九年级数学暑假班讲义第15讲：二次函数的概念及特殊二次函数的图像（教师版）

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1、二次函数的概念与特殊二次函数的图像1内容分析二次函数是九年级上学期第三章的内容本讲首先讲解二次函数的概念，需学会判断一个函数是否是二次函数，重点是学会在实际问题中用二次函数描述两个变量之间的依赖关系，并确定函数定义域其次，在理解了二次函数概念的基础上，本讲讲解了特殊二次函数的图像，重点是学会利用描点法画出二次函数的图像，并通过观察和分析，归纳出抛物线的特征，掌握其直观性质，为学习其他形式的二次函数的图像做好准备知识结构模块一：二次函数的概念知识精讲1、 二次函数一般地，解析式形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数二次函数的定义域为一切实数而在具体问题中，函数的定义域根据实际意义来确

2、定例题解析【例1】 判断下列函数是否是二次函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）是；（6）不是【解析】（1）没有二次项；（2）符合；（3）不是整式；（4），符合；（5），符合；（6），没有二次项【总结】本题考察二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式【例2】 是关于x的二次函数需要满足的条件是_【难度】【答案】且【解析】，解得且【总结】本题考察二次函数的概念，二次函数需满足二次项系数不为零【例3】 二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则_【难度】【答案】【解析】，所以，代入得

3、【总结】本题考察二次项系数、一次项系数、常数项的概念，做题的关键是把函数化为一般式【例4】 已知二次函数（1）当时，求函数值；（2）当取何值时，函数值为0？【难度】【答案】（1）；（2）或【解析】（1）把代入得；（2）把代入得，【总结】本题一方面考察了函数值求解问题，已知自变量的值代入函数解析式即可，另一方面考察了已知函数值求自变量的值的问题【例5】 下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）是，二次项是、一次项系数是、常数项是；（2）不是；（3）是，二次项是、一次项系数是、常数项是；（4）

4、不是【解析】形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫 做一次项系数、是常数项【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念【例6】 已知函数（1）当m为何值时，这个函数是二次函数？（2）当m为何值时，这个函数是一次函数？【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）当函数为二次函数时，则时，即（2）当函数为一次函数时，则，得【总结】本题考察了二次函数与一次函数的概念xx68【例7】 如图，有一矩形纸片，长、宽分别为8厘米和6厘米，现在长宽上分别剪去宽为x厘米（）的纸条，则剩余部分（图中阴影部分）的面积y关于x的函数关系式为_【难度】【答案】【解析】阴影部分的长方形的的

5、长为，宽为，所以面积【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键【例8】 某公司4月份的营收为80万元，设每个月营收的增长率相同，且为x ()，6月份的营收为y万元，写出y关于x的函数解析【难度】【答案】【解析】因为4月份的营收为80万元，5月份起，每月增长率都为，所以5月份的营收为万元，12月份的营收为万元【总结】本题是平均增长率的问题，可用公式来解题【例9】 用长为15米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过15米），围成一个矩形花圃设花圃的宽为x米，面积为y平方米，求y与x的函数解析式及函数的定义域【难度】【答案】【解析】设花圃的宽为x米

6、，则长为米， 面积【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键【例10】 三角形的两边长的和为10厘米，它们的夹角为30，设其中一条边长为x厘米，三角形的面积为y平方厘米，试写出y与x之间的函数解析式及定义域【难度】【答案】【解析】如图，过点A作AHBC于点H 设厘米，则厘米， ， 三角形面积【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量 的等量关系是解决问题的关键【例11】 设，与成反比例，与成正比例，则y与x的函数关系是（ ）A正比例函数B反比例函数C二次函数D一次函数【难度】【答案】C【解析】与成反

7、比例，设，与成正比例，设，y与x的函数关系是二次函数【总结】本题主要考察反比例、正比例和二次函数的定义，属于基础题【例12】 已知正方形的周长是C厘米，面积是S平方厘米（1）求S关于C的函数关系式；（2）当S=1平方厘米，求正方形的边长【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为正方形的周长是C厘米，所以边长为厘米，所以；（2）当S=1平方厘米，代入得正方形的边长为厘米【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到面积与周长之间的等量关系是解决问题的关键【例13】 某商店将每件进价为8元的某种商品以每件10元出售，一天可售出约100件该店想通过降低售价、增加销售量的

