著名机构数学教案讲义六年级暑假班第1讲 ：整数和整除 - 教师版

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1、 1 / 22 整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容， 主要对整数的分类和整 除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结通过 这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据， 另一方面也为后 面学习有理数奠定基础 1、整数的意义和分类、整数的意义和分类 （1）自然数：零和正整数统称为自然数自然数； （2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数整数 正整数 自然数 整数 零 负整数 整数和整除 知识结构知识结构 模块一： 整数的意义和分类 知识精讲知识精讲 内容分析内容分析 2 / 22 【例1】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确） （1

2、）最小的自然数是 1 ； （2）最小的整数是 0； （3）非负整数是自然数； （4）有最大的正整数，但没有最小的负整数； （5）有最小的正整数，但没有最大的负整数 【难度】 【答案】（1） ；（2） ；（3）；（4） ；（5） 【解析】（1）错误，最小的自然数是 0； （2）错误，不存在最小的整数； （3）正确； （4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数； （5）错误，最小的正整数是 1，最大的负整数是1 【总结】本题主要考查与整数有关的概念 【例2】把下列各数放入相应的圈内： 15，1，0.2，0，63，0.7，13，0.2323， 3 5 整数 自然数 正整数 负整数 【难度】

3、【答案】整数：15，1，0，63，13； 自然数：15，0，13； 正整数：15，13； 负整数：1，63 【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零 【总结】本题主要考查整数的分类 例题解析例题解析 3 / 22 【例3】（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系； （2）试比较正整数、负整数、零的大小； （3）试比较负整数、自然数的大小 【难度】 【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零； （2）正整数大于 0，负整数小于 0，正整数大于负整数； （3）自然数大于负整数； 【解析】略； 【例4】五个连续的自然数，已知中间数是a，那么其余四个数

4、分别是_、_、 _、_若这五个连续自然数的和是 20，试求这五个数 【难度】 【答案】2112aaaa、 这五个数是：2、3、4、5、6 【解析】列方程：(2)(1)(1)(2)20aaaaa 解得：4a 这五个数是：2、3、4、5、6 【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数 【例5】有三个自然数，其和是 13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求： 152 ，试求这三个自然数 【难度】 【答案】3，10，0 【解析】设这三个数分别为1k ，5k，2k ； 则15213kkk 解得：2k 这三个数是 3，10，0 【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用

5、不同的形式去表示 4 / 22 1、整除的意义、整除的意义 整数a除以整数b， 如果除得的商是整数而余数为零， 我们就说a能被b整除； 或者说b 能整除a 【例6】老师问：“当4.5a 时，0.9b 时，a能被b整除吗？” 一个同学回答：“因为商是5，是整数，所以a能被b整除” 你认为对吗？ 【难度】 【答案】不对 【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是 0，忽略了对被除数、除数的要求； 【总结】本题主要考查整除所满足的条件 【例7】下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“”，不 能整除的打“” 18 和 9（ ） 15 和

6、30（ ） 04 和 4（ ） 14 和 6（ ） 17 和 35（ ） 9 和 05（ ） 【难度】 【答案】横向： 【解析】整除的意义：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能 被b整除；或者说b能整除a只有 18 和 9 满足； 【总结】本题主要考查整除所满足的条件 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 模块二：整除的意义 师生总结师生总结 1、整除整除的条件是什么的条件是什么？ 2、“a 能整除能整除 b”与“”与“a 能被能被 b 整除”的区别是什么？整除”的区别是什么？ 5 / 22 【例8】已知下列除法算式： 577=81； 21 7=3； 22 0.2=110

7、； 22 5=4.4； 0 3=0； 2 4=0.5 （1）表示能除尽的算式有哪几个？ （2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？ 【难度】 【答案】（1）21 7=3； 22 0.2=110； 22 5=4.4； 0 3=0； 2 4=0.5 （2）21 7=3； 0 3=0 【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零； 【总结】本题主要考查整除和除尽的区别 【例9】把表示下列算式的序号填入适当的空格内 （1）30 10； （2）7 25； （3）35 01； （4）18 3； （5）04 2； （6）39 03； （7）27 9； （8）16 4 除数能整除

8、被除数的：_； 能够除尽的：_ 【难度】 【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）； 能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零； 【总结】本题主要考查整除和除尽的区别 师生总结师生总结 1、整除与除尽有什么相同点？整除与除尽有什么相同点？ 2、除与除尽有什么不同点？除与除尽有什么不同点？ 6 / 22 【例10】若两个整数a、b (ab)都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？ 为什么？ 【难度】 【答案】能，原因略； 【解析】设amc，bnc（mn、是整数，且mn）；

