九年级数学暑假班讲义第1讲：相似形与比例线段（教师版）

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1、相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习知识结构模块一：相似形的概念及性质知识精讲1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图

2、形称为相似的图形，简称相似形2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1例题解析【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）【难度】 【答案】一定，不一定【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形【例2】在下边的方格图中，分别画出和四边形的一个相似图形ADA【难度】【答案】略【解析】答案不唯一如图是其中一种【总结】考查对于相似图形定义的把握，可以采用全等是特殊的相似画图，若要

3、画比例选段，将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【难度】 【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同【例4】下列说法不一定正确的是（）（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是的等腰三角形都相似（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似【难度】【答案】D【解析】直角三角形两个锐角角度不固定

4、，形状不一定相同【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（）（1）两个等腰三角形；（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组【难度】【答案】B【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应【例6】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点

5、与点分别是对应顶点，已知，求，的长和的度数【难度】【答案】【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例有，将代入，求得：，根据四边形内角和，可求得：，相似图形对应角相等可知【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系【例7】如图，和是相似形，顶点、分别与点、对应，已知，求、的长和的度数【难度】【答案】，【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例有，将代入，可求得，根据三角形内角和为180，可求得：，根据相似图形对应角相等可知 【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系【例8】已知的三边长分别是、，与其相似的的最大边长是，求的最小边

6、长【难度】【答案】最小边长为9【解析】【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、，乙三角形其中一边的长为，求乙三角形的另外两边的长【难度】【答案】3，4或，或1，【解析】分类讨论（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代

7、不明确的，需进行分类讨论【例10】如图，矩形中，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令求出矩形的面积与的函数关系式【难度】【答案】【解析】根据矩形与矩形相似，可对应得，因此，进而可求得：【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果模块二：比例的性质知识精讲1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、成比例2、比例的性质（1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，（2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么（3）等比性质： 如果，那么例题

8、解析【例11】下列各组线段中，成比例的一组是（）（A），（B），（C），（D），【难度】【答案】A【解析】只有A选项满足可知其成比例【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定【例12】（1）求，的第四比例项；（2）若，的第四比例项是，求【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据比例的基本性质可得第四比例项=；（2）依题意有，根据比例的基本性质，整理得，解得【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义【例13】（1）是和的比例中项，则； （2）是和的比例中项，则； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由题意可知，由此，；（2

9、） 由题意可知，可解得；（3）、都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别【例14】（1）若，则； （2）若，则； （3）若，则【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）根据比例的合比性，；（2）由，可得，原式=；（3）由，可得，原式=【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算【例15】（1）已知：，求的值； （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值【难度】【答案】（1）；（2）26；（3）11【解析】（1）令，得，原式=；（2） 令，得，原式=；（3） 令，得，原式=【总结】考查换元思想，

10、也可采用【例14】确定单位“1”的思想【例16】设线段、满足，求、的值【难度】【答案】【解析】由（1）可得，再结合（2），可得：，由此可得到，结合（2）式可解得【总结】考查比例的等比性质的应用【例17】设，求的值【难度】【答案】0【解析】根据分式基本性质，得，令，则有，三式相加，即得【总结】考查比例的性质的综合应用【例18】若，求的值【难度】【答案】6或【解析】（1）时，根据比例的等比性；（2）时，可得，则【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论【例19】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？【难度】【答案】三、四【解析】（1）时，根据比例

11、的等比性，此时一次函数经过一、三、四象限；（2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限；综上所述，函数必经过三、四象限【总结】考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联模块三：比例线段知识精讲1、比例线段的概念 对于四条线段、，如果（或表示为），那么、叫做成比例线段，简称比例线段2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点其中，称为黄金分割数，简称黄金数例题解析【例20】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是【难度】【答案】【解析】实际距离=

12、图上距离比例尺，可知两地实际距离为，注意单位的转化【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离实际距离，公式转化【例21】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（）（A）（B）（C）（D）【难度】【答案】B【解析】比例尺=图上距离实际距离，比例尺=【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算【例22】（1）若，则； （2）若，则； （3）若，则【难度】【答案】（1）2:15；（2）4:1；（3）【解析】（1）；（2）；（3）【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长

13、为厘米，则它的宽约为（精确到百分位）【难度】【答案】【解析】这本书的宽约为【总结】考查黄金比的定义及其相关比值【例24】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，求证：（1）；（2）【难度】【答案】略【解析】证明：（1），根据比例的合比性质，根据比例的合比性质，即根据比例的合比性质，【总结】考查比例的合比性质的应用【例25】如果和面积相等，且，那么边与边上的高的比为（）（A）（B）（C）（D）【难度】【答案】B【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为【总结】考查成反比的相关计算【例26】已知有三条线段的长分别为，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度【难度】【答

