九年级数学暑假班讲义第3讲：三角形一边的平行线二（教师版）

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1、三角形一边的平行线（二）内容分析三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备知识结构模块一：三角形一边的平行线判定定理及推论知识精讲1、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边2、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧

2、）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么/例题解析【例1】在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行（1），；（2），；（3），；（4），【难度】【答案】（1）平行；（2）平行；（3）不平行；（4）平行【解析】（1），可推知平行；（2） ，可推知平行；（3） ，不相等，可推知不平行；（4）根据线段大小和位置关系，得，可推知平行【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用【例2】如图，则ABCNM【难度】【答案】【解析】由，根据三角形一边平行线的判定定理，可知，根据三角形一边平行线的性质定理

3、和比例的合比性，可得【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用ABPNM【例3】如图，中，点、分别在和的延长线上，且，则【难度】【答案】【解析】由，由比例合比性，可得，根据三角形一边平行线的判定定理的推论，可知，根据三角形一边平行线的性质定理，可得【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用【例4】如图，中，点在边上，点在边上，下列命题中不正确的是（ ）ABCEF（A）若/，则 （B）若，则/（C）若/，则（D）若，则/【难度】【答案】D【解析】A、B、C选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D选项不符合定理判定内容【总结】考查三角形一

4、边平行线性质定理及其判定定理的内容ABCDEF【例5】如图，点、在的边上，点在边上，且/，求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：， ， 则 又， ， /【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先利用性质证明比例线段相等再进行判定应用ABCDO【例6】如图，四边形中，、相交于点，若，求的长【难度】【答案】6【解析】， ， 代入可计算，得：【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用【例7】点、分别在的边、上，如果，能否得到/，为什么？【难度】【答案】不能得到平行【解析】在上必能找到一点使得/，同时在上能找到一点使得， 即等腰三角形存在，此时仍满足，但显然不与平行【总

5、结】考查三角形一边平行线判定定理内容的内容把握ABCDEFM【例8】如图，为的中点，/，联结、分别交、于点和点求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：/， 为的中点， ， /【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理，先判定再应用ABCDPNM【例9】如图，/，且求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：/，/【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定【例10】如图，、是的边上的两点，满足联结，过点作/，交边于点，联结ABCDEF求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：/， 又， 即， ， /【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比

6、例线段相等再判定ABCABCO【例11】如图，/，/求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：/，/，/【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定，先应用性质证明比例线段相等再判定ABCABCO【例12】将上题中的四边形绕点旋转得下图，而其他已知条件不变，结论还成立吗？【难度】【答案】成立【解析】证明：/，/，/【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的推论，先应用性质证明比例线段相等再判定【例13】点、分别在的边、上，且/，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：/ABCDEFGH【难度】【答案】略【解析】证明：/， 又四边形为平行四边形， ， ， ， /【总结】考查三角形一

7、边平行线性质定理及其判定定理的推论，先应用性质证明比例线段相等再判定ABCDEFG【例14】如图，在菱形中，点、分别在边、上，与交于点，又求证：四边形是平行四边形【难度】【答案】略【解析】证明：， 又四边形是菱形， 且有 ， 又， ， 即证四边形是平行四边形【总结】平行四边形的证明，先从判定定理出发，考虑哪个判定定理的应用，然后根据题目条件进行分析证平行【例15】如图，、分别是四边形各边的点，且，连接、相交于点ABCDEFOGH求证：【难度】【答案】略【解析】证明：连结、 ，即， 又，即， ， ， 即【总结】观察题目条件的形式，可知题目考查三角形一边平行线性质及其判定定理，先判定再利用性质进行

8、变形应用ADBCEFPQ【例16】如图，在梯形中，/，、分别是、的中点，且交于，交于，求的长 【难度】【答案】【解析】/， 又、分别是、的中点， ， ， ， 代入，求得：【总结】考查三角形一边平行线性质定理及其判定定理的，先应用性质证明比例线段相等再判定由三线平行模型可得出结论ABCDEFGk【例17】如图，点是的重心，过点作直线k，交于点，交于点求证：M【难度】N【答案】略【解析】证明：分别过点和点作和平行于直线，分别交、于点、点则有，又是的重心，根据重心的性质，且有，即此时为梯形的中位线，即可证【总结】根据重心的特殊性质构造平行线段，用比例线段的转化建立一个三直线平行的模型解决问题模块二：