9、 则：()abmn c； ()abmn c； abmnc； 它们的和、差、积也能被 c 整除 【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用 【例11】一个两位数，能被5整除，其个位数字减十位数字的差是正整数中最小的偶数，求 这个两位数 【难度】 【答案】35 【解析】能被 5 整除的数字，位数是 0 或 5；个位数字减十位数字的差是 2，说明个位不能 是 0，所以个位数字是 5，十位数字是 3，这个两位数是 35 【总结】本题主要考查能被 5 整数的数的特征 【例12】15 支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止 1 支，并且正好分完，可以分给 几个人？每人几支？有几种分法？ 【难度】 【答案

10、】两种分法：（1）3 个人，每人 5 支；（2）5 个人，每人 3 支 【解析】将 15 分解可得：151 153 55 315 1 题目要求每人不止 1 支，排除掉 1 和 15，故有两种分法： （1）3 个人，每人 5 支；（2）5 个人，每人 3 支 【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题 7 / 22 【例13】2015 年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明 年呢？我们能否不查日历，就能知道 2016 年的教师节是星期几呢？ 【难度】 【答案】星期六 【解析】2016 是闰年，故 2016 年的二月有 29 天，2015 年的教师节与 2016 年的

11、教师节 间隔 366 天，则：3667522， 2016 年的教师节是星期四后面两天，是星期六 【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题 【例14】学校有 10 个兴趣小组，各组的人数如下表： 一天下午， 学校同时举办语文写作和英语听力两个讲座， 已知有 9 个小组去听讲座， 其中听英语讲座的人数是听语文讲座人数的 6 倍，还剩下一个小组在教室里讨论问题， 这一组是第几组？ 【难度】 【答案】第 6 组 【解析】设听语文讲座的人数为x，那么听英语讲座的人数为6x， 则在教室里的一组人数为(827 ) x人； 由已知得：382713x，且827x为整数 解得： 62 911 77 x 因为

12、x 为整数，所以 x 的取值为 10 或者 11 当10x 时，82712x，第 6 组； 当11x 时，8275x（舍）； 留在教师的是第 6 组 【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题 组别组别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数人数 3 11 6 8 10 12 4 7 13 8 8 / 22 1、因数和倍数的意义、因数和倍数的意义 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数倍数，b就叫做a的因数因数（也称为约数约数） 【例15】有一个算式6379，则可以说_能被_整除，也可以说_能整除 _，还可以说_和_是_的因数，_是_和_的倍数 【难度】 【答案】63，7，7，63，

13、7，9，63，63，7，9； 【解析】因数和倍数的意义：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因 数（也称为约数） 【总结】本题主要考查因数和倍数的概念 【例16】分别写出 12、19 和 36 的因数，再分别写出这三个数的倍数（倍数只需从小到大依 次写 3 个） 【难度】 【答案】12 的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36 19 的因数：1，19；倍数是：19，38，57 36 的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108 【解析】121 12263 4 ； 12 的因数：1，2，3，4，6，12；倍数是：12，24，36

14、191 19 ； 19 的因数：1，19；倍数是：19，38，57 361 362 183 1249 ； 36 的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36；倍数是：36，72，108 【总结】本题主要考查因数和倍数的概念 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 模块三：因数和倍数的意义 9 / 22 【例17】在圈内填写满足条件的数： 【难度】 【答案】18 的因数：1，2，3，6，9，18； 27 的因数：1，3，9，27； 既是 18 的因数又是 27 的因数：1，3，9 【解析】181 182 93 6 ； 18 的因数：1，2，3，6，9，18； 271 273 9 ； 27 的因数

15、：1，3，9，27； 既是 18 的因数又是 27 的因数有：1，3，9 【总结】 本题一方面考查如何求一个正整数的因数， 另一方面考查如何求两个正整数相同的 因数 【例18】下列各数中是否含有相同的因数，若含有请指出 （1）6 和 9； （2）27 和 51 【难度】 【答案】（1）含有相同的因数：1 和 3；（2）含有相同的因数：1 和 3 【解析】（1）61 623 ，91 93 3 ；6 和 9 含有相同的因数：1 和 3； （2）271 273 9 ，511 513 17 ；27 和 51 含有相同的因数：1 和 3； 【总结】本题主要考查如何求出两个不相等的正整数所含有的相同的因数

