九年级数学暑假班讲义第8讲：平面向量的线性运算（教师版）

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1、平面向量的线性运算内容分析平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示知识结构模块一：实数与向量相乘知识精讲1、 平面向量的相关概念（1） 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2） 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3） 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；（4） 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫

2、做相等的向量；（5） 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6） 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量2、 平面向量的加减法则（1） 几个向量相加的多边形法则；（2） 向量减法的三角形法则；（3） 向量加法的平行四边形法则3、 实数与向量相乘的运算设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作（1） 如果，且，那么的长度；的方向：当k 0时与同方向；当k 0时与反方向（2） 如果k = 0或，那么4、 实数与向量相乘的运算律设m、n为实数，则（1） ；（2） ；（3） 5、 平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使6、 单位向

3、量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量设为单位向量，则单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作由实数与向量的乘积可知：，例题解析【例1】 下列命题中的假命题是（）（A）向量与的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量【总结】此题主要考查向量的相关概念【例2】 填空：；【难度】【答案】；【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如是利用减法法则，箭头

4、指向被减数，同时，这样运算复杂了，但也是一种思路【总结】此题主要考查向量的加减运算法则ABCDO【例3】 如图，已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点O设，试用、表示下列向量：，【难度】【答案】【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:；【总结】此题主要考查向量的加减运算法则【例4】 已知非零向量，求作，【难度】【答案】略【解析】与方向相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的3倍，作图略【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量ABCDEFGHO【例5】 如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O设，试用向

5、量或表示向量、，并写出图中与相等的向量【难度】【答案】，与相等的向量有【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以，与相等的向量有五个【例6】 计算：；【难度】【答案】【解析】（1）；（2）；（3）【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则【例7】 用单位向量表示下列向量：（1）与方向相同，且长度为9；（2）与方向相反，且长度为5；（3）与方向相反，且长度为【难度】【答案】【解析】此题主要考查用单位向量来表示已知向量,【例8】 已知非零向量，求作（1）；（2）【难度】【答案】略【解

6、析】方向与相同，长度是的倍；方向与相反，长度是的倍，作图略ABCDE【例9】 如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，DE/BC，AD = 4，BD = 7，试用向量表示向量【难度】【答案】【解析】，又，【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同【例10】 下列说法中，正确的是（）A一个向量与零相乘，乘积为零B向量不能与无理数相乘C非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】【答案】D【解析】A选项向量与零相乘，结果是零向量；B选项向量可以与任何实数相乘；C选项非零向量乘以一个负数

7、，方向与原向量相反，长度不确定【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则ABCDEF【例11】 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，且，用、表示，其结果是【难度】【答案】【解析】【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则【例12】 如果，那么的取值范围是【难度】【答案】【解析】,当O、A、B三点共线时，同向时取最小值2，方向相反时取最大值8，所以【总结】此题主要考查向量的模的概念【例13】 计算：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）；（2）；（3）【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”【例14】 设、是已知向量，解关

8、于向量的方程【难度】【答案】【解析】解：， 【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量【例15】 已知向量、满足，求证：向量和平行【难度】【答案】略【解析】去分母：去括号：移项合并得：系数化1：所以，向量和平行【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行【例16】 已知，其中，那么向量与是否平行？【难度】【答案】平行【解析】联立方程组：，解得，所以，向量与平行【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行【例17】 如图，已知，求作（提示：利用三角形的重心）【难度】【答案】略【解析】，过点D作线段BC，使得D是BC中点，联结AB、AC取AC中点，则AD、B

9、E分别是三角形ABC的中线，根据三角形重心的性质可知：为所求作向量.【总结】此题主要是利用重心的性质定理来求作一个向量【例18】 已知梯形ABCD中，AD/BC，且AD = 2AB = 2CD，（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数x、y的值【难度】【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图，过点A、D分别作梯形的高AE、DF，设ABCD，则，B60，BAE30，同理，可得，.（2）延长BA、CD相交于点G，易得、是等边三角形，所以，根据三角形法则，又，.【例19】 、是已知向量，且、不平行，是未知向量，且，表示、的有向线段能构成三角形吗？【难度】【答案】能构成三角形.【解析】因为,两边同时

