九年级数学暑假班讲义第4讲：相似三角形的判定（一）（教师版）

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1、相似三角形的判定（一）内容分析相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合知识结构模块一：相似三角形判定定理1知识精讲1、相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形DABCE 如图，是的中位线，那么在与中， ， ，；由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似用符号来表示，记作，其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点；符号“”读作“相似于” 用符号表示两个相似三

2、角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似2、相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 如图，已知直线与的两边、所在直线分别交于点和点，则3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似 如图，在与中，如果、，那么ABCA1B1C

3、1 常见模型如下：例题解析【例1】根据下列条件判定与是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来（1），；（2），【难度】【答案】（1）相似，；（2）相似，【解析】（1）根据三角形内角和，可得，又，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定；（2）根据三角形内角和，可得，又，根据相似三角形判定定理1，确立对应关系，即可判定【总结】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情况下，可根据三角形内角和进行求解【例2】如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点图中有哪几对相似三角形？ ABCDEF【难度】【答案】，【解析】由，可得：，根据相似三角形预备定理，可得：，进而可得：，即这三个三

4、角形两两相似【总结】考查相似三角形预备定理，同时考查相似三角形的传递性【例3】如图，那么图中相似的三角形有哪几对？ABCDE123【难度】【答案】，【解析】根据，同时有公共角必相等，根据相似三角形判定定理1，可得，；同时由，可得：，进而，又，根据相似三角形判定定理1，可得：【总结】考查相似三角形判定定理1，同时要注意根据题目条件推出一些其它角相等的条件，注意不要遗漏【例4】如图，、分别是的边、上的点，且ABCDE求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，即【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定义，各边对应成比例，先判定再应用即可得出结论ABDC【例5】如图，在中，于点，且，求的值【难度

5、】【答案】【解析】，即， 又，可得 又， ，设，则，代入可得： 【总结】考查基本模型的建立，直角三角形斜边上的高线分出的两个三角形与原三角形两两相似，称作“子母三角形”，是一种常用的数学模型ABCDE【例6】如图，中，是中点，交延长线于点，则相似于【难度】【答案】【解析】，即， 又，即， 又为斜边中点， ，由， 【总结】对于相等有公共角的两角，可推出相等，同时注意直角三角形斜边中线的应用把直角三角形分成了两个等腰三角形【例7】如图，于点，求的长ABCDE【难度】【答案】【解析】， 根据面积法，可知，解得 又，可得 ，代入可得： ， 代入得：【总结】考查对于“子母三角形”的认识，初步建立可将相似

6、三角形中可将对应边之比转化为 同一三角形中边长比的思想，实际上这个这个图形中包含5个直角三角形，全部都是两 两相似【例8】如图，点在线段上运动，若与相似，求的值ABCDE【难度】【答案】或2【解析】（1）时，则应有 由，可得：；（2）时，则应有 由，代入得：， 解得：【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论【例9】如图，是等边三角形，求证ABCDE【难度】【答案】略【解析】证明：是等边三角形， ， 又， ， 即【总结】考查相似三角形的性质和相关相似三角形判定定理1，先判定再应用【例10】正方形中，是中点，于点，厘米，求的长【难度】【答

7、案】【解析】四边形是正方形， ， 又， ， ， 是中点， 由勾股定理可得：， 代入可得：【总结】考查正方形背景下的直角三角形相似，实际上由直角和平行很容易得到相等的角，根据相似三角形判定定理1可证相似【例11】如图，在中，于点，点是边上一点，联结交于点，交边于点ABCDEFO求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，又，【总结】考查利用“子母三角形”基础模型证明角相等，根据同角的余角相等，证明角相等， 再利用相似三角形判定定理1即可证明【例12】如图，在中，是内一点，且求证：ABCP【难度】【答案】略【解析】证明：， 即 ， ， 【总结】考查相似三角形的判定定理1，需要根据三角形内角和进行等角转

8、化【例13】如图，在梯形中，/，且，点、分别是、的中点，与相交于点（1）求证：；ABCDEFM（2）若，求【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）证明：，是的中点，又/，四边形是平行四边形，（2）解：，为中点，代入可得：【总结】考查相似三角形的预备定理，同时与三角形一边平行线性质定理结合运用ABCDEFG【例14】如图，在中，/，点在边上，与相交于点，且（1）求证：；（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1）/， ， ，（2），即 ，即 【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所求进行相应比例线段的转化【例15】如图，已知、均为等边三角形，、分别在边、上，请找出一个与相似的三角形，并

9、加以证明【难度】ABCDEFGH【答案】【解析】、是等边三角形， ， ， 同理可证得：【总结】考查“一线三等角”模型的建立，根据外角可证相似【例16】如图，矩形的对角线、相交于点，于点，交于点，交的延长线于点ABCDEFO求证：【难度】【答案】略【解析】证明：四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 【总结】考查相似三角形判定定理1，根据题目所给条件综合分析【例17】如图，中，是中线，是上一点，过作/，延长交于点，交于点ABCDEFP求证：【难度】【答案】略【解析】证明：连结 ，是底边中线， ， /， ， 【总结】考查相似三角形判定定理1，在有同角的情况下，再找出一个容易证明相等的角即可【