16、 【例19】从小到大依次写出 10 个 2 的倍数：_； 从小到大依次写出 10 个 3 的倍数：_； 其中_既是 2 的倍数，又是 3 的倍数 【难度】 【答案】2，4，6，8，10，12，14，16，18，20； 3，6，9，12，15，18，21，24，27，30； 6，12，18，24，30； 【解析】略 18 的因数 27 的因数 既是 18 的因数又是 27 的因数 10 / 22 【例20】已知：23 5A ，3 3 5B ，则A和B相同的因数有哪些？ 【难度】 【答案】1，3，5，15 【解析】23 5A ，A 的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 3 3 5B ，

17、B 的因数有：1，3，5，9，15，45 A和B相同的因数有：1，3，5，15 【总结】本题主要考查如何求两个不相等的正整数所含有的相同因数 【例21】一个正整数只有 2 个因数而且这个数比 10 小，这个数可以是多少？ 【难度】 【答案】2，3，5，7 【解析】只有两个因数，说明这个数只能分解成 1 乘以本身，这样的数有 2，3，5，7； 【总结】本题主要考查因数的概念 【例22】两个 2 位数的积是 216，这两个数的和是多少？ 【难度】 【答案】30 【解析】2162223 3 312 18 ， 这两个数是 12 和 18，和是 30 【总结】本题主要是对因数的概念的综合运用 【例23】

18、1 到 100 之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？ 【难度】 【答案】1，4，9，16，25，36，49，64，81，100 【解析】因数是奇数的数是平方数，1100 之间的平方数是 1，4，9，16，25，36，49， 64，81，100； 【总结】当一个正整数是平方数时，它的因数个数是奇数个 11 / 22 【例24】李明去儿童乐园玩，儿童乐园是 1 路车和 13 路车的始发站，1 路车每 5 分钟发车 一次，13 路车每 6 分钟发车一次现在这两路车同时发车以后，至少再经过多少分钟 又同时发车？ 【难度】 【答案】15 分钟 【解析】因为 5 的倍数有：5，10，15，20，25，30

19、，35，40，45，50，55，60； 6 的倍数有：6，12，18，24， 30，36，42，48，54， 60； 所以至少再经过 30 分钟又同时发车 【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题 【例25】用 16 块面积是 1 平方厘米的正方形，可以拼成多少种形状不同的长方形？它的长 和宽分别是多少厘米？ 【难度】 【答案】三种：（1）16，1；（2）8，2；（3）4，4 【解析】161 162 844 ； 答：可以拼成 3 种形状不同的长方形，长和宽分别是：16，1 或 8，2 或 4，4 【总结】本题主要是利用因数的概念来解决实际问题 师生总结师生总结 1、求求一个整数的因数的方

20、法有哪些？一个整数的因数的方法有哪些？ 2、求一个整数的倍数的方法有哪些？求一个整数的倍数的方法有哪些？ 3、一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？一个正整数的最小的因数和最大的因数是什么？ 4、一个正整数最小的倍数是什么？一个正整数最小的倍数是什么？ 12 / 22 【例26】一筐苹果，2 个一拿或 3 个一拿或 4 个一拿或 5 个一拿都正好拿完没有余数，问这 筐苹果最少有多少个？ 【难度】 【答案】60 【解析】通过枚举法会发现 2、3、4、5 的最小的倍数是 60， 所以至少再经过 30 分钟又同时发车 【总结】本题主要是利用倍数的概念来解决实际问题 【例27】小明有一本共 126

21、 张纸的记事本，他依次将每张纸的正反两面编页码，即由第 1 页一直编到 252 页如果从这本记事本中撕下 31 张纸，并将它们的页码相加，和是否 可能等于 2010？ 【难度】 【答案】不能 【解析】 31 张纸的所有页码中， 共 31 个奇数和 31 个偶数相加， 答案是奇数， 不可能是 2010 另：拓展来看， 每一张纸的页码和：1+2=3， 3+4=7， 5+6=11， 共同点：加上 1 后都是 4 的倍数， 整体考虑，32 页纸的页码和+31 应是 4 的倍数，但 2010+31 不能被 4 整除， 所以是不可能的 【总结】奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数 【例28】我们知道，每个正

