九年级数学暑假班讲义第12讲：解直角三角形（教师版）

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1、解直角三角形解直角三角形内容分析内容分析解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题知识结构知识结构模块一：解直角三角形的基本类型模块一：解直角三角形的基本类型知识精讲知识精讲1、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系：（1）三边之间的关系：（2）锐角之间的关系：（3）边角之间的关系：，例题解析例题解析【例1】 在中，已

2、知，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（，） 【难度】【答案】，【解析】解：；在中，则，解得：；在中，则，解得：【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦【例2】 在中， ，b = 9，解这个直角三角形（，） 【难度】【答案】，【解析】解：；在中，则，解得：；在中，则，解得：【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦【例3】 在中，已知，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计算） 【难度】【答案】，【解析】解：在中，则利用计算器解得：，【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利

3、用锐角三角比确定锐角的度数【例4】 在中，已知，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算） 【难度】【答案】，【解析】解：，在中，则，利用计算器可得：，【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数师生总结解直角三角形的基本类型有哪些？并简述解法【例5】 中，AB = 4，AC = ，BC = _，= _【难度】【答案】，【解析】解：在中，则，【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数【例6】 在中，则= _【难度】【答案】60【解析】解：设，为直角三角形在中，则，【总结】当已知直角三角形的三边比为

4、时，则这个直角三角形中的最小角为30【例7】 中，AC + BC = 2，则AB的长是_【难度】【答案】【解析】解：在中，又，则设，则，AC + BC = 2，解得：，【总结】当直角三角形中含有30的锐角时，则三边比为【例8】 在直角三角形中，a b =2，a、b、c是、所对的边，解这个直角三角形【难度】【答案】，【解析】在中，；又，；在中，则，即；a b =2，【总结】当直角三角形中含有30的锐角时，则三边比为【例9】 如图，中，BC = 3，AC = 4，以B为圆心，4为半径作圆弧交AC边于点F，交AB于点E，连接CE，求的正切值【难度】【答案】【解析】解：过点E作EGAC，交AC于点G，

5、在中，【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比ABCDE【例10】 如图，在中，D是BC中点，DEAB，垂足为E，tan B = ，AE = 7，求DE的长【难度】【答案】【解析】解：在中，设，则，D是BC中点，在中，则，解得：在中，则，解得：即DE的长为【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不同的线段的比值模块二：解直角三角形的运用模块二：解直角三角形的运用例题解析例题解析【例11】 在中，a、b、c分别是、的对边，解下列直角三角形：（1），；（2），；【难度】【答案】（1），；（2），【解析】解：（1）在

6、中，设，则；，（2），解得：；在中，则，【总结】利用特殊角30以及60的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形【例12】 如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC = 1，cos B =，则这个菱形的面积是_ABCDE【难度】【答案】【解析】解：在中，cos B =，设，则，EC = 1，解得：【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用【例13】 如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的处，则等于（ ）ABCDA1BCD【难度】【答案】B【解析】解：线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的处在中，【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，另

7、一方面考查图形旋转的性质【例14】 如图，在中，AD是BC边上的中线（1）求证：；（2）若，求AD的长【难度】【答案】（1）证明略；（2）【解析】（1）证明：在中，；在中，AD是BC边上的中线，（2），AD是BC边上的中线，在中，则，解得：在中，【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，一方面考查特殊角的锐角三角比的值ABCD【例15】 中，角平分线，解这个直角三角形【难度】【答案】，【解析】解：在中，平分，在中，则，【总结】通过直角三角形中边之间的关系得到角度【例16】 如图，四边形ABCD中，AB = 2a，求BC的长【难度】【答案】【解析】解：过作，垂足为，在中，；在中，在中，【总结】将题

8、目中的特殊角构造到直角三角形中【例17】 如图，在中，AC = 2，AB = 4，求【难度】【答案】【解析】解：过点作，交BC边于点E在中，即，即，在中，【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比【例18】 如图，在中，AB = AC，BDAC，D为垂足，且，求的值【难度】【答案】【解析】解：过点作，交BC边于点E，在中，【总结】善于发现题目中的条件得到相等的角，然后运用角度相等的锐角三角比值也相等的思路去解题【例19】 在中，已知D为AB中点，ACCD，求sin A的值【难度】【答案】【解析】解：过点作，交BC边于点E，ACCD，D为AB中点，

9、设，则，在中，【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图2、添辅助线的原则是：将特殊角构造到直角三角形中；添加辅助线之后要能包含基本图形【例20】 在中，AC = BC，AD是BC上的中线，求与的值【难度】【答案】，【解析】解：过点作，交AB于点E设，则，在中，在中，在中，在中，在中，【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比【例21】 若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值【难度】【答案】【解析】已知：如图，等腰中，且满足，求的值解：，设，则，在中，【总结】本题是一道文字题，要根据题意先画出图形，然后再根据条件进行求解【例22

