九年级数学暑假班讲义第2讲：三角形一边的平行线（一）（教师版）

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1、三角形一边的平行线（一）内容分析三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论，重点是掌握该定理及其推论，分清该定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“”字型和“”字形这两个基本图形，为后面学习相似三角形奠定基础知识结构模块一：三角形一边的平行线性质定理知识精讲1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例 如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么例题解析【例1】如图，在中，求【难度】【答案】4【解析】，代入可得：【总结】

2、考查三角形一边平行线的性质定理【例2】阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下米宽的亮区（如图）已知亮区一边到窗下的墙角距离米，窗口米，求窗口底边离地面的高【难度】 【答案】5.8m【解析】射入的光线平行，则有，代入可求得： ，【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到【例3】在中，点、分别在、的反向延长线上，若，厘米，则【难度】【答案】【解析】由，可得，故，代入求得【总结】考查三角形一边平行线的性质定理和比例合比性的综合应用【例4】如图在中，平分，厘米，求的长【难度】【答案】【解析】， 由，代入可求得： 又， 又平分， ， 【总结】本题中涉及一个基本图形，平行线与角平

3、分线一起会产生等腰三角形，同时应用三角形一边平行线的性质定理【例5】如图，已知在中，求四边形的周长【难度】【答案】16【解析】， 又， ， 四边形为平行四边形 代入可求得：， 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用【例6】如图，在中，点在直线上，过点作交直线与点如果，求的长【难度】【答案】或【解析】（1）在线段上时，由，可得：，代入可得：；（2）在线段延长线上时，由，可得：，代入可得：；（3）在线段反向延长线上的情况不存在【总结】题目中的点是在直线或者射线上时，要注意仔细看题，考虑多解情况的出现【例7】如图，在中，于点，点是中点，过点作的垂线交于点，则【难度】【答案】【解析】由， 即得

4、：，可得： 又， /， 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用【例8】如图，已知，求、的长【难度】【答案】，【解析】由，代入可得：同时根据比例的合比性，可得：，即，又根据平行，可得：，代入求得：【总结】考查三角形一边平行线定理的变形应用，实际上，任意两条直线被三条平行线所截得的线段对应成比例【例9】如图，已知是边长为2的等边三角形，求的长【难度】【答案】【解析】和为等高三角形，故，由，为等边三角形，可知也为等边三角形，【总结】平行于等边三角形一边截得的三角形也是等边三角形【例10】如图，为对角线上任意一点求证：【难度】【答案】略【解析】证明：四边形为平行四边形， ， 根据三角形一边平行

5、线的性质定理，则有， 【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化【例11】如图，在平行四边形中，的延长线上有一点，交于点，交于点求证：【难度】【答案】略【解析】证明：四边形为平行四边形， ， 根据三角形一边平行线的性质定理，则有：， 【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化【例12】如图，点在线段上，和都是等边三角形求证：（1）；（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1）和是等边三角形，点在线段上， ，（2）同（1）易证得，则有 和是等边三角形， ， ， 【总结】初步认识相似三角形中的“”字型，一个

6、图形中存在往往不只一个，可用来进行等比例转化【例13】如图，的面积是，点、（与、是不同的点）分别位于、各边上，而且，如果的面积和四边形的面积相等，求的面积【难度】【答案】6【解析】连结，由，可得， 两三角形同底，可得两三角形等高，故，根据平行于三角形一边的直线性质定理，可得：，故，求得【总结】注意等高（同底）三角形面积比等于底边（高）之比【例14】如图，在中，在边上有一动点，过作与相交于于点，联结，设，的面积为（1）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）点是否存在这样的位置，使的面积是的面积的？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【难度】【答案】（1）；E（2）存在，【解析】（

7、1）过点作于点F由，可得：，又，故又，故，代入可得，故（2） 过点作于点由可得，故，的面积是面积的，解得：，即【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用模块二：三角形一边的平行线性质定理推论知识精讲1、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 如图，点、分别在的边、上， ，那么2、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍例题解析【例15】如图，、分别是的边、上的点，且（1）如果

