九年级数学暑假班讲义第14讲：锐角的三角比章节复习（教师版）

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1、单元练习：锐角的三角比内容分析锐角的三角比是九年级数学上学期第二章的内容本章的基本要求是理解锐角三角比的概念，会求特殊锐角的三角比的值，会解直角三角形，需理解仰角、俯角、方向角、坡度和坡角等概念，并能解决有关的实际问题重点是应用锐角三角比的意义及运用解直角三角形的方法进行有关的几何计算难点是解直角三角形的应用知识结构已知锐角，求三角比已知锐角的三角比，求锐角锐角的三角比的概念已知一边和一个锐角已知两边直角三角形中的边角关系解直角三角形解直角三角形的应用选择题【练习1】 已知中，那么是的（ ）A正弦B余弦C正切D余切【难度】【答案】D【解析】【总结】考查锐角三角比的定义【练习2】 将锐角所在的三

2、角的三边同时扩大三倍，这时角的正弦值（ ）A变大B变小C不变D不确定【难度】【答案】B【解析】考查锐角三角比的定义【练习3】 已知中，AC = 2，BC = 3，那么下列各式中正确的是（ ）ABCD【难度】【答案】C【解析】考查锐角三角比的定义【练习4】 已知中，AB = c，AC = b，BC = a，则下列关系不成立的是（ ）ABCD【难度】【答案】B【解析】考查锐角三角比的定义及相关变形【练习5】 计算2sin 60 + 3tan30的值为（ ）ABCD【难度】【答案】B【解析】2sin 60 + 3tan30【总结】考查特殊角的锐角三角比值及代数式求值【练习6】 下列不等式成立的是（

3、）ABCD【难度】【答案】D【解析】通过计算特殊角的锐角三角比的值，可以判断D正确【总结】当锐角的度数逐渐增大时，正切值和正弦值也逐渐增大，而余切值和余弦值反而逐渐减小【练习7】 在中，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）A已知c和aB已知b和C已知a和bD已知和【难度】【答案】D【解析】考查解直角三角形的条件【总结】要解直角三角形，必须至少知道一条边【练习8】 已知AD是的斜边BC边上的高，BC = a，那么AD等于（ ）ABCD【难度】【答案】C【解析】解：在中，在中，【总结】本题主要考查利用锐角三角比解直角三角形【练习9】 如果等腰三角形的底角为30，腰长为6厘米，则这个三角形的面积为（

4、 ）A4.5平方厘米B平方厘米C平方厘米D36平方厘米【难度】【答案】B【解析】解：根据题意解直角三角形可得：等腰三角形的高为3，底边长为，则三角形的面积为【总结】本题主要考查30角的锐角三角比的值AOxy【练习10】 如图，设点A（m，n）是锐角的一条边上的任意一点，则的值（ ）A只与角的大小有关B只与点A在角的边上的位置有关C与角的大小及点A在角的边上的位置有关D与角的大小及点A在角的边上的位置无关【难度】【答案】A【解析】，所以只与角的大小有关【总结】本题主要考查锐角三角比的概念及相关性质【练习11】 等腰三角形的两条边分别为5和6，关于底角A下列等式中成立的是（ ）ABC或D或【难度】

5、【答案】D【解析】等腰三角形的两腰为5，底为6时，；等腰三角形的两腰为6，底为5时，【总结】本题主要考查锐角三角比的概念，注意要分类讨论【练习12】 如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点E反射后照射到点B，若入射角为，ACCD，BDCD，垂足分别为C、D，且AC = 3，BD = 6，CD = 11，则的值为（ ）ABCDEABCD【难度】【答案】D【解析】解：由光线反射定律可知：则，解得：【总结】本题主要是跟物理知识相结合，注意反射角等于入射角的运用【练习13】 菱形的边长为4，有一个内角为40，则较短的对角线是（ ）ABCD【难度】【答案】C【解析】考查菱形对角线平分一组内角和解直

6、角三角形基础知识【练习14】 如图，在中，E为AC上一点，且AE : EC = 3 : 1，EFAB于点F，连接FC，则的值为（ ）ABCD【难度】【答案】D【解析】过C作CGABEFAB，CGAB，EFCG设，则在中，在中，【总结】本题主要考查通过添加辅助线将所要求的锐角放到直角三角形中求解【练习15】 在中，AD是BC边上的高，且，CD = 1，那么的大小可能是（ ）A15B75C15，75D105【难度】【答案】C【解析】解：在中，在中，；【总结】本题主要考查解直角三角形，注意分类讨论【练习16】 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B，取，