9、平行线分线段成比例定理知识精讲1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例 如图，直线/，直线与直线被直线、所截，那么BCDEFG2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等例题解析BCADEF【例18】如图，/，求、的长【难度】【答案】【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性，可得，代入求得，则【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用CBADEF【例19】如图，直线、分别交直线于点、，交直线于点、，且/已知，求、的长【难度】【答案】【解析】根据平行线分线段成比例

10、定理和比例的合比性，可得，代入求得，则【总结】考查平行线分线段成比例定理结合比例的合比性质的应用，两条直线交叉时仍成立【例20】命题“梯形中，/，点、在、上，且，则/”是（选填“真”或“假”）命题【难度】【答案】真【解析】过点作的平行线，根据三角形一边平行线的判定定理易证得命题成立【总结】平行线分线段成比例定理，实际是三角形一边平行线性质定理的变形应用，即将一条直线进行平移即可【例21】如图，中，四边形为内接正方形，则ABCDEF【难度】【答案】【解析】【总结】考查图形中相等比例线段的转化abc【例22】已知线段、，求作线段，使【难度】【答案】略【解析】作法：在平面内任作一条直线，在上顺次截取

11、，过点任作一条射线，在上截取线段，连结，过点作交射线于点，线段即为所求【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等【例23】如图，已知线段，在线段上求作一点，使得AB【难度】【答案】略【解析】作法：过点任作一条射线（不与AB重合），在上顺次截取一个合适的线段，使得，连结，过点作交线段于点，点即为所求【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等【例24】如图，中，点是三角形的重心，（1）求的长；ABCNMG（2）过点的直线/，交于点，交于点，求的长【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）延长交于点，D则为斜边上的中线，则

12、有， 根据重心的性质，即可得（2）由/易得为斜边的中线，故【总结】考查三角形重心的性质与直角三角形斜边中线相结合，根据平行可得出线段相等的判定MABDCEF【例25】如图，是线段上一点，且，交于点，求的值【难度】【答案】【解析】过点作交的延长线于点，根据三角形一边平行线的性质定理，则有又，即可得，则由可得：【总结】考查三角形一边平行线的性质，由已知和所求比例构造平行【例26】如图，、都垂直于直线，ABCDEFl求的长【难度】NM【答案】10【解析】过点作交于点，交于点 、都垂直于直线， ， 则四边形、都为平行四边形 ， ， 由平行可得：，代入得：，【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往通过平

13、行线的平移转化到一个三角形中三角形一边平行线性质定理的应用ABCDEOPQM【例27】如图，中，为中点，为上一点，的延长线交于点，的延长线交于点，/，且过点与、分别交于点和点求证：（1）；（2）/【难度】【答案】略【解析】证明：（1）/，由为中点，即可证得（2）连结/，由（1）可得，/【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意根据相等的比例作为中间量进行等比例转换【例28】如图，在等腰梯形中，/，两对角线和相交于点，过点作/，且，若，求梯形中位线的长ABCDEFO【难度】【答案】【解析】/， 又/， 又， ， 即梯形中位线长为【总结】充分利用三角形一边平行的性质和比例合比性进行计算，关键点在

14、于判断中点，对于非等腰梯形也可得到相同的结论ABCDEFO【例29】如图，已知点、和点、分别是两边上的点，且/，/求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：/， 即 又/， ， 即 ， 即， /【总结】考查三角形一边平行线的性质及其判定定理，多用相等比例线段进行转化【例30】如图，、分别是两边、的中点，是上任一点，延长、交、于、，求的值EDABCPNMHK【难度】【答案】1【解析】过点作，分别交、的延长线于点、点 由，则有， 故 又、分别为、的中点，为的中位线，且， 又、分别为、的中点，、分别为、的中位线， ，即 由此，故【总结】根据题目所求的比例线段，构造平行线，在图形中形成“”字型和“”字型