10、例18】如图，在中，点在边上，点在线段上，且，的延长线与边相交于点 （1）求证：；ABCDEF（2）设，求关于的函数解析式，并写出定义域【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）证明：， ， ， ， ，即（2）， 又， ， 即，整理得：【总结】考查相似三角形判定定理1，往往由一对相似三角形性质可推出其它相似的三角形，注意性质与判定的转换应用模块二：相似三角形判定定理2知识精讲1、相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 如图，在与中，那么ABCA1B1C1例题解析ABCD

11、O【例19】如图，四边形的对角线与相交于点，求证：与是相似三角形【难度】【答案】略【解析】证明：，与是相似三角形【总结】考查相似三角形判定定理2，对应边成比例且夹角相等ABCD【例20】如图，点是的边上的一点，且求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，【总结】考查相似三角形判定定理2，根据题目条件进行比例变形，对应边成比例夹角相等【例21】如图，在与中，ABCDE求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，即，【总结】有公共角的两角，加上或减去公共部分，仍相等，根据判定定理2，可判定相似【例22】下列说法一定正确的是（）（A）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似（B）对应角相等的两个三角形不

12、一定相似（C）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（D）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似【难度】【答案】C【解析】根据判定定理2可知A错误，C正确；根据判定定理1可知B错误，根据相似三角形预备定理可知只有直线与底边平行时才相似【总结】考查相似三角形的判定定理掌握情况和相关条件【例23】在和中，由下列条件不能推出的是（）（A），（B），（C），（D），【难度】【答案】A【解析】C选项根据相似三角形判定定理2可知，B和D选项中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知顶角相等，即两腰夹角相等，根据相似三角形判定定理2可推知【总结】考查相似三角形判定定理2的运用ABCDE【例24】

13、如图，是内一点，是外一点，求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，即，【总结】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再应用性质得出相关结论证明相似，进行性质和判定的相互转化ABCEFG【例25】已知，在中，、是的两条高，、交于点求证：（1）；（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1），即（2），即，又，【总结】考查“双高型”模型的建立，该图中共有8对相似三角形【例26】如图，点是的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结交的延长线于点，联结交的延长线于点，联结求证：【难度】ABCDEO【答案】略【解析】证明：是的垂心，即，【总结】考查“双高型”模型的建立，在钝角三角形中仍成立，该图中共有

14、8对相似三角形，注意进行相似三角形性质和判定的转换【例27】如图，点、分别对应点、求证：ABCBC【难度】【答案】略【解析】证明：，【总结】考查相似三角形性质和判定的转换，题目中出现一对相似三角形往往与之关联的三角形也是一对相似三角形【例28】如图，在正方形中，为的中点，以为顶点作，交于点，求证：【难度】【答案】略【解析】证明：延长、相交于点，过点作 交于点， 四边形是正方形， 设，则， ， ， 又， ， ， ， 又， 【总结】考查正方形和相似三角形的性质，由对应边比例关系转化到一个三角形中边的比例关系，推导结论【例29】如图，在中，是边上的高，点在线段上，垂足分别为、ABCDEFG求证：（1

15、）；（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1），是边上的高，（2），四边形是矩形，是边上的高，即有，即，【总结】考查相似三角形判定定理1与定理2和相似三角形性质综合题，需要根据题目需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换ABCEFGH【例30】如图，在中，正方形内接于，点、在边上，点、分别在、上，且求证：（1）；（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1）四边形是正方形，（2）四边形是正方形，又，由（1）可得，即【总结】过点D向AB作垂线，也可解答，可视作考查“子母三角形”与正方形性质相结合题型，出现两两相似ABCDPH【例31】如图，是斜边上的垂直平分线，垂直为点，并

16、交直角边于点，是上一点，且是与的比例中项求证：（1）；（2）是等腰直角三角形【难度】【答案】略【解析】证明：（1），即（2），即，又是的垂直平分线，即证是等腰直角三角形【总结】考查三角形中的等比例转化，根据判定证明相似再根据相似的性质得出结论再证明相似，先判定再应用【例32】如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出发沿边一直移动到点为止经过多长时间后，与相似？ABCPQ【难度】【答案】或【解析】设两动点运动时间为，则，（1）时，则有，即，解得：（2）时，则有，即，解得：【总结】解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应

17、关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可随堂检测【习题1】如图，在中，如果/，/，那么你能找出哪几对相似三角形？ABCDEF【难度】【答案】，【解析】/， /，【总结】考查相似三角形预备定理，同时建立两两相似的概念ABCD【习题2】如图，在中，为边上一点，则的长为【难度】【答案】2【解析】，代入可得：【总结】考查相似三角形的判定定理1并进行相似三角形性质应用【习题3】根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来（1）， ，；（2）， ，；（3）， ，【难度】 【答案】（1）相似，；（