8、，求的长；（2）如果，求、的长；（3）如果，求的值【难度】【答案】（1）9；（2）；（3）【解析】（1），；（2） ，；（3），【总结】考查三角形一边平行线的性质定理D【例16】如图，、是的中线，交于点求证：【难度】【答案】略【解析】证明：过点作交于点是中点，是中点，故，又是中点，即，整理得：【总结】考查三角形重心性质的证明，通过一个中点作对边的平行线即可【例17】已知小智的身高是米，他在路灯下的影长米，小智与路灯灯杆的底部的距离为米，则路灯灯泡距地面的高度米【难度】【答案】4【解析】，【总结】考查三角形一边平行线定理的实际应用【例18】如图，一根直立于水平地面的木杆在灯光下形成影子，当木杆绕

9、点按逆时针反向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设垂直于地面时的影子为（假定），影子的最大值为，最小值为，有下列结论： ； ；影子的长度先增大后减小.其中正确的序号是【难度】【答案】【解析】木杆绕点逆时针旋转时，当与光线垂直时，最大，则，成立，不成立；最小值为与重合，故成立；由上可知，影子长度先增大后减小，故成立【总结】找准临界值，注意进行思维分析【例19】已知：MN / PQ，则满足关系式的图形是（ ）aNbQxcPMxNaQcbPMcNxQabPMcNbQaxPMABCD【难度】【答案】C【解析】交叉相乘，满足的是C选项【总结】考查三角形一边平行线性质的简单应用【例20】如图，中，求

10、的长【难度】【答案】【解析】， ， 即，求得：【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式【例21】如图，在平行四边形中，点在边上，若，则【难度】【答案】【解析】，可知，由，可知，故【总结】初步认识相似三角形中的“”字型【例22】如图，在中，是的重心，过作边的平行线交于点，求的长【难度】【答案】2D【解析】连结并延长交于点，根据重心的定义，可知为中点，则，根据重心的性质，又，可得：，求得【总结】考查三角形重心的性质【例23】如图，已知，求的长（用、的代数式表示）【难度】【答案】【解析】由，则有，即，得【总结】考查相似三角形中“”字型的综合应用，得到比例关系【例24】如

11、图，为平行四边形的对角线上一点，的延长线交的延长线于点，交于点，求的值【难度】【答案】【解析】由，可得，即，故，由，可得：【总结】考查相似三角形中“”字型的综合应用，得到比例关系【例25】如图，求的值【难度】【答案】【解析】由，得：，又，可得，故【总结】考查相似三角形中“”字型的综合应用，得到比例关系【例26】如图，在梯形中，对角线、交于点，点在上，且，已知，求的长【难度】【答案】2【解析】由，可得：， 故，由，求得【总结】相似三角形中“”字型和“”字型的综合应用，可得到相等比例关系式【例27】如图，在梯形中，、是两腰上的点，且，求的长【难度】G【答案】H【解析】过点作交于，交于，则有，又，可

12、得：，解得：，故【总结】两条直线被三条平行线所截得的线段长对应成比例【例28】如图，在中，是边上的一点，为的中点，联结并延长交于，求的值【难度】【答案】【解析】过点作交于F此时则有，又为中点，根据平行可得：，故，即，可得【总结】构造平行线，构造比例线段是解决这类问题的根本【例29】已知点是的边上的一点，是的中点，的延长线交于，求的值【难度】【答案】【解析】过点作交于点，又为中点，为中点，即，【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，通过构造平行线等比例转化即可得出答案【例30】如图，路灯的高度为米，在距离路灯正下方点米处有一墙壁，如果身高为米的学生站立在线段上（，垂足为，），他的影子的总长度为米

13、，求该学生到路灯正下方点的距离的长【难度】【答案】或NE【解析】（1）影子全部在地面上时，设点在地面的投影为点，GF则有由，可得，则有，代入可求得：，则（2）影子部分在地面，部分在墙面上时，如图，根据同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，设墙上部分影长，则有，则有，即，可得，又根据，可得，即，整理即得：，解得：故【总结】影长问题，注意同一时刻同一地点任何物体影长与其高度比值相同，有障碍物时，障碍物上的影长仍满足这个条件，注意进行分类讨论【例31】如图，平行四边形中，点、分别在、上，交于点，若，求的值【难度】【答案】【解析】延长交的延长线于点，又，故可得：，故【总结】构造与所求线段相关的