7、BD = 500米，要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）米ABCDEABCD【难度】【答案】B【解析】解：，在中，【总结】本题主要考查解直角三角形的运用，注意分析题目中的条件【练习17】 如图，四边形ABCD中，AD = 2，则四边形ABCD的面积是（ ）ABC4D6【难度】【答案】C【解析】延长CD和BA交于点E，【总结】本题主要考查通过解直角三角形求几何图形的面积【练习18】 如图，在梯形ABCD中，AD / BC，ACAB，AD = CD，BC = 10，则AB的值是（ ）ABCDA3B6C8D9【难度】【答案】B【解析】解：AD = CD，AD / BC，在中，解得

8、：【总结】当两个锐角相等时，它们的相应的锐角三角比的值也相等【练习19】 如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80角，房屋朝南的窗子高AB = 1.8米，要在窗子外面上方安装水平当光板AC，使午间光线不能直接射入室内，则挡光板的宽度AC为（ ）ABCABCD以上都不对【难度】【答案】D【解析】正确答案为【总结】本题主要考查锐角三角比的准确运用【练习20】 如图，已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4 : 5，E是AB上的一点，沿CE将向上翻折，若点B恰好落在边AD上的点F，则等于（ ）ABCDEFA B C D 【难度】【答案】B【解析】解：设，CBECFE，在中，【总

9、结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查等角的锐角三角比的相关性质填空题【练习21】 在中，c = 3，则sin A = _【难度】【答案】【解析】【总结】考查锐角三角比的定义【练习22】 三边长分别为7，24，25，那么这个三角形最小角的余切值为_【难度】【答案】【解析】根据勾股定理逆定理可知，是直角三角形，则最小角为7所对的角，则此角的余切值为【总结】考查锐角余切的概念及勾股定理逆定理的运用【练习23】 中，那么tan A = _【难度】【答案】【解析】设，由勾股定理可知：【总结】本题主要考查锐角的正切的概念【练习24】 中，则= _【难度】【答案】【解析】，【总结】本题主要考查特殊角的

10、锐角三角比的值【练习25】 中，AC = 6，如果，那么的度数是_【难度】【答案】60【解析】解：，【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值【练习26】 在中，是锐角，则= _【难度】【答案】1【解析】解：原式=【总结】本题主要考查锐角的正弦的取值范围【练习27】 若，则x = _【难度】【答案】10【解析】，【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值【练习28】 菱形的两条对角线长为和6，则菱形较小的内角为_【难度】【答案】60【解析】菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组内角，最小内角一半的正切值是，最小内角一半为30，最小内角为60【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及菱形的

11、性质【练习29】 如果，那么锐角= _【难度】【答案】60【解析】解方程可得：或，【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值【练习30】 校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米【难度】【答案】13【解析】如图，AB=8，CD=13，BD=12 过A作AEDC，则四边形ABDE为矩形AB=DE=8，BD=AE=12，【总结】本题主要考查根据题目中的已知条件求直角三角形的斜边【练习31】 等腰三角形ABC中，AB = AC， BC = 10，那么_【难度】【答案】120【解析】， BC = 10，【总结】本题主要考查特

12、殊角的锐角三角比的值以及等腰三角形的性质【练习32】 中，斜边上的中线CD = 6，sin A =，则= _【难度】【答案】【解析】，斜边上的中线CD = 6，AB = 2CD = 12sin A =，【总结】本题主要考查解直角三角形以及直角三角形的性质ABCD【练习33】 如图，在C处测得铁塔AB的塔顶A的仰角为30，向塔前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为45，则铁塔的高为_【难度】【答案】【解析】由题意，可设在中，解得：【总结】本题主要考查解直角三角形与仰角结合的应用【练习34】 某拦水坝的横截面为梯形ABCD，其中斜面AB的坡比为1 : 3，如果自A向B走了米，那么升高的高度为_米

13、【难度】【答案】10【解析】设斜面AB的垂直高度为，则水平高度为，解：升高的高度为10米【总结】本题主要考查解直角三角形在坡比问题中的应用【练习35】 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4米如果在坡度为1：的山坡上种树，也要求株距为4米，则相邻两树间的坡面距离是_【难度】【答案】5【解析】考查坡度的定义【练习36】 用高为h的测角仪测得铁塔AB的顶点A的仰角为，测角仪到铁塔距离为m，那么铁塔高度为_【难度】【答案】【解析】考查仰角的定义【练习37】 如图，某人从A点沿西南方向行了个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60的方向上，则原来A的坐标为_ABOxy【难度

