这两个数是 4a，4b(a、b 互素)，则：4ab=140 ab=35=1 35=5 7，小数不能整除大数 a=5，b=7，这两个数是 20、28 9 / 16 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念 【例22】在长 15 千米的公路一边，等距离种树（两端都种） ，开始每隔 10 米种一棵，后 来改成每隔 12 米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 【难度】 【答案】26 棵 【解析】1.5 千米=1500 米， 10 与 12 的最小公倍数是 60， 1500 60+1=26 棵 答：有 26 棵树不需要移动 【总结】本题考察

18、了两个数的最小公倍数的应用 【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张如果已知x、y、z的 最小公倍数为 60，x和y的最大公因数为 4，y和z的最大公因数为 3，那么张三发出 的新年贺卡共有多少张？ 【难度】 【答案】20 或 4 【解析】设4123xaybzc，（a，b，c 为素数） ，则 12abc=60 所以 abc=5=1 1 5 （1）a=5，这三个数是 20，12，3； （2）b=5，这三个数是 4，60，3； （3）c=5，这三个数是 4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为 20 张或 4 张 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念

19、 【例24】甲、 乙、 丙三人绕操场竞走， 他们走一圈分别需 1 分钟、 1 分 15 秒、 1 分 30 秒 问： 三人同时从起点出发， 多长时间后他们又在起点相会？ （从起点出发后最近的一次相会） 【难度】 【答案】15 分钟 【解析】1 分钟=60 秒，1 分 15 秒=75 秒，1 分 30 秒=90 秒； 60、75、90 的最小公倍数为 900，而 900 秒=15 分钟 答：15 分钟后他们又在起点相会 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 10 / 16 【习题1】如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是_，最小公倍数是_ 【难度】 【答案】b， a 【解析】两个数成

20、倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法 【习题2】自然数b的最小倍数_它的最大约数 （填大于、小于或等于） 【难度】 【答案】等于 【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等； 【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念； 【习题3】11 和 15 的最大公因数是_，最小公倍数是_ 【难度】 【答案】1； 165 【解析】互素的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积； 【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法 【习题4】求 2520 和 5940 的最大公因数和最小公倍数

21、 【难度】 【答案】最大公因数是 180，最小公倍数是 83160 【解析】因为 2520=2 2 2 3 3 5 7； 5940=2 2 3 3 3 5 11； 所以 2520 与 5940 的最大公因数是：2 2 3 3 5=180； 最小公倍数是： （2 2 3 3 5） 2 7 3 11=83160 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数 随堂检测随堂检测 11 / 16 【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走 9 分钟亮一次灯，已知中午 12 时整，它既 响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？ 【难度】 【答案】15:00 【解析】 因为

22、60 与 9 的最小公倍数是 180，而 180 分钟=3 小时，12+3=15 答：那么下一次既响铃又亮灯在 15:00 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是 33，求这两个数的和 【难度】 【答案】34 或 14 【解析】因为 33=1 33=3 11 （1）这两个数可能是 1 和 33，此时和为 34； （2）这两个数可能是 3 和 11，此时和为 14； 【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法 【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车如果 地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少

23、再过多少时间它们又同时发车？ 【难度】 【答案】15 分钟 【解析】 3 与 5 的最小公倍数是 15 答：至少再过15分钟它们又同时发车 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【习题8】用 96 朵红花和 72 朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也 相同，每个花束里至少有几朵花？ 【难度】 【答案】7 朵 【解析】因为 96 与 72 的最大公因数是 24， 所以（96+72） 24=7 朵 答：每个花束里至少有 7 朵花 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用 12 / 16 【习题9】若一块长方形绿地，长 120 米，宽 30 米，要在它的四周和四个角种树，且

24、每相邻 两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？ 【难度】 【答案】10 棵 【解析】120 与 30 的最大公因数是 30，2（120+30） 30=10 棵 答：最少需要种 10 棵树 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用 【习题10】被 10 除余 2，被 11 除余 3，被 12 除余 4，被 13 除余 5 的最小自然数是多少？ 【难度】 【答案】8572 【解析】由题意可知：这个自然数加 8 是 10、11、12、13 的公倍数； 又 10、11、12、13 这四个数的最小公倍数是 8580，所以 8580-8=8572 答：这个自然数最小是 8572 【总结】本题考察