22、整数都有因数，对于一个正整数a，我们把小于a的正的因数叫 做a的真因数如 10 的正因数有 1、2、5、10，其中 1、2、5 是 10 的真因数把一个 正整数a的所有真因数的和除以a，所得的商叫做a的“完美指标”如 10 的“完美指标” 是 4 (125)10 5 一个正整数的“完美指标”越接近 1， 我们就说这个数越“完美” 如 8 的“完美指标”是 7 (124)8 8 ，10 的“完美指标”是 4 5 ，因为 7 8 比 4 5 更接近 1，所以 我们说 8 比 10 完美 根据上述材料，回答下面问题： （1）5 的“完美指标”是_； （2）6 的“完美指标”是_； （3）9 的“完美

23、指标”是_ （4）试找出比 20 大，比 30 小的正整数中，最“完美”的数 13 / 22 【难度】 【答案】 14 12 13 59 （） ； （ ）； （ ） ； （4）28； 【解析】（1）5 的“完美指标”： 1 5 ； （2）6 的“完美指标”是：1 23 1 6 （3）9 的“完美指标”是：1 34 99 ； （4）素数的“完美指标”为 1 n ，不够完美； 合数的真因数较小，完美指标也会比较小，不够完美； 所以验证 24 和 28 的完美指标： 24 的“完美指标”是：1 23468123 242 ； 28 的“完美指标”是1 24714 1 28 ； 28 是比 20 大，比

24、 30 小的正整数中，最“完美”的数 【总结】本题主要是考查学生的理解能力，通过对题目中新的概念的理解，利用概念去解决 新的问题 1、能被、能被 2 整除的数整除的数 能被 2 整除的数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的整数； 能被 2 整除的整数叫做偶数偶数，不能被 2 整除的整数叫做奇数奇数 2、能被、能被 5 整除的数整除的数 能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的整数 3、能同时被、能同时被 2、5 整除的数整除的数 能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是 0 的整数 知识精讲知识精讲 模块四：能被 2、5 整除的数 14 / 22 【例29】已知：11，15

25、，32，56，19，123，312，566，787，哪些是奇数？哪些是偶数？ 【难度】 【答案】奇数：11，15，19，123，787； 偶数：32，56，312，566 【解析】32，56，312，566 能被 2 整除，是偶数， 11，15，19，123，787 不能被 2 整除，是奇数 【总结】本题主要考查奇数和偶数的概念 【例30】已知：17，25，70，98，105，370，952，其中能被 5 整除的数有_ 【难度】 【答案】25，70，105，370 【解析】个位上是 0 或 5 的整数是能被 5 整除的数 【总结】本题主要考查能被 5 整除的数的特征 【例31】在圈内写出满足条

26、件的数：12，25，40，75，80，94，105，210，354，465，760 【难度】 【答案】能被 2 整除的数：12，40，80，94，210，354，760； 能被 5 整除的数：25，40，75，80，105，210，465，760； 能同时被 2 和 5 整除的数：40， 80，210，760 【解析】能被 2 整除的数的特征：个位上是 0，2，4，6，8 的整数； 能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的整数； 能同时被 2 和 5 整除的数的特征：个位上是 0 的整数 【总结】本题主要考查能被 2 和 5 整除的数的特征 例题解析例题解析 能被 2 整除的数 能被

27、 5 整除的数 能同时被 2 和 5 整除的数 15 / 22 【例32】三个连续的偶数的和是 54，则其中最小的一个是_ 【难度】 【答案】16 【解析】设三个数分别是：22aaa， ， 则：2254aaa，解得：18a 2a =16 最小的数是 16 【总结】本题考查如何用字母来表示三个连续的整数 【例33】请判断下列算式的结果是偶数还是奇数，偶数则打“”，奇数则打“” 86（ ） 86（ ） 86（ ） 96（ ） 96（ ） 96（ ） 157（ ） 157（ ） 157（ ） 【难度】 【答案】横向： 【解析】偶数与偶数的和、差、积都是偶数；奇数与偶数的和、差是奇数，积是偶数； 奇数

28、与奇数的和、差是偶数，积是奇数； 【例34】12399910001001的和是奇数还是偶数？请说明理由 【难度】 【答案】奇数 【解析】1001 个数字中，501 个奇数，500 个偶数，根据奇数偶数的运算性质，和为奇数 【总结】奇数与偶数的和是奇数，奇数与奇数的和是偶数 师生总结师生总结 1 1、奇数偶数的运算性质有哪些？奇数偶数的运算性质有哪些？ 16 / 22 【例35】用 0、1、2、3 这四个数字排成一个四位数，要使这个数有因数 2，有几种不同的 排法？要使这个数能被 5 整除，有几种不同的排法？ 【难度】 【答案】有因数 2： 10 种；有因数 5： 6 种 【解析】 有因数 2，