14、】【答案】【解析】由题意可知：，过B作BCAO在中，在中，A点的坐标为【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解ABP【练习38】 如图，如果绕点B按逆时针方向旋转30后得到，且BP = 2，那么的长为_（）【难度】【答案】【解析】联结，过B作BD，在中，【总结】本题主要考查通过添垂线将特殊角放在直角三角形中，然后进行求解，另外还考查了旋转的性质【练习39】 中，AB = 5，AC = 8，则的面积是_【难度】【答案】【解析】过A作ADBC，垂足为D在中，在中，；【总结】本题主要考查根据已知条件解直角三角形，另外要注意进行分类讨论ABCDM【练习40】 如图，在中，沿

15、的中线CM将折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tan A的值为_【难度】【答案】【解析】AMCDMC，CM为的中线，CD恰好与MB垂直，又，【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及直角三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值解答题【练习41】 计算：【难度】【答案】【解析】解：原式=【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值及代数式求值【练习42】 已知为锐角，且无意义，求的值【难度】【答案】【解析】为锐角，且无意义，原式=【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及分式无意义的条件【练习43】 如图，在中，AC = BC，BD为AC边上的中线求和的值【难度】【答案】，【解析

16、】过D作DEAB，垂足为E设AE=DE=，则BD为AC边上的中线，【总结】本题主要考查解直角三角形以及锐角三角比的概念【练习44】 如图，等腰梯形ABCD，AD / BC，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交AB、BC于点F、E，若AD = 2，BC = 8ABCDEFG求：（1）BE的长；（2）的正切值【难度】【答案】（1）5；（2）【解析】EF垂直平分BD，过A作AGBC，由等腰梯形的性质可得：在中，【总结】本题综合性较强，主要考查翻折的性质以及等腰梯形的性质和特殊角的锐角三角比的值ABCDEF【练习45】 如图，已知梯形ABCD中，AD / BC，BECD于点E，AD = 1，

17、求BE的长【难度】【答案】【解析】过D作DFBC，垂足为F，则可得四边形ABFD为矩形在中，在中，【总结】本题主要考查解直角三角形，注意通过添加垂线，将特殊角放到直角三角形中【练习46】 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得C处的仰角为30，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长ABCDEFG【难度】【答案】【解析】过A作AGCD，垂足为G由题意可得：，在中，在中，【总结】本题主要考查解直角三角形在仰角问题中的应用【练习47】 如图，有一朝向为正南方向的居民楼CD，该居民楼的一楼是高6米的超市，超市以上是居民住房，

18、在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼AB，当冬季正午阳光与水平线的夹角为30时（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响？为什么？（2）若要超市采光不受影响，两楼应相距多少米？ABCDEF【难度】【答案】（1）不受影响，理由见解析；（2）【解析】（1）由题意可知：，在中，超市以上的居民住房采光不受影响（2）当时，超市采光不受影响，在中，两楼至少相距米【总结】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用【练习48】 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高为3.2米，为提高拦水能力，需要将水坝加高2米，并保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但背水坡坡度由原来的1 : 2变

19、成1 : 2.5求加高后的坝底HD的长为多少？【难度】【答案】29.4米【解析】解：BH=3.2，加高后MF=EN=5.2，MN=EF=BC=6，在和中，HM=2.5MF=13， DN=2EN=10.4 ，HD=13+6+10.4=29.4【总结】本题主要考查解直角三角形在坡度问题中的应用【练习49】 近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正西300公里的B处，并以公里/小时的速度向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域（1）A市是否受到本次沙尘暴的影响？（2）若A市受沙尘暴影响，求受影响的时间有多长？【难度】【答案】（1）是；（2）10小时【解析】如图，点C为台风离A市最近的地方D为A市是开始受到沙尘暴影响，E为A市不受沙尘暴影响在中，A市会受到本次沙尘暴影响（2）由题意可知：AD=AE=200在中，【总结】本题主要考查解直角三角形在方位角问题中的应用【练习50】 如图，在中，AB = 10，AC = 5，求的值【难度】ABCDE【答案】【解析】解：过C作CDAB，垂足为D，过B作BEAC，垂足为E，在中，在中，在中，在中，在中，；【总结】本题主要考查解直角三角形的应用，综合性较强，要注意去寻找包含所求锐角的直角三角形