九年级数学暑假班讲义第10讲：锐角三角比的意义（教师版）

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1、锐角的三角比的意义内容分析锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备知识结构模块一：正切和余切知识精讲1、 正切acABCb直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）锐角A的正切记作tan A2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）锐角A的余切记作cot A例题解析【例1】

2、如图，在中，的对边是_，的邻边是_的对边是_，的邻边是_ABC【难度】【答案】【解析】在直角三角形中，锐角的对边是指该锐角相对的直角边，邻边是指该锐角相邻的直角边，直角所对的边叫斜边【总结】考查学生对“对边、邻边”的概念理解【例2】 如图，在中，垂足为点Q（1） 在中，的对边是_，的邻边是_；在中，的对边是_，的邻边是_PNMQ（2） 在_中，的对边是MP；在_中，的邻边是NQ（3） 的邻边是_，的对边是_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】图中有3个直角三角形，同一个锐角有可能属于两个直角三角形，注意审题清楚即可【总结】考查“对边、邻边”的基础概念【例3】 如图，在中，垂足为点QP

3、NMQ（1） （2） _，_（用正切或余切表示）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（），表示一个角的正切，先判定该锐角属于哪个直角三角形，再找对应的对边和邻边【总结】考查学生对锐角的正切的定义及理解【例4】 在中，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值【难度】【答案】【解析】画示意图，很直观的可以确定锐角的对边和邻边，A和B的正切和余切即可表示【总结】考查学生对锐角的正切和余切的理解【例5】 在中，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值【难度】【答案】【

4、解析】画示意图（略），由勾股定理求得，再来表示的正切和余切值【总结】求解锐角三角比，要求学生画示意图，明确直角边和斜边，从上一例题和这题可以看出互为余角的两锐角的正切和余切值相等ABCDO【例6】 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求和的值【难度】【答案】【解析】矩形的对角线互相平分且相等，所以，所以，在直角三角形中，,因为互余，所以【总结】结合矩形考查锐角的正切和余切，需要对矩形的性质熟练运用yxABO【例7】 如图，已知正比例函数的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求和的值【难度】【答案】【解析】过点A作AC垂直于轴，设，且点A在第一象限，

5、所以，因为，所以【总结】考查锐角的正切和余切，当没有直角三角形时，需要构造直角【例8】 已知，在中，BC = 9，tan A = 求：（1）AB的长；（2）tan B的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】画示意图（略），在中，C90，,，由勾股定理，得；，也可由互余的两个锐角的正切值乘积为1算得【总结】考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段模块二：正弦和余弦知识精讲1、 正弦acABCb直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）锐角A的正弦记作sin A2、 余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）锐角A

6、的余弦记作cos A例题解析【例9】 如图，在中，垂足为点Q（1） PNMQ（2） _，_（用正弦或余弦表示）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】，理解了这个定义，再确定直角三角形，当互余时，所以第（2）均有两解【总结】考查锐角的正弦和余弦的定义及求解方法【例10】 在中，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值【难度】【答案】【解析】画示意图（略），由勾股定理，得，【总结】考查锐角的正弦值和余弦值的求解【例11】 在中，AC = 4，BC = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值【难度】【答案】【解析】画示意图（略），由勾股定理，

7、得,，【总结】考查锐角的正弦和余弦xyPO【例12】 如图，在直角坐标平面内有一点P（2，3）求OP与x轴正半轴的夹角的正弦和余弦的值【难度】【答案】【解析】过点P作PH垂直于轴，则由勾股定理，得，【总结】考查作垂线构造直角三角形求解锐角的正弦和余弦【例13】 已知，在中，BC = 9，sin A =求：（1）AB的长；（2）sin B的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，；（2）由勾股定理，得，【总结】考查学生对知识的逆向运用，已知锐角的正弦值，求解相关线段长【例14】 已知，在中，sin A =，求sin B的值【难度】【答案】【解析】在中，【总结】考查锐角三角比之间的相互

8、转换，运用了“设法”模块三：锐角的三角比知识精讲1、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比定义表达式取值范围相互关系正切（为锐角）余切（为锐角）正弦（为锐角）余弦（为锐角）例题解析【例15】 如图，在中，AB = 5，BC = 4，求的四个三角比的值ABC【难度】【答案】【解析】由勾股定理，得，根据正弦、余弦、正切、余切的定义求解得【总结】考查同一个锐角的四个三角比的定义ABC【例16】 在中，BC = 3，tan A =，求的四个三角比的值【难度】【答案】【解析】已知,又，由勾股定理，得，根据正弦、余弦、正切、余切的定义得【总结】考查锐角的三角比的基础运用【例1