29、 则个位数字是 2 或 0，则有 1230， 1320，2130，2310，3120， 3210，1032， 1302，3012，3102，共 10 种； 有因数 5，则个位数字是 0，则有 1230，1320，2130，2310，3120，3210，共 6 种； 【总结】本题主要考查如何利用能同时被 2 和 5 整除的数的特征来进行数字的排列组合 【例36】下面的乘式的积中，末尾有多少个 0？ 1 232930 【难度】 【答案】7 个 【解析】每一个因数中所含的因数是 5 和 2 的个数，决定结果中 0 的个数； 将 130 中的数分解素因数，有 7 个 5 和多于 7 个 2，结果中有

30、7 个 0 【总结】本题是一道比较综合的题目，主要考查学生对所学知识的综合运用能力 17 / 22 【习题1】 先把下列各数放入正确的圈内， 然后把这些数按照从小到大的顺序排列， 并说 明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？ 1，2，0.3，15，0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732，8，10 整数 自然数 正整数 负整数 【难度】 【答案】整数：1，2，15，0，1，8，10； 自然数：2，15，0，1，10； 正整数：2，15，1，10； 负整数：1，8； 从小到大排序为：8，1，0.7，0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732， 10，15

31、； 其中最小的正整数是 1，最小的自然数是 0，最大的负整数是1 【解析】略 【习题2】 一个三位数46，能被 2 整除时，中最大填_；能被 5 整除时，中 最小填_ 【难度】 【答案】8，0 【解析】能被 2 整除的数个位数字是 0，2，4，6，8；能被 5 整除的数个位数字是 0，5； 【总结】本题主要考查能被 2 整除以及能被 5 整除的数的特征 随堂检测随堂检测 18 / 22 【习题3】 判断题： (1) 若2mn，则n一定能整除m（ ） (2) 整数a的最大因数正好等于整数b的最小倍数，则a一定大于b （ ） (3) 因为6.370.9，所以6.3是7的倍数（ ） (4) 因为整数

32、 7421 中包含了数字 2，所以 7421 一定能被 2 整除（ ） 【难度】 【答案】 【解析】（1）整除要求被除数和除数也要为整数； （2）一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此 a 和 b 相等； （3）因数和倍数的概念是在整除的前提下存在的，本题不属于整除，不存在倍数 的概念； （4）能被 2 整除的数字特征是个位数字为 2，4，6，8，0，不是任意一位； 【总结】本题主要考查学生对基本概念的理解 【习题4】 已知23 57A ，那么A的全部因数的个数是( ） A10 个 B12 个 C14 个 D16 个 【难度】 【答案】D 【解析】本身和 1：2 个；任意一个数：4 个；任

33、意两数乘积：6 个； 任意三个数乘积：4 个；2+4+6+4=16 个 【总结】本题主要考查如何去根据乘积的形式去求一个正整数的所有因数 【习题5】 一个正整数既是 48 的因数，又是 3 的倍数，这个数可以是多少？ 【难度】 【答案】3，6，12，24，48 【解析】48 的因数有 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48， 其中是 3 的倍数的是 3，6，12，24，48 【总结】本题主要考查因数和倍数的概念 19 / 22 【习题6】 如果( )n表示n的全部因数的和，如(4)1247 ，则(18)(21) _ 【难度】 【答案】7 【解析】（18）=1+2+3+6+9+18=39

34、，（21）=1+3+7+21=32， （18）（21）=7 【总结】本题主要考查学生的理解能力，通过对( )n的理解完成相关的计算 【习题7】 用 0、2、5、8 这四个数字组成的四位数中，能被 2 整除的数有多少个？ 【难度】 【答案】10 个 【解析】 能被 2 整除的数个位数字是 0， 2，4，6，8，所以有 2580，2850，5280，5820，8250， 8520，5082，5802，8052，8502，共 10 个 【总结】本题主要考查如何利用能被 2 整除的数的特征来进行数字的排列组合 【习题8】 先把一个数的末位非零的数字割去，并在上位加上所割去数的4倍，然后再将 和数的末位