10、除以3,得,因为、不平行，所以、不共线，即、能构成三角形.【总结】在三角形ABC中，同理若，则表示的三条有向线段能构成三角形.【例20】 在四边形ABCD中，求证：四边形ABCD为梯形【难度】【答案】略【解析】，四边形ABCD是梯形【总结】本题主要考查平行向量与两条直线平行的关系模块二：向量的线性运算知识精讲1、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算如、等，都是向量的线性运算一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数2、 向量的合成与分解如果、是两个不平行的向量，（m、n

11、是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解例题解析【例21】 如图，已知非零向量、，以点O为起点，求作向量O【难度】【答案】略【解析】作法（作图过程略）：以O为起点，作以A为起点，作，联结OB则，为所求作图形【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图【例22】 计算：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”【例23】 已知向量、不平行

12、，x、y是实数，且，求x、y的值【难度】【答案】，解得：【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法【例24】 如图，已知向量、和、，求作：（1）向量分别在、方向上的分向量；ABO（2）向量分别在、方向上的分向量【难度】【答案】略【解析】作法（作图略）：（1）以的起点，分别作OB、OA的平行线OC、OD，以的终点分别作OC、OD的平行线，交于E、F两点，则（2）作法同（1）【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法【例25】 若，其中、为已知向量，求未知向量【难度】【答案】【解析】，【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母去括号移项合并化简系数化1.ABCD

13、EO【例26】 已知O为内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且，DE/BC设，试用、表示【难度】【答案】.【解析】，又DE/BC，即【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量ABCDNM【例27】 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知，试用、表示和【难度】【答案】.【解析】由题意得，即，解方程组，得【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量ABCDE【例28】 如图，在中，D是AB边的中点，E是BC延长线上一点，且BE = 2BC（1）用、表示向量；（2）用、表示向量【难度】【答案】

14、（1）（2）.【解析】（1），D是AB边的中点，且BE2BC；（2） ，【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完成各个方向的分解.ABCDNM【例29】 如图，平行四边形ABCD中，点M、N是边DC、BC的中点，设，分别求向量、关于、的分解式【难度】【答案】.【解析】四边形ABCD是平行四边形，又M、N是边DC、BC的中点，即， 【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完成求解过程【例30】 已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，分别求向量、关于、的分解式【难度】【答案】.【

15、解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.FABCEGH【例31】 如图，在中，G、E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点，写出、关于、的线性组合，并通过向量证明EF、GH、AB之间的位置关系【难度】【答案】.【解析】，又G、E为AC的三等分点，F、H为BC的三等分点，即【总结】本题主要是考查如何在几何图形中借助几何图形的性质来表示未知向量【例32】 已知点A、B、C在射线OM上，点D、E、F在射线ON上，设，ABCDEFONM（1）分别求向量、关于、的分解式；（2）判断直线AD、BE、CF是否平行【难度】【答案】（1）；（2）直线AD、BE、CF两两平行【解析】（1）；，同理

16、；（2），直线两两平行【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系随堂检测【习题1】 以非零向量为参照，分别说出向量、的方向和长度【难度】【答案】与方向相同，长度是的3倍；与方向相反，长度是的；方向与相同，长度是的5倍.【解析】本题主要考查共线向量的方向和大小问题【习题2】 已知非零向量，用表示，其结果是【难度】【答案】.【解析】，又，【总结】本题一方面考查向量的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互为相反向量时的符号关系【习题3】 已知不平行的两个向量、，求作向量【难度】【答案】略【解析】作法:以O为起点,作,以O为起点,作,则.所以.【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未