8、办法来提高利润经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.10元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x元时，设销售利润为y元，求y关于x的函数关系式【难度】【答案】【解析】每降低0.10元，其销售量可增加10件，降低x元，其销售量可增加100x件，原来每件的利润为2元，现在降价x元，现在每件的利润为元，应保证销售利润【总结】解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到降低价格后增加的销售量ABCDP【例14】 如图，线段AB长为10，点P自点A开始在AB上向点B移动，并分别以AP、PB为边作等边和等边设点P移动的距离为x，与的面积之和为y，求y关于x函数解析式及函数定义域【难度】【答

9、案】【解析】作垂直于，垂足为点HABCDP是等边三角形，得，同理，【总结】此题主要利用三角形的面积公式列出函数关系式，其中已知等边三角形的边长会求面积是做题的关键模块二：二次函数y = ax2的图像知识精讲1、 的图像在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像（1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示：x-2-10124101412341234xyxyOO1212-2-1-2-1图1图2（2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示（3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如

10、图2所示二次函数的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线二次函数的图像就称为抛物线2、 二次函数的图像抛物线（）的对称轴是y轴，即直线x = 0；顶点是原点当时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当时，抛物线开口向下，顶点为最高点例题解析【例15】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数的图像，有何异同？【难度】【答案】（1）如图：（2）相同点：开口方向都向上；顶点都是点；对称轴都是轴；不同点：开口大小不同【解析】（1）略；（2）图像顶点为坐标原点；对称轴为轴；，开口向上，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小【总结】

11、本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数图像的性质【例16】 （1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、的图像；（2）函数、的图像与函数、的图像有何异同？【难度】【答案】（1）如图：（2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴；不同点：开口方向不同【解析】（1）略；（2）图像顶点坐标为；对称轴为轴；，开口向上，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质【例17】 二次函数的图像是_，它的对称轴是_，顶点坐标是_，开口方向是_【难度】【答案】抛物线；轴；向下【解析】图像为抛物线，顶点坐标为；对称轴为轴； ，开口向上，开口向下【总结】

12、本题考察二次函数的性质【例18】 抛物线除了点_以外，都位于_上方【难度】【答案】；轴【解析】抛物线的图像为顶点是点，开口向上的抛物线，只有点在轴上，其余的都位于轴上方【总结】本题考察了二次函数的图像【例19】 抛物线与的形状相同，则a的值为_【难度】【答案】【解析】抛物线与的形状相同，得【总结】本题考察二次函数的性质【例20】 已知点P（，6）在抛物线上，那么a的值为_ 【难度】【答案】【解析】把P（，6）代入得【总结】本题考察待定系数法确定函数关系式，直接把点的坐标代入解析式即可【例21】 抛物线经过点A（3，n），则n = _，且点A关于抛物线对称轴的对称点A1的坐标是_【难度】【答案】

13、；【解析】把A（3，n）代入得；抛物线的对称轴为轴，【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握抛物线上关于对称轴的对称点到对称轴的距离相等的性质【例22】 已知关于的二次函数，当为何值时，它的图像开口向上？当为何值时，它的图像开口向下？【难度】【答案】时，图像开口向上；时，图像开口向下【解析】当，即，抛物线图像开口向上；当，即，抛物线图像开口向下【总结】本题考察二次函数的开口方向与二次项系数a的关系【例23】 已知直线上有两个点A、B，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线也经过点A，试求该抛物线的表达式该抛物线也经过点B吗？请说出你的理由【难度】【答案】；抛物线不经过点

14、【解析】把3和-2分别代入得、，把代入得，抛物线的表达式为；把代入得，与B点纵坐标不同，抛物线不经过点B【总结】本题考察利用待定系数法确定函数关系式【例24】 抛物线上一点到x轴的距离为8，求该点的坐标【难度】【答案】、【解析】抛物线上一点到轴的距离为8，则点纵坐标为，把代入得、【总结】本题考察了二次函数图像上点的坐标特征【例25】 抛物线与直线交于点（1，b）（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大【难度】【答案】（1），；（2），顶点坐标为，对称轴为轴；（3）当时，二次函数的值随的增大而增大【解析】（1）把（1，b

