九年级数学暑假班讲义第7讲：相似三角形综合（教师版）

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1、相似三角形综合内容分析相似三角形是初中数学中的重点，也是难点相当多的知识点可以与相似三角形综合起来考察本讲将从以下几个方面学习相似三角形的应用，旨在灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题 知识结构模块一：平行线与相似三角形知识精讲1、平行线与相似三角形利用平行线构造的相似主要有两个基本的模型，即：“A”字型和“X”字型例题解析【例1】 过的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、EABCDEF求证： 【难度】G【答案】略【解析】过点作交于点，； 是中线，；【总结】题考查三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型 【例2】 如图，已知中，AD、BE相交于G，ABCDEG求的值【难度

2、】M【答案】【解析】点作交于点，； ，的值为【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识，要学会构造平行基本模型【例3】 如图，在中，点D在线段BC上，AD = 2，ABCDBD = 2DC，求AC的长【难度】【答案】M【解析】过点作交于点，；又， ， ， 又， 【总结】本题考查了三角形一边的平行线及等腰三角形的相关知识【例4】ABCDEPNM已知：P为的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于点D和点EGH求证：【难度】【答案】略【解析】过点作分别交、的延长线于点、是中位线， ； 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、三角形中位线的相关知识【例5】AD是

3、的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM = xAB，AN = yAC，（，）（1）如图1，当为等边三角形且时，求证：；（2）如图2，证明ABCDNMABCDNM图1图2【难度】【答案】略P【解析】Q（1） 是等边三角形，是中线， ；（2） 过作交延长线于点，过作交于点， 是中线 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线、相似三角形的判定等的相关知识，构造辅助线是个难点模块二：角平分线与相似三角形知识精讲1、角平分线与相似三角形角平分线类的相似模型如下： 分为“内角平分线”和“外角平分线”两种类型，虚线部分为辅助线的作法例题解析A

4、BCDM【例6】如图，AD是的内角平分线求证：【难度】【答案】略【解析】过点作交的延长线于点 ，是角平分线 ； 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识【例7】如图，AD是的外角平分线求证：ABCDM【难度】【答案】略【解析】过点作交的延长线于点， ，是外角平分线， ；， 又， 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等腰三角形的相关知识M【例8】在中，AD平分交BC于点DABCD求证：【难度】【答案】略【解析】过点作交于点， ，平分， ； ，是等边三角形即 【总结】本题考查了三角形一边的平行线、角平分线及等边三角形的相关知识ABCDEFG【例9】如图，在中

5、，过点C作CE / AB，交的平分线AD于E（1）不添加字母，找出图中所有的相似三角形，并证明；（2）求证：【难度】【答案】略【解析】 （1）、证明： 证明： （2）由得 ， ， 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质等知识【例10】如图，中，AI、BI分别平分、，CE是的外角的平分线，交BI延长线于E，连接CIDABCEI（1）变化时，设若用表示和，那么_，_；（2）若AB = 1，且与相似，求AC长【难度】【答案】（1），；（2）略【解析】（1）， AI、BI分别平分、， ，CI平分 CE是的外角的平分线， ， （2） 与相似， ， 是直角三角形时，分三种情况： 当时， ， ； 当时， ，

6、 ， ， ； 当时， ， ； 综上所述，【总结】本题考查相似三角形的性质及其两三角形相似分类讨论，还考查了三角形角平分线的知识模块三：a2 = bc与相似三角形知识精讲1、a2 = bc与相似三角形常见及扩展模型如下： BACDABCD图1图2由图1可证：；由图2可证：，例题解析【例11】如图，中，于点DABCD求证：【难度】【答案】略【解析】， ， ，【总结】本题考查相似三角形的性质及判定等知识【例12】如图，已知等腰三角形ABC中，AB = AC，高AD，BE相交于点HABCDEH求证：【难度】【答案】略【解析】、是高， ， ， 即， ， 【总结】本题考查“双高”模型相似的知识【例13】如

7、图，在直角梯形ABCD中，AB / CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E，AD = BD，过E的直线EF / AB交AD于点F（1）AF = BE；ABCDEF（2）AF2 = AEEC【难度】【答案】略【解析】（1），不平行，四边形是梯形 又， 四边形是等腰梯形， ； （2）， ， ，【总结】本题考查等腰梯形及相似三角形的判定及性质【例14】如图，在中，AD平分，AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点H，交AC于点G，交BC的延长线于点FABCDEFGH求证：【难度】【答案】略【解析】联结点在的垂直平分线上， ， ， 又平分， ， 又， ， ， 【总结】本题考查线段垂直平分线、外角定理