14、案】或或【解析】设添加的线段长度为，将当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：（1）对应的外项是时，；（2）对应的外项是时，；（3）对应的外项是时，【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论【例27】在中，点、分别在边、上，且，则，若的周长为厘米，则的周长为厘米【难度】【答案】（1）3；（2）120【解析】（1）由，可得，即，故，；（2）根据比例的等比性，即，代入求得【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用【例28】如图，在梯形中，/，对角线、相交于点（1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？（2）求证：【难度】【答案】（1），同底等高，减去公共部分面积相等；（2）略【

15、解析】（1），同底等高，故，即；（2）证明：和同高，同理，又，【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比【例29】如图，在中，垂足为，是边上的一点，垂足为，求的值【难度】【答案】【解析】，又，/，即，即【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比【例30】已知线段的长度为，点P在线段上，求线段的长【难度】【答案】【解析】根据题意，即有，解得，点是黄金分割点【总结】考查黄金分割点的定义【例31】（1）点是线段的黄金分割点，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，求的值【难度】【答案】（1）；（2）或【解析】（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此

16、时；（2） 线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和，故或【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个【例32】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长【难度】【答案】【解析】根据黄金分割点定义，知，故，得【总结】考查线段的黄金分割点有两个【例33】如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项，求的长【难度】【答案】2【解析】由，即，可得，代入即得【总结】考查黄金比的综合应用【例34】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接在的延长线上取点，使以为边作正方形

17、，点在上（1）求线段、的长；（2）求证：；（3）请指出图中的黄金分割点【难度】【答案】（1），；（2）略；（3）是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点【解析】（1）是的中点，可知，根据勾股定理得：，则，；（2） 证明：，即证；（3） 根据定义可知是线段的黄金分割点，类似的，我们可以得到， 可知是线段的黄金分割点【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割随堂检测【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）（A）图形中线段的长度与角的大小都保持不变（B）图形中线段的长度与角的大小都会改变（C）图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变（D）图形中线段的长度可以改变、

18、角的大小保持不变【难度】 【答案】D【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长度可以改变，角度保持不变【总结】考查相似的定义【习题2】在下图中，画出四边形的相似四边形，使【难度】 【答案】略【解析】如图即为所示【总结】注意把握好相似图形的定义，形状完全相同，各对应边比例相等，在不能计算的情况下将图形分别在横向和纵向进行分解即可【习题3】已知：、是四条线段，它们的长度分别是，它们是不是成比例线段？【难度】【答案】是【解析】将线段长度单位都转化为，由，可知线段、是成比例线段【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为千米，画在

19、一张地图上的距离为厘米，那么在这张地图上量得的距离为厘米的、两地的实际距离为千米【难度】【答案】4【解析】同一张地图上比例尺相等，则有，可得【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离实际距离，公式转化应用【习题5】已知点是边上一点，且与是相似形，点、分别与点、对应，求的值【难度】【答案】【解析】依题意可得，则，故【总结】考查相似形的对应关系【习题6】若，则【难度】【答案】【解析】根据比例的基本性质，去括号得，移项，得，故 【总结】考查比例的基本性质【习题7】直线上顺次有四点、，且，则； 【难度】【答案】，【解析】，得，得，即得，故，则，【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化【习题8】点

20、是线段的黄金分割点，求的值【难度】【答案】或【解析】根据黄金分割点的定义，即，两边同时除以，可解得=；或，类似的可得=【总结】注意线段的黄金分割点有两个课后作业【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例【难度】 【答案】答案不唯一例：镜子中的虚像和人体的实像【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形【总结】考查相似图形的特征，注意多观察【作业2】若，则【难度】【答案】2【解析】根据，由比例的基本性质，则有，整理得：，故【总结】考查比例的基本性质【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是（）（A）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形（B）有一个内角为的两个菱形（C）边长分别为厘米和

21、厘米的两个菱形（D）两个高相等的等腰梯形【难度】【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B选项正确；A选项边不对应成比例，C选项菱形有不稳定性，形状不固定，D选项等腰梯形形状不固定【总结】考查相似图形的特征【作业4】已知的三边长分别是、，与其相似的的最小边长是，求的周长【难度】【答案】45【解析】两三角形对应相似，则必有最短边对应最短边，最长边对应最长边，即中边长为4的边对应中边长为12的边，根据比例的等比性，可以得到，由，可得【总结】实际上，根据比例的等比性可知相似三角形周长比等于对应边之比【作业5】，求线段、的第四比例项【难度】【答

22、案】【解析】将单位都转化为，则，根据比例的基本性质，可知线段、的第四比例项【总结】成比例线段问题中注意单位的统一【作业6】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走米【难度】【答案】或【解析】注意线段的黄金分割点有两个，黄金比为，主持人需走的路程为；另一个比例则为，主持人需走的路程为【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义【作业7】若，求直线经过的象限【难度】【答案】一、二、三或二、三、四【解析】（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、二、三象限；（2） 时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联【作业8】已知、是非零实数，且满足,求的值【难度】【答案】8或【解析】设（1）当时，根据比例的等比性，此时有，可得，代入所求代数式，可得：；（2）当时，可得，代入所求代数式，可得：【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论