35、数割去，并在上位加上所割去数的4倍，这样继续下去，直到能够很容易看 出和数是不是13的倍数为止 若是13的倍数， 则这个数就是13的倍数 试判断下列各数， 哪些是13的倍数？（写出具体过程） （1）9062； （2）12805； （3）158506 【难度】 【答案】（2）12805 是 13 的倍数 【解析】（1）9062： 906+8=914， 91+16=107， 10+28=38，不是 13 的倍数； （2）12805： 1280+20=1300，是 13 的倍数，故 12805 是 13 的倍数； （3）158506： 15850+24=15874， 1587+16=1603， 16

36、0+12=172， 17+8=25， 不是 13 的倍数； 【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用 20 / 22 【作业1】 是否存在最小的的正整数， 负整数， 自然数； 是否存在最大的正整数， 负整数， 自然数？如果有，请写出是哪个数 【难度】 【答案】最小的正整数是 1，最小的负整数不存在，最小的自然数是 0，不存在最大的正整 数，最大的负整数是1，不存在最大的自然数 【解析】略 【作业2】 78 的因数有哪些？把其中的奇数和偶数分别填入相应的圈内 奇数 偶数 【难度】 【答案】奇数有 1，3，13，39，偶数有 2，6，26，78 【解析】78 的因数有 1，2，3，6，1

37、3，26，39，78； 其中，奇数有 1，3，13，39，偶数有 2，6，26，78 【总结】本题主要考查对因数、奇数、偶数这些基本概念的理解 【作业3】 求 26 以内能被 5 整除的所有数的和 【难度】 【答案】75 【解析】26 以内能被 5 整除的数有 5，10，15，20，25，和为 5+10+15+20+25=75 【总结】本题主要考查能被 5 整除的数的特征 课后作业课后作业 21 / 22 【作业4】 在黑板上，先写出三个自然数 1、3、5，然后任意擦去其中的一个，换成所剩 两个数的和 照这样进行 100 次后， 黑板上留下的三个数中有几个奇数？它们的乘积是 奇数还是偶数？ 【

38、难度】 【答案】三个数中有两个奇数，乘积为偶数 【解析】第一次擦除，变为奇奇偶， 第二次分为两种情况： （1）擦掉奇数，变为奇奇偶， （2）擦除偶数，变为奇奇偶； 之后一直保持为奇奇偶，所以 100 次后也为奇奇偶，乘积为偶数 【总结】本题一方面考查学生对题意的理解，另一方面考查奇数与偶数相乘的特征 【作业5】 求 1000 以内能同时被 3、5 整除的数中，最大的奇数与最小的偶数的和 【难度】 【答案】1005 【解析】1000 以内能被 3、5 同时整除的数是 15 的倍数，最小的偶数是 30， 最大的奇数是 975，和为 1050 【总结】本题主要考查能同时被 3、5 整除的数的特征 【

39、作业6】 一个大于 1 的自然数a，只有两个因数，那么3a有几个因数？ 【难度】 【答案】当3a 时，3a 有 4 个因数；当3a 时，3a 有 3 个因数 【解析】31 33aaa ，由已知得：1a ，3aa 当3a 时，3a 有 4 个因数：1，3，a，3a； 当3a 时，3a 有 3 个因数：1，3，3a； 【总结】本题主要是考查如何根据题目中的条件去求一个正整数的因数 【作业7】 张阿姨是公共汽车售票员，她的票夹上有 5 角、1 元、1 元 5 角三种车票，她 习惯把钱都放在车厢售票员位置的小桌上， 这样就可以随时算出有没有差错 有一次她 数了数桌上的硬币，是 36 枚 1 角她对司机

40、说：“我今天我肯定出了差错了”，你知道 为什么吗？ 【难度】 【答案】略 【解析】票价有三种，5 角、1 元、1 元 5 角，都是 5 的倍数，但是 36 不是 5 的倍数 【总结】本题主要考查如何利用倍数的概念来解决实际问题 22 / 22 【作业8】 凡一个数的奇位数字的和同它的偶位数字的和相减（大的和减去小的和），所 得的差是 0 或是 11 的倍数时，这个数就是 11 的倍数下列各数，哪些是 11 的倍数？ (1)64273 (2)208549 (3)77360822 【难度】 【答案】（1）、（2）、（3）都是 11 的倍数 【解析】（1）64273：（6+2+3）（7+4）=0，是 11 的倍数； （2）208549：（2+8+4）（0+5+9）=0，是 11 的倍数； （3）77360822：（7+6+8+2）（7+3+0+2）=11，是 11 的倍数； （1）、（2）、（3）都是 11 的倍数 【总结】本题主要考查对13的倍数的概念的理解及运用