10、】 在中，BC = 6，求AB的长【难度】【答案】6或12【解析】解：过点作，交AB于点D在中，在中，【总结】本题主要考查对题意的理解，要注意两种情况的讨论【例23】 在四边形ABCD中，AB = 8，BC = 1，四边形ABCD的面积为，求AD的长【难度】【答案】【解析】解：延长和相交于点，在中，；，四边形ABCD的面积为，【总结】当看到30和60这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中【例24】 如图，在四边形ABCD中，AD = 2，求CD的长度【难度】【答案】2【解析】解：延长和交于点，在中，在中，【总结】若题目中含有120或者150这些角时，要想到它们的邻补角也是特殊角【例

11、25】 如图，在等腰中底边BC的中点是点D，底角的正切值是，将该等腰三角形绕其腰AC上的中点M旋转，使旋转后的点D与点A重合，得到，如果旋转后的底边与BC交于点N，求的正切值【难度】【答案】【解析】解：设，在中，M为AC的中点，又，M为的中点，在中，在中，【总结】图形旋转后大小和形状都不变【例26】 在中，D是AC边上的一点，且， AD = 2CD求证：（提示：）【难度】【答案】略【解析】证明：分别过点A、点D作AFBD于点F，DEBC于点EAD = 2CD，设，则在中，且，又，在中，在中，DEBC，在中，又，【总结】本题综合性较强，通过添加辅助线将特殊角放入直角三角形中，并多次运用特殊角的锐

12、角三角比的值，从而得到边长，最终得到相似【例27】 在中，三角形一边上的高是3，求BC的长 【难度】【答案】或或【解析】如图1，当边上的高时，在中，设，则，过点作，交AB于点D在中，设，则；在中，则，如图2所示，当边上的高时， 如图3，当边上的高时在中，过点作，交AB于点H在中，设，则；在中，则，【总结】由于本题没有说明是哪条边上的高，因此要注意分类讨论【例28】 在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且，求的值【难度】【答案】【解析】解：延长交于点，过作，设正方形的边长为1，则，N是DC的中点，在中，解得在中，【总结】本题主要是根据题目条件，构造等腰三角形和直角三角形【例

13、29】 如图，在中， D、E分别是AC、AB上的点，AC = 7，AE = BC，求【难度】【答案】【解析】解：过点E作EFAC，交AC于点F设在中，在中，即，【总结】本题的综合性比较强，当题目中已知锐角的三角比，但是并没有直角三角形时，要通过添加辅助线构造包含该锐角的直角三角形，另外本题还考查了相似的性质，将面积问题转化成了相似比的平方的问题【例30】 如图，在中，sin B = ，点D在BC边上，且，DC = 6，求的正切值【难度】【答案】【解析】解：过点作，交AB于点E，在中，在中，在中，【总结】已知三角形的三条边长，求任意一边上的高时，可采用勾股定理进行计算，也可采用面积法随堂检测随堂

14、检测【习题1】 在中，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）A已知c和bB已知a和C已知和D已知a和b【难度】 【答案】C【解析】两角只能确定三角形的形状，不能确定三角形的大小【习题2】 等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于（ ）ABCD【难度】 【答案】A【解析】等腰ABC中，ABC的周长为36，求，ABC的周长为36，过作，则，在中，【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和锐角三角比的意义ABCH【习题3】 如图，在中，高CH是边AB的一半，且，求的度数（）【难度】【答案】30【解析】在中，设，则高CH是边AB的一半，在中，【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值【习

15、题4】 等腰三角形ABC的周长为，AB = AC，求三角形的三边长【难度】【答案】，【解析】过点作，交BC边于点D设，则，等腰三角形ABC的周长为，解得：，【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值ABCDFG【习题5】 如图，AC = 6，点G是的重心，GF / BC，求GF的长【难度】【答案】【解析】在中，AC = 6，点G是的重心，GF / BC，【总结】本题一方面考查了重心定理，一方面考查了特殊角的锐角三角比的值【习题6】 如图，在中，求AC、BC的长【难度】【答案】2，【解析】解：过点作，交BC边于点D在中，在中，【总结】本题主要是考查通过做高，将特殊角放到直角三角