9、7】 在中，sin B =，求、和【难度】【答案】【解析】，设，由勾股定理，得,由三角比的定义得【总结】考查“设法”求锐角的三角比的值【例18】 在中，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求、和【难度】【答案】【解析】本题条件充足，三条边都给了，并且是直角三角形，画示意图（略）直接求得【总结】考查锐角的三角比的定义【例19】 已知等腰中，底边BC = 20 cm，面积为40 cm2，求sin B和tan C【难度】【答案】【解析】画示意图，过点A作ADBC，垂足为D，则,，求得,由勾股定理，得,在中，,在中，【总结】结合等腰三角形考查锐角三角比的求解，运用等腰三角形三线合一构造直角A

10、BCD【例20】 如图，在中，BDAC，若AB = 9，BC = 12，求sin A、cot C的值【难度】【答案】【解析】由勾股定理，得，,可知，【总结】考查互余角之间三角比的转换，本题也可求解的长去表示的三角比ABCD【例21】 如图，在中，点D在边BC上，AD = BD = 5，求和的值【难度】【答案】【解析】，由勾股定理，得,【总结】结合直角三角形的性质，考查锐角三角比的基础运用【例22】 在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为，求、和【难度】【答案】【解析】画示意图，过点A作AH垂直于轴，垂足为H，由勾股定理，得，根据三角比的意义，得【总结】结合坐

11、标系考查三角比的意义，过点向坐标轴作垂线构造直角三角形【例23】 已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为，求和的值【难度】【答案】【解析】画示意图，一次函数与轴交于点,与轴交于点,，则，代入得【总结】本题结合一次函数，考查锐角三角比的意义【例24】 如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO = 5，求：（1）点B的坐标；（2）的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）过点B作BHOA，则；（2）由勾股定理，得，【总结】考查锐角三角比的综合应用【例25】 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为D

12、E，求的值ABCDE68【难度】【答案】【解析】由题意，得，因为翻折，所以，设，在直角三角形BCE中，即，解得，所以，所以【总结】考查图形运动翻折，利用翻折的性质求解锐角三角比【例26】 如图，在平行四边形ABCD中，AB = 10，为锐角，sin B =，求AD、AC的长【难度】【答案】【解析】过点A作AEBC，根据平行四边形对边相等，综上所述，【总结】结合平行四边形的性质考查锐角三角比的应用【例27】 如图，在中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求的四个三角比的值【难度】【答案】设，则【解析】过点A作ADBC，垂足为D，由,设，根据，得：，解得,则,设，【总结】考查解锐角三

13、角形，已知三边，采用作高不设高的方法【例28】 已知中，sin A = ，tan B = 2，且AB = 29求的面积【难度】【答案】【解析】过点C作CDAB，设，即，解得，【总结】本题综合性较强，主要考查锐角三角比的综合应用【例29】 如图，在梯形ABCD中，AD / BC，ABAD，对角线AC、BD相交于点E，BDCD，AB = 12，求：（1）的余弦值；（2）DE的长ABCDE【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），由勾股定理，得，即；（2），设，则，解得【总结】考查锐角三角比的应用，结合平行线分线段成比例求解线段长【例30】 如图，在中，CDAB于点D，ABCD若AD : BC

14、= 16 : 15，求、的值【难度】【答案】【解析】，由射影定理得（证），设，列等量关系，得解得，由三角比的定义得【总结】结合相似三角形，设k法考查锐角三角比，射影定理的结论在主观题中需要学生证明【例31】 如图，在中，AB = 14，BD是AC边上的中线求：（1）的面积；（2）的余切值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）过点C作CEAB，过点D作DFAB，设则，则，则；（2），D是AC中点，【总结】考查锐角三角比的综合应用，通过构造垂线利用已知角三角比来求解相关问题【例32】 如图，在等腰中，已知A（1，0），B（0，3），M为BC中点，求【难度】【答案】【解析】过点C作CDx轴，过

15、点M作MNx轴，因为等腰，可证，是BC的中点，所以N是OD的中点，则,，则【总结】结合平面直角坐标系考查锐角三角比的综合运用随堂检测【习题1】 已知，在中，AB = 5，AC = 4则：（1）sin A = _，cos A = _，tan A = _，cot A = _；（2）sin B = _，cos B = _，tan B= _，cot B = _【难度】【答案】（1）；（2）【解析】画示意图（略），结合正弦、余弦、正切、余切的定义即可解答【总结】考查锐角三角比的基础应用【习题2】 在中，BC = 3，cos A =，则AB = _【难度】【答案】【解析】画示意图（略），设，因为，利用勾股