8、及相似三角形的判定及性质知识【例15】如图1，在中，P是边AB上的一点，联结CP，要使，还需要补充一个条件（1）补充的条件是_，或者_（2）请你参考上面的图形和结论，解答下面的问题：ABCACBP图1图2如图2，在中，求的度数【难度】【答案】略【解析】 （1）；（或者） （2）延长到，使 D 而 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质、三角形内角和、外角定理等知识模块四：内接矩形与相似三角形知识精讲1、内接矩形与相似三角形ABCDEFGHT相关模型：常用结论：例题解析【例16】如图，中，四边形DEFG为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求正方形DEFG的边长ABCDEFG【难

9、度】【答案】【解析】设正方形的边长为，过点H作交于点，易知： ， 在中， ， ， ， 正方形的边长为【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点【例17】中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC = 15，BC边上的高AD = 10，求正方形EFGH的面积ABCHGFED【难度】【答案】【解析】设正方形的边长为，易知： ， ， ， ， 正方形的面积为【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，熟练掌握此题涉及的知识点ABC【例18】如图，已知中，AC = 3，BC = 4，在内部求做一正方形，问怎样截取可以使正方形的面积最大，并求出此

10、时正方形的边长【难度】DFE【答案】如图截取，正方形边长为【解析】设正方形的边长为，易知： ， 在中， 正方形的边长为【总结】本题考查三角形内接正方形的模型，还考查了最优化问题，与例16区别【例19】如图，中，四边形DEFG为正方形，其中D、E在边AC、BC上，F、G在AB上，求的面积ABCDEFG【难度】【答案】【解析】过点作交于点，可得H 易证， ， ， 【总结】本题要灵活应用相似三角形的面积比等于相似比的平方【例20】锐角中，BC = 6，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN / BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与公共部分的面积为y（y 0）（1

11、）中边BC上高AD = _；（2）当x = _时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；ABCDPNMQABCDPNMQ图1图2T（3）当PQ在外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（并写出定义域）；当x取何值时，y取得最大值，最大值为多少？【难度】【答案】（1）4； （2）； （3）略【解析】 （3） ，当时，取最大值，【总结】本题要灵活应用三角形内接矩形求面积，结合二次函数的求最值问题模块五：一线三等角与相似三角形知识精讲1、一线三等角与相似三角形相关模型如下图所示：例题解析ABCDEF【例21】已知，在等腰中，AB = AC = 10，以BC的中点D为顶点作，分别交AB、AC于点E、F，AE

12、 = 6，AF = 4，求底边BC的长【难度】【答案】【解析】，而，又， ， ， 又， 【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查ABCDE【例22】如图，直角梯形ABCD中，AB / CD，点E在边BC上，且，AD = 10，求的面积【难度】【答案】24【解析】，又， ， 在中， ， 【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等【例23】矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点CHABCDEF（1）设的面积为，的面积为，的面积为，则_（用“ ”、“ = ”、“ ”填空）；（2）写出图中的3对相似三角形，并选择其中一对进行证明【

13、难度】【答案】（1）=；（2）； ； 【解析】（1）过点作交于点，易得；（2），而 【总结】本题主要是考查“一线三等角”模型的相似以及矩形的性质【例24】在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂直为P，PE交CD于点E（1）连接AE，当与全等时，求BP的长；（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式；当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（3）若PE / BD，试求出此时BP的长ABCDEP【难度】【答案】（1）；Q（2） ， 当时，取最大值，最大值为； （3）【解析】（1）与全等， ， 而， 在中， （2） 易

14、证， 得， 即 ， 当时，取最大值，最大值为；（3）联结交于点， ， ， 【总结】本题考查三角形全等，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值的知识，题目比较综合模块六：旋转与相似三角形例题解析【例25】如图，直角梯形ABCD中，AD / BC，BC = CD，E为梯形内一点，且，将绕点C旋转90使BC与DC重合，得到，联结EF交CD于M已知BC = 5，CF = 3，则DM : MC的值为（ ）ABCDABCDEFM【难度】【答案】C【解析】旋转后， ， ， ， 在中， ， 又 【总结】本题考查旋转的相关知识，平行的判定、三角形一边的平行线的知识【例26】在中，CA = CB，在中，DA =

15、DE，点D、E分别在CA、AB上（1）如图1，若，则CD与BE的数量关系是_；（2）若，将绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE的数量关系是_ABCDEABCDE图1图2H【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1） ； （2）过点作交于点 由， 得： ， ，【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形的相关知识【例27】把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，AB = DE = 4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q（1）如图1，当射线DF经过