15、）代入得，交点坐标为把代入得，；（2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴；（3）抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大，即当时，二次函数的值随的增大而增大【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质【例26】 函数与的图像可能是（ ）xyxyxyxyOOOOABCD 【难度】【答案】D【解析】当时，抛物线开口向下，一次函数一定过第一、三象限，当时，抛物线开口向上，一次函数一定过第二、四象限【总结】本题考察抛物线和直线的性质，用假设法来解决这种数形结合是一种很好的方法【例27】 若把抛物线（）沿着顶点旋转180，所得抛物线的表达式是_；若把抛物

16、线（）沿着x轴翻折，所得的抛物线的表达式是_；由这样的旋转与翻折分别得到的两条抛物线_重合的（选填“是”或“不是”）【难度】【答案】；是【解析】若把抛物线（）沿着顶点旋转180，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，新的抛物线的表达式为；若抛物线（）沿着x轴翻折，则新的抛物线顶点和对称轴不变，方向相反，新的抛物线的表达式为【总结】本题主要考察了二次函数图像与几何变换【例28】 已知二次函数的图像开口向下，求m的值【难度】【答案】【解析】由题意得，得【总结】本题考察了二次函数的概念和性质【例29】 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米到达警戒线CD，这时水面

17、宽度10米（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线解析式；xyABCDO（2）若洪水到来时，水位以0.2米/时的速度上升，从警戒线开始，再持续多少时间才能达到拱桥顶？【难度】【答案】（1）；（2）5小时【解析】（1）设抛物线解析式为（），如图，设，则，把、代入得，解得，抛物线的解析式为（2）由（1）知，（小时）【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题ABOxy【例30】 如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线（）上有两个点A、B，它们的横坐标分别为-1，2若为直角三角形，求a的值【难度】【答案】，【解析】把横坐标-1，2分别代入（）得、，当时，即，

18、解得，（舍）；当时，即，解得，（舍）；当时，此方程无解，综上，当为直角三角形，a的值为1或【总结】本题主要考察直角三角形的判定和二次函数的应用，要注意在的直角顶点不确定的情况下，要分类讨论，以免漏解随堂检测【习题1】 下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，请指出a、b、c（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】 【答案】（1）不是；（2）是，；（3） 是，；（4）不是；（5）是，；（6）不是【解析】形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项系数、 叫做一次项系数、是常数项，如果不是一般式，先整理成一般式再确定a、b、c【总结】本题考察二次函数的概念，二次项系数

19、、一次项系数、常数项的概念【习题2】 已知二次函数的图像经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式在平面直角坐标系中，画出它的图像【难度】 【答案】，图像如图所示：【解析】把Q（-1，-2）代入得，解析式为【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法【习题3】 函数是y关于x的二次函数当m = _ 时，其图像开口向上；当m = _ 时，其图像开口向下【难度】【答案】；【解析】函数为二次函数，解得，；当，即时，其图像开口向上；当，即时，其图像开口向下【总结】本题考察二次函数的概念和性质【习题4】 求直线与抛物线的交点坐标【难度】【答案】，【解析】联立方程得，解得，直线与抛物

20、线的交点坐标为、【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法【习题5】 如图所示，在同一坐标系中，作出；的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数依次是_（填序号）Oxy【难度】【答案】【解析】图像开口大小由决定，越大，开口越小【总结】本题考察二次函数的图像及性质【习题6】 自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要的时间是_秒【难度】【答案】2秒【解析】把代入得，解得，（舍）【总结】本题考查二次函数的实际应用ABOxyh【习题7】 如图，桥拱是抛物线形状，其函数解析式为，当水位线在AB位置时，水面的宽为12米，

21、此时水面离桥顶的高度h是_米【难度】【答案】9米【解析】由题意知：，把代入得【总结】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题xx1224【习题8】 如图，园林工人要在一块长24米，宽12米的矩形土地中砌一个小矩形花坛，四周铺上草，其宽都相等，如果设草地的宽为x，花坛的面积为S平方米，求出S关于x的函数解析式及其定义域【难度】【答案】【解析】花坛的长为米，宽为米，【总结】此题主要利用长方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键【习题9】 已知一个二次函数的的顶点为原点，其抛物线开口方向与抛物线的开口方向相反，而抛物