16、定理，得，解得，所以【总结】考查锐角三角比的基础应用【习题3】 已知，则sin A cos B的值为_【难度】【答案】0【解析】若互余，则，所以【总结】考查互余角的正弦和余弦之间的关系【习题4】 如图，在中，AB = BC = 20，求sin A和tan A的值【难度】【答案】【解析】过点B作BDAC，所以，由勾股定理，得，【总结】考查锐角三角比的基础应用，当没有直角三角形时要通过做高构造直角三角形【习题5】 如图，在中，CDAB于D已知AC = 8，BC = 15求ABCD的三角比【难度】【答案】设，【解析】，（同角余角相等），所以，设，则【总结】考查锐角三角比的应用，需要学生掌握求一个角的

17、三角比可以转化为求与它等角的三角比ABCDE【习题6】 如图，在中，sin A = ，点D、E分别在边AB、AC上，DEAC，DE = 2，DB = 9，求DC的长【难度】【答案】【解析】，在中，【总结】结合平行线分线段成比例，考查锐角三角比的应用【习题7】 已知，锐角的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1，）求的三角比【难度】【答案】【解析】画示意图，过点P作PHx轴，P（1，），由勾股定理，得：，【总结】结合坐标系，考查锐角三角比，向坐标轴作垂线构造直角ABPxyO【习题8】 已知一次函数y = x 4的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，P是线段AB的中点，求的值【难

18、度】【答案】【解析】由题意，得，联结PO（略），则，在中，即【总结】本题主要考查当两个锐角相等时，它们的同一个锐角三角比也相等的应用【习题9】 中，CDAB于点D，AD : BC = 7 : 12，求、的值【难度】【答案】【解析】画示意图，由射影定理（利用三角形相似证明），得，由，设，有，解得：，也可转化为求B的三角比【总结】结合锐角三角比考查射影定理的应用【习题10】 如图，在梯形ABCD中，AD / BC，AD = AB = CD = 4，（1）求BC的长；（2）求的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）过点D作DFBC，过点A作AEBC，则四边形为矩形，同理，所以；（2），【总结

19、】结合等腰梯形的性质，考查三角比的综合应用课后作业【作业1】 在中，、的对边是a、b，则（）A的正弦值B的余弦值C的余切值D的余切值【难度】【答案】C【解析】画示意图（略），可知，所以C选项是正确的【总结】考查正切、余切的定义【作业2】 在中，AB = c，AC = b，BC = a，则下列关系不成立的是（）Ab = ccos ABa = btan BCc =Dtan Atan B = 1【难度】【答案】B【解析】，所以A正确；，所以B不成立；，所以C正确；因为A和B互余，所以，所以D正确【总结】考查锐角三角比的定义及等式性质ABC【作业3】 已知，在中，AB = 16，cos A =求：（1

20、）AC的长；（2）tan B的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，；（2）由勾股定理，得，【总结】考查锐角三角比的基础应用【作业4】 已知的三边a、b、c满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =_【难度】 【答案】【解析】因为，所以，所以C是直角，则，所以【总结】考查勾股定理的逆定理及锐角三角比的基础应用【作业5】 若是锐角，且，则_【难度】【答案】【解析】画示意图，因为，将放于一个直角三角形中，设它的邻边是，对边是，则斜边是，因为是的余角，所以【总结】考查设法的应用，以及互余角的三角比之间的转换【作业6】 已知中，BC = 10，c

21、os C =，AC = 8求AB的长和的正切值【难度】【答案】【解析】（1）过点A作ADBC，则，由勾股定理，得：，；（2）【总结】考查利用锐角三角比的概念求解锐角三角形的应用【作业7】 如图，在中，AB = BC = 10，求sin B和tan B的值【难度】【答案】【解析】过点A作AEBC，过点B作BDAC，由勾股定理，得，根据面积法，有等量关系，解得，再由勾股定理，得，所以【总结】本题一方面考查面积法的应用，另一方面考查锐角三角比的求解，通过作高将锐角放于直角三角形中求解的思想ABCDE【作业8】 如图，在中，AC = 8，BC = 6，CD是斜边AB上的高若点E在线段DB上，联结CE，

22、求CE的长【难度】【答案】【解析】，AC = 8，BC = 6，由勾股定理，得，由面积法，得，【总结】结合面积法，考查三角比的基础应用【作业9】 已知中，是锐角，BC = a，AC = b求证：【难度】【答案】略【解析】画示意图，过点A作ADBC，则，即【总结】考查三角比的拓展应用，已知三角比和边来表示有关线段长，从而达到表示三角形面积的目的，这个结论也是正弦定理的变式【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A、B、C三点，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，4），点C的坐标为（8，3），求和的值【难度】【答案】【解析】，根据两点间距离公式，得，所以，所以， 【总结】结合平面直角坐标系，考查勾股定理逆定理的运用，从而求解相关锐角的三角比