25、了两个数的最小公倍数的应用 【习题11】一筐苹果，2 个一拿，3 个一拿，4 个一拿，5 个一拿都正好拿完而没有剩余， 那么这筐苹果最少应有多少个？ 【难度】 【答案】60 个 【解析】2、3、4、5 这四个数的最小公倍数是 60 答：这筐苹果最少应有 60 个 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【习题12】小明 7 月和 8 月参加了钢琴和美术的培训， 两项培训都是从 7 月 1 日开始， 钢琴 课每上一次休息 4 天， 美术课每上一次休息 6 天， 请问整个暑假中有几天是两项培训在 同一天进行的？ 【难度】 【答案】12 天 【解析】4 与 6 的最下公倍数是 12，31212=

26、52 答：整个暑假中有 5 天是两项培训在同一天进行的 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 13 / 16 【作业1】写出下列各组数的最小公倍数： 1 与 299（ ） 12 与 36（ ） 12 与 13（ ） 13 与 52（ ） 10 与 14（ ） 21 与 49（ ） 6 与 15（ ） 22 与 66（ ） 25 与 35（ ） 【难度】 【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175； 【解析】 略 【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法： 互素两数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积； 成倍数的两个数，最大公因数是

27、较小数，最小公倍数是较大数； 一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法； 【作业2】用分解素因数的方法求 18 和 30 的最大公因数和最小公倍数 【难度】 【答案】6， 90 【解析】因为 18=2 3 3； 30=2 3 5； 所以 18 与 30 的最大公因数是 2 3=6，最小公倍数是 2 3 3 5=90； 【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数 【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数 （1） 36 和 84； （2）12，15 和 18 【难度】 【答案】（1）36 与 84 的最大公因数是 12，最小公倍数是 252； （2）12、15、18 的最

28、大公因数是 3，最小公倍数是 180 【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得 【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法： 课后作业课后作业 14 / 16 【作业4】已知甲数3 57A ，乙数37A，若甲、乙两数的最大公因数是 42，求A 的值 【难度】 【答案】2 【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3 7 A=42， 解得：A=2 【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数 【作业5】已知两个数的积是 100，它们的最大公因数是 5，试求这两个数的最小公倍数 【难度】 【答案】20 【解析】 设这两个数的最小公倍数是 x， 则：5x=100 解得：

29、x=20 答：这两个数的最小公倍数是 20 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公 倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积 【作业6】两个数的最大公因数是 42，最小公倍数是 2940，且这两个数的和是 714，这两个 数各是多少？ 【难度】 【答案】这两个数是 420 和 294 【解析】设这两个数是 42a，42b(a、b 互素)， 则：42ab=2940，42（a+b）=714 ab=70，a+b=17 a=7，b=10，这两个数是 420、294 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念 15 / 16 【作业7】有铅笔 4

30、33 支、橡皮 260 块，平均分配给若干学生学生人数在 3050 之间，最 后剩余铅笔 13 支、橡皮 8 块，问学生究竟有多少人？ 【难度】 【答案】42 人 【解析】433-13=420，260-8=252，而 420 与 252 的最大公因数是 84 又学生人数在 3050 之间，84=2 42 答：学生有 42 人 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用 【作业8】若一个正整数加上 3 能被 15 和 20 整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？ 【难度】 【答案】57 【解析】因为 15 与 20 的最小公倍数是 60， 所以 603=57 答：符合条件的数中最小的数是 57

31、 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【作业9】一筐苹果有 500 多个，每次拿 3 个，每次拿 4 个，每次拿 5 个都恰好多一个，这 筐苹果共有多少个？ 【难度】 【答案】60 个 【解析】3、4、5 的最小公倍数是 60，而苹果有 500 多个， 所以 60 9=540 个 答：这筐苹果共有 540 个 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 16 / 16 【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是 60 米，现在要改为 45 米，如果起点的一 根不动，再过多远又有一根不动？ 【难度】 【答案】180 米 【解析】60 与 45 的最小公倍数是 180 答：再过 180 米又

32、有一根不动 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每 8 分钟发一辆车，第二条每 10 分钟发一辆 车，第三条每 16 分钟发一辆车，早上 6:00 三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最 后一辆车是 20:00求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻 【难度】 【答案】19:20 【解析】8、10、16 这三个数的最小公倍数是 80 （20-6） 60=840 分钟 84080=1040 分钟 答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是 19:00 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用 【作业12】数 23 具有下列性质：被 2 除余 1，被 3 除余 2，被 4 除余 3，求具有这种性质的 最小三位数 【难度】 【答案】11 【解析】由题意可知：这个自然数加 1 是 2、3、4 的公倍数； 又 2、3、4 的最小公倍数是 12 12-1=11 答：这个自然数最小是 11 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用