16、点B，即点Q与点B重合时，易证，则此时_；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为其中，问的值是否改变？请说明理由FAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF图1图2图3【难度】【答案】（1）8；（2）不改变【解析】（1）略； （2）易证， 得： 又， ， 【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识【例28】如图1，在中，BC = 2，点E、F分别是线段BC、AC的中点，联结EF（1）线段BE与AF的位置关系是_，_；（2）如图2，当绕点C顺时针旋转时（），联结AF、BE，则（1）中的结论是否仍然成立？如

17、果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当绕点C顺时针旋转时（），延长FC交AB于点D，如果，求旋转角的度数BACEFABCEFABCDEF图1图2图3H【难度】【答案】（1）垂直，；（2）成立；（3）略【解析】（1）略； （2）由， 得： ， ； （3）过点作交于点， ， 在中， ， ， ， 【总结】本题考查旋转的相关知识，特殊的直角三角形边的关系，题目比较综合，第3小题由边求角要会添置辅助线模块七：函数与相似三角形例题解析【例29】如图，已知与都是等边三角形，点D在BC边上（点D不与B、C重合），DE与AC相交于点F（1）求证：；（2）若BC = 1，设BD = x，CF =

18、 y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）当x为何值时，？【难度】ABCDEF【答案】略【解析】（1）、是等边三角形 ；（2）由（1）得， ；（3） 易证， 是等边三角形 ， 解得 当时，【总结】本题考查旋转的相关知识，“一线三等角”模型，相似的性质等的相关知识【例30】如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（a，0）（a 0）和（x 0）的图像分别交于点A、B、C，如果CB : AB = 1 : 2，点C在函数（x 0）的“镜子”函数上的对应点的横坐标是，求点B的坐标【难度】【答案】略【解析】（1）； （2）；（3）分别过点、作 垂直于轴，垂足分别为 设点、，其中，

19、由题意，得点 ,，, 易知, 又 所以，可得， 化简得， 解得 （负值舍去）， 【总结】本题主要难在第3问，学生不知识怎么下手，要灵活应用相似的相关知识解决问题【例32】如图，已知梯形ABCD，AD / BC，AB = AD = 5，E为射线BD上一点，过点E作EF / DC交射线BC于点F，连接EC，设BE = x，（1）求BD的长；ABCDEF（2）当点E在线段BD上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围【难度】H【答案】（1）；（2）【解析】（1）， ， 过点作交于点， ， （2） ， ， ， 【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高（或同底）的三角形面积比

20、可以转化为底边（或者高）的比随堂检测ABCDEF【习题1】 如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F求证：【难度】【答案】略【解析】ABBD，CDBD，EFBD， ， ，即【总结】本题考查了三角形一边的平行线知识的应用ABCDEFPNMQ【习题2】 如图，在中，BC = 4cm，AB = 8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点，点P为AB边上一点，过点P作PQ / BC交AC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，若AP = 3cm，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积【难度】【答案】【解析】是中位线， 是中点， ， ， ， 【总结

21、】本题考查了三角形一边的平行线等知识的应用【习题3】 如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且，的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP = AQ时，求证：；ABCDEFABCDEFPPQ图1图2Q（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：；并求当BP = a，时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）是中点， ， （2），而， ， ， 在中， 在中，【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型课后作业ABCDEF【作业1】 如

22、图，已知AB / EF / CD，找出、之间的关系，并证明你的结论【难度】【答案】略【解析】，又，即【总结】本题考查了三角形一边的平行线及同高三角形的面积比可转化为底的比ABCDEM【作业2】 已知AD、AE分别为的内、外角平分线，M为DE的中点，求证：【难度】【答案】略【解析】联结，分别是内、外角的平分线，是的中点，又， 【总结】本题考查相似三角形的判定及性质，还有角平分线的相关知识【作业3】 如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，它们的斜边长为2，若绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）（1）

23、请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；（2）的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）在边BC上找一点D使BD = CE，求出点D的坐标，并通过计算验证；ABCDEFGABCDEFGOxy图1图2H（3）在旋转过程中，（2）中的等量关系是否始终成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由 【难度】【答案】略【解析】（1）； 证明： 而 又 ； （2）解：、是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ；由此可知：，；（3） 成立，将绕点旋转，使得与重合，如图，此时的对应点是，联结，可得， ；， 在中，即， 【总结】本题考查相似的判定和性质，以及全等的判定和性质，要会构造全等三角形来解决问题，本题比较综合