15、的构造，先判定再应用，进行比例线段的综合应用【例31】如图，矩形中，、相交于点，于点（1）连接交于点，作于点，求证：点是线段的一个三等分点；ABCDEFGOHPM（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出的一个四等分点（要求保留作图痕迹，可不写作法及证明过程）【难度】【答案】（1）略；（2）如图点即为所求【解析】（1）证明：四边形是矩形，又，由可知为中点，即点是线段的一个三等分点（2）延长交于点，连结交于点，过点作交于点，易证点为中点，即图中点即为所求【总结】考查对三角形一边平行线性质定理的构造和应用，注意对图形中“”字型和“”字型的构造，先判定再应用，进行比例线段的综合应用【例32】如图，中，

16、是边上的一个动点，过点作/与相交于点，连接，设线段的长为，的面积为（1）求与之间的函数关系式，并指出函数的定义域；ABCDP（2）是否存在一个位置的点，使的面积等于的面积的？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由【难度】【答案】（1）；E（2）存在，【解析】（1）过点作于点F由，可得，又，故又，故，代入可得：故（2） 过点作于点由，可得：，故又的面积是面积的，解得：，即【总结】考查三角形中一边平行线性质的综合应用，同时在题目中，注意对于特殊角的利用随堂检测ABCDE【习题1】如图，中，点、分别在边、上，已知，由此判断和的位置关系是，理由是【难度】 【答案】平行，三角形一边平行线的判定定理【

17、解析】，则有，根据三角形一边平 行线的判定定理可知平行【总结】考查三角形一边平行线判定定理的内容掌握【习题2】中，直线交于点，交于点，以下能推出/的条件 是（ ）（A），（B），（C），（D），【难度】 【答案】A【解析】根据比例的合比性，可知只有A选项中满足，根据三角形一边平行 线的判定定理可知A选项正确，其它都不满足【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，需要结合比例的合比性等性质进行判断【习题3】在中，点、分别在边和上，要使/，则【难度】 【答案】6【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，要得到/，则必有， 即，即可求得【总结】考查三角形一边平行线的判定定理，注意性质和判定的相互转化【习

18、题4】如图，中，/，求证：/ABCDEF【难度】【答案】略【解析】证明：/， 又， /【总结】考查三角形一边平行线性质及其判定定理，先利用性质构造等比例线段再判定【习题5】如图，已知/，它们依次交直线、于点、和点、（1）如果，求的长；（2）如果，求、的长ABCDEF【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有，代入可求得（2）根据平行线等分线段成比例定理，则有， 根据比例的合比性，则有，代入可得，【总结】考查平行线等分线段成比例定理和比例的合比性的综合应用【习题6】如图，平行四边形中，、相交于点，的延长线交的延长线于点，求【难度】ABCDEFO【答案】2【解析

19、】延长交线段于点 四边形是平行四边形， 又由，可得，G 由，可得，即， 解得：【总结】平行四边形中容易出现“”字型和“”字型，利用平行可进行相应的等比例转化解决问题【习题7】如图，在中，点、分别在、上，且/，为的中点，、的延长线分别交、的延长线于点、点，连接，求证：/ABCDEFGH【难度】【答案】略【解析】证明：/， 又， 根据比例的合比性，即， 【总结】考查三角形一边平行线性质及其判定定理，根据平行进行等比例转化【习题8】如图1，在菱形中，点是边上的一点，联结交于，过作/交于，可以证明结论成立（不必证明）（1）如图2，上述条件中，若点在的延长线上，其他条件不变时，结论是否仍成立？若成立，请

20、给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知，求线段与的长ABCDFGHABCDFGHM 图1图2【难度】【答案】（1）成立；（2），【解析】（1）证明：四边形是菱形， /， 由，根据比例的合比性， （2）过点作交延长线于点 四边形是菱形， ，由，可得，由得，代入即得：【总结】平行四边形中容易出现“”字型和“”字型，利用平行可进行相应的等比例转化解决问题，同时注意对图形中一些特殊角的运用，实际上在上图中产生了三个等边三角形，利用等边三角形也可以解决问题【习题9】如图，矩形中，对角线、相交于点，在线段上取一点，过点作的平行线交于点，连接，并延长交于点，连接（1）求证：/；（2）