14、“”字型或“”字型，比例转化【例32】如图，在中，设、是、上的两点，且，延长交的延长线于点，求的长【难度】【答案】【解析】过点作交于，则有，又，则有，由，得，代入计算得：【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“”字型或“”字型，比例转化【例33】如图，已知中，点、分别在边、上，且，直线和的延长线交于点，求【难度】【答案】【解析】过点作交于根据三角形一边平行线的性质定理，可得：，又，故，由，可得：【总结】作平行线，构造出与所求线段相关的“”字型或“”字型，比例转化【例34】已知：在中，、是上的两点，且，交于，交的延长线于，若求证：是的中线【难度】【答案】略【解析】证明：，则有，即即是的中线【总

15、结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目条件灵活进行比例转换，将条件转化到同一个量，得出结论随堂检测【习题1】如图，在，与边、分别交于点、（1）已知，求、的长；（2）已知，求的长【难度】 【答案】（1）；（2）4【解析】（1），； （2）， ，【总结】考查三角形一边平行线的性质【习题2】如图，下列各式正确的是（）（A）（B）（C）（D）【难度】 【答案】A【解析】根据三角形边平行线的性质进行比例线段转化可 知A选项正确；B、C、D错误【总结】考查三角形一边平行线的性质的应用【习题3】如图，菱形内接于，求的长【难度】【答案】8【解析】根据三角形一边平行线的性质，即有，可解得菱形边长，故，

16、【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用【习题4】如图，是的中线上一点，求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，又，【总结】考查三角形一边平行线的性质的综合应用，用固定线段的比值作为中间量【习题5】如图，在中，且，求的值【难度】【答案】【解析】由，可得，则，根据比例的合比性，可得【总结】找准图形中的“”字型和“”字型进行比例线段的转化构造【习题6】在中，如果中线与高相交于点，求【难度】【答案】【解析】，即为中点，为中点，为重心，【总结】考查重心的意义和性质，先证明再利用性质【习题7】如图，点、分别在、上，平分，如果，求和的长【难度】【答案】，【解析】根据三角形一边平行线的性质，可得， 由平

17、分，则有， 由，可得：， 即，故，进而可得：，【总结】考查三角形一边平行线的性质定理的应用，同时考查平行线与角平分线一起出现会产生等腰三角形的基本图形【习题8】如图，梯形中，求与的长度【难度】M【答案】N【解析】过点作分别交、于点、点、点，P则易得四边形为平行四边形则，由，可得：，代入可得：，由，可得：，代入可得：，【总结】夹在平行线间的线段对应成比例课后作业【作业1】已知线段、，且，求作，作法正确的是（）（A） （B） （C） （D）【难度】 【答案】C【解析】考查三角形一边平行线的性质定理，变形即为，可知C选项满足题意【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，进行简单的变形应用，可知线段错位

18、相乘满足题意的即为所求选项【作业2】如图，中，求的值【难度】【答案】【解析】由，可得，根据比例的合比性质，可得，由，可得【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用【作业3】如图，求的长度【难度】【答案】【解析】过点作交于点，交于点，四边形、都为平行四边形，且有，/，【总结】三条平行线被两条直线所截，将其中一条直线平移，放到同一个三角形中解答【作业4】平行四边形，是的中点，在直线上截取，交于，求的值【难度】【答案】或【解析】（1）当点在上时，如图过点作交于点，由为中点，则为中点，四边形为平行四边形，又，由，,（2）当点在延长线上时，如图，过点作交于点，由为中点，则为中点，四边形为平行四边形，又，

19、由，【总结】注意题目中的关键词语，在直线上，由此要进行分类讨论，根据三角形一边平行线的性质构造“”字型、“”字型即可【作业5】如图，已知，求的长【难度】【答案】16【解析】由，可得:，则有，代入计算得【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，利用比例线段之间的关系构造等式求解【作业6】如图，在中，是边上一点，（1）求证：；（2）如果，求、的长【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）证明：，又，（2） 解：由（1）可得，根据比例的合比性质，得：，代入可解得：，由，可知四边形为平行四边形，即得：【总结】考查三角形一边平行线性质的综合应用，进行比例线段转化【作业7】如图，在平行四边形中，是上一点，与相交于点，与的延长线相交于点，已知，求和的长【难度】【答案】【解析】四边形是平行四边形，又，即，代入即可求得【总结】考查利用三角形一边平行线的性质构造“”字型和“”字型，进行比例线段的综合应用【作业8】如图， ，求【难度】【答案】27【解析】设，则有， ，由/，可知， 则有，整理得，解得， 由此【总结】考查三角形一边的平行线定理，以及等高三角形面积比等于其底边之比的知识点的灵活运用