18、2）相似，；（3）不相似【解析】根据相似三角形判定定理2即可知对应边成比例，且夹角相等即相似，（1）（2）均 符合题意，但需确立好对应关系；（3）中相等两角非夹角，不相似【总结】考查相似三角形判定定理2的条件，尤其注意是对应成比例边的夹角【习题4】如图，中，平分，若，则ABCDE【难度】【答案】3【解析】平分，同时又，由勾股定理可得：，代入即为：，解得：，3【总结】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的性质，注意根据对应边相似关系转化到一个三角形中边的对应比例关系ABCDOMS【习题5】如图，/，图中共有对相似三角形【难度】【答案】6【解析】根据/，由相似三角形预备定理，可知图中有6对相似三角

19、形，分成“”字型和“”字型两个类别【总结】考查相似三角形的一些常见模型，由相似三角形预备定理可推知，如“”字型和“”字型【习题6】如图，在矩形中，点是边的中点，且，ABCDE那么【难度】【答案】【解析】四边形是矩形，设，则，由此可得：，【总结】考查“子母三角形”基本图形，同时考查比例中项比值的求法【习题7】如图，是直角三角形，于点，是的中点，的延长线与的延长线交于点ABCDEF求证：【难度】【答案】略【解析】证明：，即，是中点，【总结】考查“子母三角形”基本模型的建立，同时与直角三角形斜边中线分直角三角形为两等腰三角形知识点相结合，推出角相等，根据相似三角形判定定理1可证相似【习题8】如图，在

20、中，点在中线上，求证：（1）；（2）ABCDE【难度】【答案】略【解析】证明：（1），即（2），即，【总结】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性质，证明过程中注意公共线段的充分利用，往往可以作为中间量【习题9】如图，在中，是边的中点，、分别是边、上的一点，与的延长线相交于点（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；ABCEFMG（2）联结，当时，求的长【难度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）例证，证明过程如下； 证明：， ， ，（2）， 又为中点， 由（1）得，即，解得： ，根据勾股定理得：【总结】考查“一线三等角”基本模型的建立，由外角可证相似

21、三角形【习题10】如图，中，平分，交于点，点在的延长线上，（1）求证：；（2）如果点在上，求证：ABCDEF【难度】【答案】略【解析】证明：（1），又平分，（2），又，又，即【总结】考查相似三角形判定定理1和2综合题型，再运用相似三角形性质进行证明课后作业ABCDEP【作业1】如图，已知，且交于点，试写出图中所有的相似三角形【难度】【答案】【解析】根据垂直和共用一个角，由相似三角形判定定理1可知这4个直角三角形两两相似，共形成6对相似三角形【总结】考查相似三角形中的基本模型，“双高形”，也可称作“飞镖形”，分出的4个三角形两两相似【作业2】如图，在中，是边上一点，且，联结ABCD求证：【难度】

22、【答案】略【解析】证明：，【总结】考查相似三角形的判定定理2，根据题目条件变形应用【作业3】如图，中，为上一点，在下列四个条件下，；，组合起来能得出：的是（）ABCP（A）、（B）、（C）、（D）、【难度】【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角，可知可判断相似；由相似三角形判定定理2，变形即为，加上公共夹角，可知正确，不正确【总结】考查相似三角形的判定定理的掌握，考查判定定理2的条件【作业4】如图，在中，厘米，厘米，是的外角平分线，/交的延长线于点，求的长ABCDEF【难度】【答案】【解析】是的外角平分线，/，又由/，可得，即，解得【总结】考查平行线与角平分线一起出现等腰三角形的

23、基本模型，同时根据平行即可判定对应线段成比例即可【作业5】如图，在中，求证：（1）；ABCDE（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1），同理可证，（2），即，【总结】考查相似三角形的判定和相关性质，注意相似的传递性，先判定相似再应用相似性质证明相关题目【作业6】如图，中，点是上的动点，作求证：（1）；（2）/【难度】ABCDE【答案】略【解析】证明：（1），即，（2），/【总结】由一对三角形的相似，根据相似三角形的性质，往往能推出其它的三角形的相似，注意多观察题目需要证明的结论，运用性质往结论方向综合证明ABCDE【作业7】如图，在中，于点，交边于点，于点，与交于点（1）求证：；（2）如果，求的长【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）证明：，（2）解：由（1）可知，即、解得：【总结】考查对相似三角形性质的综合应用，进行比例转化，也可通过点A向BC作垂线构造“字母三角形”求得【作业8】如图，在梯形中，/，点为边的中点，以点为顶点作，射线交边于点，射线交边于点，联结指出图中所有与相似的三角形，并加以证明ABCDEFM【难度】【答案】；【解析】证明：，又，是中点，即，【总结】考查“一线三等角”基本模型，根据内角可证相似，同时根据相似的性质加以题目条件可证其它相似三角形，注意不要遗漏