22、线形状与它相同，求这个二次函数的解析式【难度】【答案】【解析】为二次函数，解得，又，可得，二次函数为要求的抛物线与开口方向相反，形状相同，要求的这个二次函数的解析式为【总结】本题考查二次函数的概念及性质xyABCDO1212【习题10】 如图，若一抛物线与四条直线x = 1，x = 2，y = 1，y = 2围成的正方形ABCD有公共点，求a的取值范围【难度】【答案】【解析】由题意知：，再根据抛物线的性质越大开口越小，把代入得，把代入得，则的范围介于这两者之间，即【总结】本题考察二次函数的综合题，此题先画出图像，结合图形根据抛物线的性质，越大开口越小，代入点的坐标计算即可；考察学生的观察能力，

23、把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合课后作业【作业1】 下列函数，不属于二次函数的是（ ）ABCD【难度】 【答案】D【解析】，二次项系数为0，不是二次函数【总结】本题考查二次函数的概念【作业2】 在同一平面直角坐标系中，作，的图像，它们的共同特点是（ ）A抛物线的开口方向向上B抛物线的开口方向向下C都是关于x轴对称的抛物线D都是关于y轴对称的抛物线【难度】【答案】D【解析】二次函数的图像，对称轴为轴；顶点为坐标原点；当时，开口向上，当时，开口向下【总结】本题考察二次函数的图像【作业3】 二次函数中，当x = 3时，y = 0，则b的值为_【难度】【答案】【解析】把，代入得：，解得【总结

24、】本题考察了待定系数法确定函数关系式【作业4】 如果抛物线过点（cos60，sin30），那么a = _，它的函数表达式是_【难度】【答案】，【解析】，抛物线过点，把代入得，函数表达式是【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式xy1234【作业5】 如图，四个二次函数图像，分别对应的是；，则a、b、c、d的大小关系为（ ）ABCD【难度】【答案】A【解析】、函数图像开口向上，；、函数图像开口向下，；二次函数中，越大，开口越小，【总结】本题考查了二次函数的图像及性质【作业6】 若函数是二次函数，则m = _，它的图像开口_，顶点是它的最_点，它的对称轴是_【难度】【答案】3；向上；低；轴【解析】

25、函数是二次函数，解得，函数解析式为图像开口向上，顶点是它的最低点，对称轴是轴【总结】本题考查了二次函数的概念、图像及性质【作业7】 求直线与抛物线的交点坐标【难度】【答案】，【解析】将代入得：，解得，当时，；当，线与抛物线的交点坐标，【总结】本题考察了直线与抛物线的交点坐标求法【作业8】 一个正方形的面积为16平方厘米，当把边长增加x厘米时，正方形的面积为y平方厘米，则y关于x的函数关系式为_【难度】【答案】【解析】正方形的面积为16平方厘米，原正方形边长为4厘米，现在正方形的边长为厘米，【总结】此题主要利用正方形的面积公式列出函数关系式，其中根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键【作

26、业9】 抛物线的顶点为原点，以y轴为对称轴，且经过点A（-2，8）（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标，并计算的面积【难度】【答案】（1）；（2），【解析】（1）设函数解析式为，把A（-2，8）代入得，函数的解析式为（2）点B与点A关于y轴对称，B与A横坐标互为相反数，纵坐标相等，即，设与y轴交于点D，则，【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式，二次函数的图像及性质【作业10】 如图，是等腰直角三角形，D是边AB的中点，动点E在边AC上移动，且在边CB上截取CF = AE，联结DE、DF（1）在点E移动的过程中，判断DE与DF的关系？说明你的理由；（2）联结EF，在E移动的过程中，的面积是否会变化？若不会，说明你的理由；若会，设AE = x，求出y关于x的函数解析式及其定义域ABCDEF【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1），证明如下： 联结，是等腰直角三角形， ，D是边AB的中点， ， 在和中， ，（2）的面积会变化；方法一：，AE=x， ABCDEF 方法二：， 【总结】本题主要考查学生对全等三角形的判定和等腰直角三角形的理解和掌握，同时 考查了利用三角形的面积公式列出函数关系式