17、知向量【习题4】 下列命题中，错误的个数是（）若、都是单位向量，则；若m = 0或，则；设m、n为实数，则；任意非零向量，与同方向的单位向量是，则（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个【难度】【答案】C【解析】选项：单位向量的方向是任意的；选项：零与向量相乘的结果是零向量，而不是零；选项：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个.【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析【习题5】 已知，在四边形ABCD中，且，那么四边形ABCD是【难度】【答案】菱形【解析】，四边形ABCD是平行四边形又，ABAD四边形ABCD是菱形【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对

18、应的线段的位置及数量关系，从而得到几何图形的具体特征【习题6】 设、是向量，m、n是实数，化简：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）去括号：化简合并：；（2） 方法同上【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题【习题7】 M、N是的一边BC上的两个三等分点，若，用，表示【难度】【答案】当M点靠近B点时，；当M点靠近C点时，.【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M、N是的一边BC上的两个三等分点，有两种位置关系，当M点靠近B点时，；当M点靠近C点时，.【习题8】 已知的边BC的中点为O，设，分别求向量、关于、的分解式【难度】【答案】.【解析】；因为O为边

19、BC的中点，所以，即；【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念【习题9】 已知向量、不平行，点A、B、C共线，且，求实数k的值【难度】【答案】【解析】点A、B、C共线，【总结】本题主要考查向量的线性运算以及当两个向量共线时所具有的性质ABCDEFG【习题10】 如图，已知平行四边形ABCD，点E、F分别是边BC、DC的中点，G为交点，若，试以、表示、【难度】【答案】【解析】（1）；（2）；（3）联结E、F分别是边BC、DC的中点，G是三角形BCD的重心，【总结】本题主要考查平行四边形背景中平面向量的线性运算,其中第三问重心的应用非常巧妙课后作业【作业1】 已知，向量的方向是东南方向，且，

20、那么向量的方向是；【难度】【答案】西北方向；10【解析】本题考查共线向量的方向和大小ABCDEFGHO【作业2】 如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点设，试用、表示向量、和【难度】【答案】【解析】H是CD中点，E、F、G、H分别为平行四边形各边的中点，利用平行四边形的性质，可得：；【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用已知向量来表示未知向量【作业3】 下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；（3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线（A）1（B）2（C）3（D）以上都不对【难度】【答案】B

21、【解析】本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线【作业4】 已知不平行的两个向量、，求作向量【难度】【答案】化简结果得，作图略【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可【作业5】 下列结论中，正确的是（）（A）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量（B）若是单位向量，则不是单位向量（C）若O是直线l上一点，单位长度已选定，则l上只有两点A、B，使得、是单位向量（D）计算向量的模与单位长度无关【难度】【答案】C【解析】选项A是错误的，因为单位向量是相对向量，1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身

22、就是单位向量【作业6】 若，其中、为已知向量，求未知向量【难度】【答案】.【解析】去括号：；去分母：；（可以不去分母）移项合并：；系数化1：【总结】本题考查解方程的步骤，需要熟练的计算能力ABCDPQR【作业7】 如图，四边形ABCD中，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点设，试用、表示向量【难度】【答案】【解析】点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，又，【总结】本题主要结合三角形中位线考查向量的分解【作业8】 已知中，点M在AB上，点N在AC上，求证：【难度】【答案】略【解析】，【总结】本题主要考查向量的线性运算【作业9】 如图，点M是的重心，则为（）（A）（B）（C）（D）【难度】【答案】DABCDEFM【解析】延长MF到点G，使得MFFG，联结AG，易证，又点M是三角形的重心，即【总结】本题结合三角形重心考查向量的线性运算，另外我们可证【作业10】 如图，已知，求作（提示：利用勾股定理） 【难度】【答案】略【解析】作法：（1）作，过点O作OA的垂线，截取OBOA；（2） 以点B为顶角，作OBD60，交OA的延长线于点D；（3） 设的模长为，根据含30角的直角三角形性质及勾股定理，得；（4） ；（5） 所以，为所求作向量【总结】本题主要是借助几何图形的性质来求作向量