16、形中，再利用特殊角的锐角三角比进行求值ABCDE【习题7】 如图，在中，tan A =，DE是AB的垂直平分线，BC = 2，求：（1）的值；（2）CE的长【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，（2）D为AB的中点，在中，【总结】当两个锐角相等时，它们的锐角三角比的值也相等【习题8】 在中，BC = 15，AB : AC=7 : 8，求BC边上的高【难度】【答案】【解析】过点作，交BC边于点D设，则在中，解得：，（舍去）【总结】本题通过添高将已知的锐角放入直角三角形中，利用锐角三角比的值求解【习题9】 在等腰梯形ABCD中，AD / BC，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分

17、别交边AB、BC于点F、E若AD = 2，BC = 8，求：（1）BE的长；（2）的正切值【难度】【答案】（1）5；（2）【解析】（1）过点A作AGBC，交BC边于点GEF垂直平分BD，由等腰梯形的性质可得： （2），在中，【总结】本题主要考查了翻折的特性，对应点的连线被折线垂直平分ABCDE【习题10】 如图，在中，AB = AC，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E且AC = DC（1）求的度数；（2）求证：点D是BC的黄金分割点；（3）利用这个图求cos 36的值【难度】【答案】（1）108；（2）证明略；（3）【解析】（1）设AB = AC，DE垂直平分AB，AC = DC，（2）由

18、（1）可得：，则可得：，点D是BC的黄金分割点（3）由（2）可设：，E为AB的中点，在中，【总结】本题综合性较强，所考查的知识点也比较多，包含了黄金分割、线段垂直平分线等，在运用时要注意对条件的准确理解和运用课后作业课后作业【作业1】 已知等边三角形一边上的中线长为a，则此三角形的边长为_【难度】【答案】【解析】解：ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，AD=a，求AB的长AB=AC，ADBC，在中，【总结】本题是一道基础题，主要考查60角的正弦【作业2】 在中，a、b、c分别是、的对边，解下列直角三角形：（1），；（2）a = 5，；（3）斜边上中线，AC = 6【难度】 【答案】（1）

19、，；（2），；（3），【解析】解：（1），在中，（2）在中，（3）斜边上中线，在中，【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及运用【作业3】 在中，AB = AC，BC边上的高为8，三角形的周长为32，则sin C的值是_【难度】【答案】【解析】过A作ADBC，则AD=8AB = AC，三角形的周长为32，AB = AC，ADBC，在中，在中，【总结】本题比较基础，解题时注意运用等腰三角形的性质【作业4】 在中，若BC = a，求AB的长【难度】【答案】【解析】过点C作CDAB，在中，在中，【总结】当已知的特殊角不在直角三角形中时，要构造包含该特殊角的直角三角形【作业5】 已知在梯形ABC

20、D中，AD / BC，AB = 15，CD = 13，AD = 8，是锐角，求BC的长【难度】【答案】12或22【解析】过点A、点D分别作AEBC，DFBC，垂足分别为E、F在中，四边形ADFE是矩形，在中，或【总结】本题有两种情况，要注意分类讨论【作业6】 已知在中，AB =，AC = 2，BC边上的高为，求BC的长【难度】【答案】4或2【解析】解：如图，过A作ADBC，则，在中，在中，或【总结】当已知三角形两条边的长和第三边的高时，通常都有两种情况，锐角三角形和钝角三角形【作业7】 如图，在中，ADBC，垂足为D，AD = DC = 4，tan B =求：（1）的面积；（2）的值【难度】【

21、答案】(1)14；（2）【解析】解：（1）在中，（2）过点C作CEAB，垂足为点E在中，在中，在中，【总结】本题主要考查锐角三角比的意义【作业8】 如图，在四边形ABCD中，CD = 6，求AD【难度】【答案】【解析】解：过点A作AHBC交CD于H，过点B、C分别作BEAH，CFAH，垂足分别为点E、F，过点A作AGDC，交DC延长线交于点G，AHBC，在中，又，四边形BEFC为矩形，在中，在中，在中，【总结】本题的综合性比较强，做题时注意辅助线的添加，依据还是构造包含特殊角的直角三角形【作业9】 在等腰中，AB = AC，如果一条腰长为5，一条中线为3，求底角的正弦值【难度】【答案】或【解析

22、】当中线为底边上的中线时，底角的正弦值；当中线为腰长的中线时，底角的正弦值为解：过点A作AEBC，垂足为点E，过D作DFBC，垂足为点F设为AC的中点，AB = AC，在中，在中，在中，在中，【总结】本题一方面考查了等腰三角形的性质，另一方面注意两种情况的分类讨论【作业10】 在边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE = 2CE，联结AE交射线DC于点F，若沿直线AE翻折，点B落在点B1处，求的值【难度】【答案】或【解析】解：（1）当点E在线段BC上时（如图1），延长交DF于点H ，设，则在中，在中，（2）延长AD交与点G（如图2），设，则在中，在中，【总结】本题要注意点在射线上的真正含义，分两种情况讨论