21、设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出它的定义域ABCDEFOP【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）证明：，又四边形为矩形，由此可得，/（2） 解：由（1）可得/，故，则，同时由于， 【总结】考查三角形一边平行线性质运用时，经常可以将对应边的比例关系转化到一个三角形中相应边的比例关系，并且在平行四边形中，过对称中心的点平分平行四边形的周长和面积，且截得的线段都相等课后作业【作业1】在的一边上顺次有、两点，在另一边上顺次有、两点，又下列条件能判断的个数是（）（1），；（2），；（3），；（4），（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【难度】 【答案】C【解析】根据三角形一边平行

22、线的判定定理，可知（2）（3）都满足，可得到，（1）不满足；同时，在（4）的条件下，和都是等腰三角形，且有公共底角，由此可知两三角形每个角都对应相等，也可得到平行【总结】考查三角形一边平行线的判定定理的条件，一般只考虑有公共夹角的情况，但有时候在等腰三角形中需要进行更详细分析再得出结论【作业2】中，点和点分别在、上，且，则【难度】【答案】【解析】由，即有 故，可得：【总结】考查三角形一边平行线的性质和判定定理，先判定再利用性质得出结论【作业3】已知点、分别是的边、的反向延长线上的点，如果，当为何值时，？【难度】【答案】【解析】【总结】考查三角形一边平行线性质判定定理的推论，在反向延长线上也成立

23、ABCDEF【作业4】如图，在中，点、分别在、上，且，求证：/【难度】【答案】略【解析】证明：， 由，可得，则有， /【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，也可通过证明四边形是平行四边形间接证得ABCDEFONM【作业5】如图，在梯形中，/，两对角线和相交于点，且分别与相交于点、，下列比例式中正确的是（）（A） （B）（C） （D）【难度】【答案】A【解析】根据三角形一边平行线的性质定理及其推论可知A正确【总结】考查三角形一边平行线的性质定理及其推论，找准相应比例线段，确立好对应关系【作业6】如图，/，则不成立的是（ ）ABCDEFG（A）（B）（C）（D）【难度】【答案】B【解析】由/

24、，可得，B错误，C正确；又根据，可得，由平行可得：，A、D正确【总结】考查三角形一边平行线的性质定理，注意根据题目已知条件进行等比例转化【作业7】如图，直线/，若，求线段与的长ABCDEFG【难度】【答案】，【解析】根据平行线分线段成比例定理，可以得到，即，可得由，可得：，代入可解得：，【总结】考查平行线分线段成比例定理，往往可以在过程中应用三角形一边的平行线性质定理进行比例转化和计算【作业8】如图，已知线段，在线段上求作一点，使得AB【难度】【答案】略【解析】作法：在平面内任作一等腰直角三角形，其中点为其直角顶点，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则，过点任作一条射线，在上顺次截取，连

25、结，过点作交线段于点，点即为所求【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，平行情况下截得的对应线段长度比例相等，关键在于构造比为的线段，利用等腰直角三角形的三边比可以构造出来【作业9】梯形中，点在上，点在上，且，（1）如图（a），如果点、分别为、的中点，求证：/且；（2）如图（b），如果，判断和是否平行，并证明你的结论，并用、的代数式表示MMABCDEFABCDEFNN【难度】【答案】（1）略；（2）平行，【解析】（1）证明：过点作交延长线于点，交于点，则四边形为平行四边形，为中点，由平行可得为中点，即，为中点，由，四边形为平行四边形，且即（2）证明：过点作交延长线于点，交于点，则四边形为平

26、行四边形，由，由，四边形为平行四边形且由，可得，即，解得：【总结】考查梯形中位线性质的证明，实际上也是平行线分线段成比例定理的一种逆运用，通过平移构造并证明平行线段【作业10】已知/，点、为直线上的两动点，（1）当点、重合，即时（如图1），试求； （用含、的代数式表示）（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当、不重合，即，如图2这种情况时，试求；（用含、的代数式表示）如图3这种情况时，试猜想与、之间有何种数量关系？并证明你的猜想FEA(D)BCNMBCNMBCNMADEFADEFGGHH【难度】【答案】（1）；（2）；【解析】（1）时，可得；（2） 过点作交于点，交于点， 易得 同时由平行可得：， 则， 过点作交延长线于点，交延长线于点， 易得， 同时由平行可得：，则， 【总结】考查平行线分线段成比例定理，通过平移转化到一个三角形中对应边成比例即可